差分方程及微分方程數(shù)值解

1、東南大學數(shù)學實驗報告實驗內(nèi)容：差分方程及微分方程數(shù)值解一 實驗?zāi)康?熟悉迭代法及微分方程數(shù)值方法二 預(yù)備知識 （1）了解差分方程穩(wěn)定性、周期分解、混沌等相關(guān)知識 （2）了解歐拉方法、龍格-庫特方法。三 實驗內(nèi)容與要求 （一）Volterra方程數(shù)值解方程其中a=1,b=0.1,c=0.5,d=0.04命令與結(jié)果在函數(shù)編輯器中輸入：function dxdt = euler( t,x )dxdt= x(1)*(1-0.1*x(2) x(2)*(-0.5+0.02*x(1);end四階龍格-庫塔公式：在命令窗口中輸入：tspan=0 15;x0=25;2;t,x=ode45(euler,tspan

2、,x0);plot(t,x(:,1),'r-','LineWidth',0.5);hold on;plot(t,x(:,2),'g-','LineWidth',0.5);hold on;（1） 相圖四階龍格-庫塔公式：1 / 9axis(0 15 0 125)legend('x(1)','x(2)')grid ontitle('The Numerical Solution Of Calculable way of fourth rank Rounge-kutt')plot(x(:,1

3、),x(:,2)歐拉方法：在命令窗口中輸入：tspan=0 15;x0=25;2;t,x=ode23(euler,tspan,x0);plot(t,x(:,1),'r-','LineWidth',0.5);hold on;plot(t,x(:,2),'g-','LineWidth',0.5);hold on;axis(0 15 0 125)legend('x(1)','x(2)')grid ontitle('The Numerical Solution Of Euler Equation&#

4、39;)>> plot(x(:,1),x(:,2)歐拉公式：（2） 軌線圖四/五階龍格-庫塔公式：歐拉公式：（2） 差分阻滯增長模型在t時刻單位時間內(nèi)的人口數(shù)量的變化量僅僅與此時的人口數(shù)量x有關(guān)(等于右邊的值),其中的r表示人口的固有增長率,N表示能容納的最大人口數(shù).經(jīng)過 單位時間，即一個繁殖周期的種群數(shù)量的增長量僅僅與前一個時期的種群數(shù)量有關(guān)。于是模型為 即這是一個一階非線性差分方程.對于給定的初值,我們可以從這個遞推公式運用計算機很容易地計算出一些xk.這是在計算機出現(xiàn)以后的一個新的特點.但是我們更關(guān)心的是當時間趨于無窮時,即k趨于無窮時, xk的極限如何，即差分方程平衡點的穩(wěn)

5、定性問題。求得差分方程(2)的平衡點為0和(b-1)/b.它們分別對應(yīng)于差分方程(1)的平衡點0和N.我們將這個差分方程(2)在平衡點附近展開,有注意到b=1+r>1,平衡點0是不穩(wěn)定的.略去高階項得因此當|2-b|<1時,平衡點x* (b-1)/b是穩(wěn)定的. |2-b|>1即 b>3時,平衡點x*是不穩(wěn)定的.（1）穩(wěn)定情況（） 穩(wěn)定性分析b=1.6,在1到3范圍之間穩(wěn)定命令與結(jié)果（圖）function x=block(b,x0)b=1.6;if nargin<2 x0=0.5;endx=x0;n=1:10000;for i=2:10000 x(i)=b*x(i-

6、1)*(1-x(i-1);endplot(n,x,'.');end結(jié)果圖：穩(wěn)定性分析b=2.2,在1到3范圍之間穩(wěn)定命令與結(jié)果（圖）function x=block(b,x0)b=2.2;if nargin<2 x0=0.5;endx=x0;n=1:10000;for i=2:10000 x(i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1);endplot(n,x,'.');end結(jié)果圖：（2）不穩(wěn)定情況穩(wěn)定性分析b=3.3在1到3范圍之間不穩(wěn)定命令與結(jié)果（圖）穩(wěn)定性分析b=3.63在1到3范圍之間不穩(wěn)定命令與結(jié)果（圖）（3）倍周期分解 （1） 求穩(wěn)定平衡點可得

7、兩個平衡點：0.4794 0.8236程序：function x=block(b,x0)b=3.3;if nargin<2 x0=0.5;endx=x0;n=1:100;for i=2:100 x(i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1);end（2） 數(shù)值結(jié)果ans = Columns 1 through 160.5000 0.8250 0.4764 0.8232 0.4804 0.8237 0.4792 0.8236 0.4795 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236（1）求穩(wěn)定平衡點四個平衡點：0.5009 0.8750

8、 0.3828 0.8269程序：function x=block(b,x0)b=3.5;if nargin<2 x0=0.5;endx=x0;n=1:100;for i=2:100 x(i)=b*x(i-1)*(1-x(i-1);end（2） 數(shù)值結(jié)果ans = Columns 1 through 160.5000 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269 Columns 17 through 320.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 Columns 17 through 320.5009 0.8750 0.3828 0.8269 0.