N角星的尖角數(shù)之和

1、N角星的尖角度數(shù)之和有一道這樣的數(shù)學(xué)題：如圖所示，為五角星圖案，圖、圖叫做蛻變的五角星試回答以下問圖1（1）在圖中，試證明A+B+C+D+E=180°；（2）對于圖或圖，還能得到同樣的結(jié)論嗎？若能，請在圖或圖中任選其一證明你的發(fā)現(xiàn)；若不能，試說明理由 這道題實際并不難，只要利用三角形內(nèi)角和定理及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和的知識就可以解答。解答過程如下：1.證明: 如圖。設(shè)BD、EC的交點為F，AC、BD的交點為G； BFC=B+E,DGC=A+D;A+B+C+D+E=BFC+DGC+CBFC+DGC+C=180°A+B+C+D+E=180°2，能；

2、如圖，設(shè)蛻變前的五角星為ABCDF,連結(jié)BC;證明一: 在 FBC中， F+FBC+ FCB=180 °F+1+2+3+4+5+6=180 ° EBC中E+EBC ECB=180 ° E+1+2+3+4=180 °F+1+2+3 +4+5+6=E+1+ 2+3+4 F+1+2+3+4=E+1+2圖2GABCDEF圖FE51234ABCD6圖GH E+ EBD+ECA= F+ FBD+ FCA A+ D+E+EBD+ECA=A+ D+F+FBD+FCA=180 °證明二:設(shè)BD、AC的交點為G，AC、BE的交點為H； HGD=1+BHD,BHD=

3、E+2;A+EBD+ACE+D+E=A+1+2+D+E=A+AGD+D=180°作為一道數(shù)學(xué)題，本應(yīng)到此為止。但解答完之后，感覺好像發(fā)現(xiàn)了點兒什么，所以，就對N角星圖案做了一下對比研究。你還別說，還真就發(fā)現(xiàn)了很多有意思的內(nèi)容。首先說一下由第一個問題引發(fā)的思考：五角星的五個尖角之和為180度，那么，六角星、七角星會怎么樣？八角星、九角星呢？N角星呢?為了說明這個問題，先要介紹一下一個概念：芒星。芒星是由幾個完全的等腰三角形（有時是正三角形）和一個正多邊形組成的平面圖形。等腰三角形的個數(shù)與正多邊形的邊數(shù)相等。任何芒星都可以一筆畫出，并且起筆點和結(jié)束點在同一位置。由五個等腰三角形和正五邊形

4、組成的圖形叫“五芒星”（俗稱：五角星）。由六個等腰三角形和正六邊形組成的圖形叫“六芒星”依此類推。另外，還要說明一下多邊形的有關(guān)概念。同一平面內(nèi)的若干條線段首尾順序相接而組成的封閉圖形叫做多邊形。周界不自交的多邊形叫做簡單多邊形；簡單多邊形應(yīng)滿足三個條件：1.頂點與頂點不重合；2.任何頂點都不在其他邊內(nèi)；3.不相鄰的邊也不相交。非簡單多邊形叫做星形多邊形。比較發(fā)現(xiàn)，芒星和星形多邊形并不是一回事。芒星并不都是星形多邊形，星形多邊形也并不都是芒星。為了能夠看出規(guī)律，我們不妨把兩種圖形或者圖案都叫做多角星，圖形也好，圖案也罷，它有幾個尖角（小于平角的角）我們就叫它幾角星。我們試著列舉一些簡單的多角星

5、圖案（形），分別計算出它們各自的尖角度數(shù)之和，看看能不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律。邊數(shù)最少的正多邊形應(yīng)是正三角形，三芒星的圖案如圖3所示，其三個尖角之和為1800。其次是四芒星，圖案如圖3，四個尖角之和為3600。 3 3 五角星就有兩種：如圖4所示左邊為5400、右邊為1800.圖4.六角星兩種、七角星三種如下：圖下是其尖角度數(shù)之和。 7200 3600 1800 5400 9000八角星三種，九角星四種：圖下是其尖角度數(shù)之和。 3600 7200 10800 12600 9000 5400 1800十角星四種： 14400 10800 7200 3600十一角星有五種，十二角星有五種；十三角星六種，十四角

6、星六種，。設(shè)多角星的尖角個數(shù)為N，觀察上述列舉結(jié)果可知，若N為奇數(shù)，則N角星有（N-1）種，其尖角度數(shù)之和分別為1800,3×1800，（N-2）×1800.若N為偶數(shù)，則N角星有（N-1）種，其尖角度數(shù)之和分別為2×1800,4×1800，（N-2）×1800.按此規(guī)律推算，二十九角星應(yīng)該有14種，其尖角度數(shù)之和分別為1800,3×1800，27×1800。三十角星也應(yīng)該有14種，其尖角度數(shù)之和分別為2×1800,4×1800，28×1800。 以上說的N角星都是指正N角星,因為正N角星相鄰各

