全等三角形例題含答案

1、新思路全等三角形的經(jīng)典例題 判定方法條件注意邊邊邊公理（SSS）三邊對(duì)應(yīng)相等三邊對(duì)應(yīng)相等邊角邊公理(SAS)兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等（“兩邊夾一角”）必須是兩邊夾一角，不能是兩邊對(duì)一角角邊角公理(ASA)兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等（“兩角夾一邊”）不能理解為兩角及任意一邊角角邊公理(AAS)兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等例1：已知：如圖，過(guò)DABC的頂點(diǎn)A，作AFAB且AF=AB，作AHAC，使AH=AC，連結(jié)BH、CF，且BH與CF交于D點(diǎn)。求證：（1）BH=CF（2）BHCF分析：從圖中可觀察分析，若證BH=CF，顯然，若能證出DABHDAFC，問(wèn)題就能解決。從已知看，已經(jīng)知道AF=AB，AC

2、=AH。這兩個(gè)三角形已經(jīng)具備兩條邊對(duì)應(yīng)相等了。還要證明第三條邊相等，顯然不可能用“邊邊邊”公理了。只能尋求兩對(duì)應(yīng)邊的夾角了。從已知看，BAF和HAC都是直角。而圖中的BAC顯然是公共角，根據(jù)等式性質(zhì)，問(wèn)題可以順利解決。證明：（1）AFAB，AHAC BAF=HAC=90° BAF+BAC=HAC+BAC 即FAC=BAH 在DABH和DAFC中 DABHDAFC（邊角邊） BH=FC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（2）設(shè)AC與BH交于點(diǎn)P 在DAPH中 HAP=90° 2+3=90°（直角三角形中兩個(gè)銳角互余） 1=2（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） 3=4 1+4=2+3=9

3、0° 在DPDC中 1+4=90° HDC=90° BHCF例2：已知，如上圖：BD、CE是DABC的高，分別在高上取點(diǎn)P與Q，使BP=AC，CQ=AB。求證：AQ=AP分析：從要證的結(jié)論AQ=AP，只有在DABP和DQCA中找對(duì)應(yīng)原素，不難發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)有BP=AC、CQ=AB，也就是這兩個(gè)三角形中已經(jīng)有兩條對(duì)應(yīng)邊相等。也只有找到其中夾角相等，全等就可以了，問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何找出1=2？再分析已知條件，不難看出，既然BD、CE都是高，就有BDA=CEA=90°，這樣就可看出1和2都是BAC的余角了。根據(jù)同角的余角相等這條性質(zhì)得到1=2，這樣問(wèn)題就可以迎刃而

4、解了。證明：BDAC于D CEAB于EBDA=CEA=90°1+BAC=2+BAC=90°1=2在DABP和DPCA中DABPDQCA（邊角邊）AQ=AP（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）例3：已知：如圖，OA=OB、OC=OD求證：AE=BE分析：從要證明的結(jié)論AE=EB看，我們不難看出，應(yīng)當(dāng)在DADE和DBCE中去尋找答案，而要證明DADEDBCE，比較明顯的有一組對(duì)頂角相等，即AED=BEC，另外可以通過(guò)等式性質(zhì)得到，OAOD=OBOC，即AD=BC，那么這兩個(gè)三角的全等條件仍然差一個(gè)，從證明的結(jié)論AE=BE上分析，不可能再尋找邊的對(duì)應(yīng)相等了，那么只有找一組對(duì)應(yīng)角是否相等就可以

5、了，如能否證出A=B（或ADE=BCE），A=B除了是DADE和DBCE的對(duì)應(yīng)角外，它們還是DAOC和DBOD的對(duì)應(yīng)角，只要DAOCDBOD，那么就可以推出A=B，這樣問(wèn)題便迎刃而解了，同學(xué)們自己分析一下DAOC和DBOD全等條件夠嗎？證明：在DAOC和DBOD中DAOCDBOD（邊角邊）A=B（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）OA=OB（已知） OC=OD（已知）AD=BC（等式性質(zhì)）在DADE和DBCE中DADEDBCE（角角邊）AE=BE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同學(xué)們自己動(dòng)手試一試，可不可通過(guò)證明ADE=BCE來(lái)證明DADEDBCE 呢？例4：已知：如圖，ADBC，AE、BE分別平分DAB和CB

6、A，DC過(guò)點(diǎn)E。求證：AB=AD+BC分析：從要證明的結(jié)論AB=AD+BC上看，顯然是兩條線段的和與另外一條線段相等，可以考慮，能否在長(zhǎng)的AB邊上截一段等于AD（或BC），利用角平分線的條件證全等。證明（一）：在AB上截AF=AD，連結(jié)EF在DADE和DAFE中DADEDAFED=AFE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）ADBC（已知）D+C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又D=AFE（已證）BFE=C（等角的補(bǔ)角相等）在DBFE和DBCE中DBFEDBCE（角角邊）BF=BCAB=AD+BC證明（二）：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F。AE、BE分別是DAB和CBA的平分線。 又ADBC1+2+

7、3+4=180°（兩直線平等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）2+3=90°AEB=90°BEF=90°在DABE和DFBE中DABEDFBE （角邊角）AB=BF AE=EF在DAED和DFEC中 DAEDDFEC AD=FCAB=AD+BC（等量代換）例5：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD、CEAB于E，且B+D=180°。求證：AE=AD+BE分析：從上面例題，可以看出，有時(shí)為了證明某兩條線段和等于另一條線段，可以考慮“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的添加輔助線，本題是否仍可考慮這樣“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法呢？由于AC是角平分線，所以在AE上截AF=AD，連結(jié)FC，可

8、證出DADCDAFC，問(wèn)題就可以得到解決。證明（一）：在AE上截取AF=AD，連結(jié)FC。在DAFC和DADC中DAFCDADC（邊角邊）AFC=D（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）B+D=180°（已知）B=EFC（等角的補(bǔ)角相等）在DCEB和DCEF中DCEBDCEF （角角邊）BE=EFAE=AF+EFAE=AD+BE（等量代換）證明（二）：在線段EA上截EF=BE，連結(jié)FC（如右圖）。同樣也可以證明，同學(xué)們自己試一試，證明過(guò)程是怎樣的，看一看，當(dāng)推導(dǎo)過(guò)程不通時(shí)，想一想，還有哪些已知條件沒(méi)有充分考慮到，或是還有哪些定理，性質(zhì)用的不熟，自己找一找思維障礙是什么？小結(jié)：在幾何證明過(guò)程中，如果現(xiàn)成的三角形不可以證明，則需要我們選出所需要的三角形，這就需要我們恰到好處的添加輔助線。如例：已知：DABC中，AD是BC邊上的中線。求證：分析：求證，即可變形為，其結(jié)構(gòu)恰好為中線的2倍。小于原三角形的兩邊之和，如果添加輔助