7、頂點所連線段組成的圖形都是正多邊形，只要畫出N角星的外接圓，然后數(shù)出每一個尖角的兩邊與圓的兩個交點之間的其他尖角的頂點個數(shù)，再利用圓周角的知識很容易求出N角星的尖角度數(shù)之和，所以上述結(jié)論不證自明。如果N角星發(fā)生了蛻變，即不再是正N角星了，或者說N角星的頂點不一定共圓了，那么，上述結(jié)論是否還成立？這時應(yīng)怎樣求N角星的尖角度數(shù)之和？這是由前述蛻變的五角星問題引發(fā)的第二個思考。由于N角星數(shù)量眾多，且隨著N的增大，尖角個數(shù)相同的N角星的種類也會越來越多，所以不能一一列舉。下邊僅以七角星為例，說明一下多角星尖角度數(shù)之和的求法。七角星有三種，其中最簡單的一種其實就是簡單的七邊形，利用三角形內(nèi)角和的知識很容

8、易求出其內(nèi)角和為9000。其次是如下圖（1）所示的七角星：借鑒本文開始的問題（1）中五角星的幾個尖角度數(shù)之和的求法可以求出來其尖角的度數(shù)和為1800。還有一種就是下圖（2）所示的七角星。由于此時七角星發(fā)生了蛻變，再用圓周角的知識就求不出來了。五角星的那種尖角度數(shù)和的求法也不能用了。不過，只要按照AD、DG、GC、CF、FB、BE、EA的順序添加輔助線，就會得到七個以尖角的頂點和這個角的兩邊與其他尖角的邊的交點為頂點的三角形，同時得到一個與圖（1）類似的七角星。（1）圖七角星尖角度數(shù)之和為1800，所以圖（2）七角星的尖角度數(shù)之和由圖可知為：×（7×180-180）0=540

9、0。當(dāng)N3時，任意N角星不外乎兩大類：一類是有公共邊的兩角的另外兩邊相交，另一類是不相交。求各種N角星的尖角度數(shù)之和，相交的可以用圖（1）的方法，不相交的可以用圖（2）的方法。由上述計算過程可知，任意N角星或者說蛻變N角星與正N角星的尖角度數(shù)之和相等，仍然滿足上述規(guī)律。這是為什么？實際上，這一現(xiàn)象的背后隱藏著一個簡單的規(guī)律，還以七邊形為例；蛻變以后的七角星非常復(fù)雜，但復(fù)雜的事實背后總隱藏著簡單普遍的規(guī)律。物理學(xué)中有個控制變量法。即物理學(xué)中對于多因素（多變量）的問題，常常采用控制因素（變量）的方法，把多因素的問題轉(zhuǎn)化成多個單因素的問題，而只改變其中的某一個因素，從而研究這個因素對事物的影響；先分

10、別對每一個因素加以研究，最后再綜合解決；這種方法叫控制變量法。它是科學(xué)探究中的一種重要思想方法，被廣泛地運用在各種科學(xué)探索和科學(xué)實驗的研究之中?，F(xiàn)在我們不妨拿來一用。如圖（3），假設(shè)正七角星的頂點A蛻變到A的位置，而其他頂點不動；從圖中明顯能夠看出，在CAF蛻變到CAF的同時，ACF和AFC也在蛻變，但無論怎樣蛻變，總有1=3+5，2=4+6；CAF-CAF=5+6.也就是說，無論點A處在什么位置，只要不在ACF的外部，都有CAF+ACF+AFC=C AF+AFC+ACF, 所以七個尖角的度數(shù)總和并沒發(fā)生變化。 實際上即使點A退化到了圖（4）、圖（5）所示的位置時，也很容易證明七個尖角的度數(shù)之

11、和并沒有發(fā)生變化；因為ACF和ACF的內(nèi)角和始終相等，都等于180°。其他頂點發(fā)生蛻變時，情形一樣。最后的結(jié)論是，任意N角星的尖角度數(shù)之和與與其對應(yīng)的正N角星的尖角度數(shù)之和相等。要求任意N角星的尖角度數(shù)之和，只需求出與其對應(yīng)的正N角星的尖角度數(shù)之和。而一般情況下，利用圓周角的有關(guān)知識，正N角星的尖角度數(shù)之和是比較好求的；這也算體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸思想吧。數(shù)學(xué)的殿堂總是那么絢爛多彩，引人入勝。復(fù)雜的事實背后總隱藏著簡單普遍的規(guī)律。同時，看似簡單問題的背后也往往透視著高深莫測的科學(xué)原理。作為一名教師，我的一貫看法是做數(shù)學(xué)題是為了學(xué)好數(shù)學(xué)，但學(xué)好數(shù)學(xué)并不是單單為了做數(shù)學(xué)題。數(shù)學(xué)從它誕生的那天起，就緊緊伴隨著人類的生活、生產(chǎn)。一道新型的數(shù)學(xué)問題