參數(shù)法巧解直線與圓錐曲線問題1

1、參數(shù)法巧解直線與圓錐曲線問題直線與圓錐曲線問題是高中數(shù)學(xué)的難點，也是高考中的熱點問題，同時它廣泛地存在于科學(xué)研究、工程技術(shù)中.下面我們運用參數(shù)法來解決直線與圓錐曲線的一些常見問題，本文試圖就幾類較為常見問題的探究，給讀者一些有益的啟示.1.弦長問題例1過點且傾斜角為的直線與雙曲線相交于兩點,求弦的長.解(一)求出直線方程，并與雙曲線方程聯(lián)立，求出交點坐標(biāo)，再由坐標(biāo)求出線段長.該法思路較清晰，但在計算交點的時，計算量往往較大.解(二)求出直線方程，并與雙曲線方程聯(lián)立消元，設(shè)兩點坐標(biāo)為 再利用韋達(dá)定理求出線段長.該法解題中較常用，但要注意變形過程.下面我們用參數(shù)法來解：解(三)直線的參數(shù)方程為，將

2、直線的參數(shù)方程代入雙曲線方程，得設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為，, .線段的長為.2.中點弦問題例2已知直線過點交橢圓于兩點, 且點平分弦求直線的方程.解(一) 可設(shè)交點坐標(biāo)分別為,分別代入橢圓方程，并聯(lián)立作差，利用中點坐標(biāo)，可以求出直線斜率，進(jìn)而求出直線方程，并檢驗所求的直線與橢圓是否有兩個交點,但該法還不應(yīng)忽視特殊情況時.下面我們用參數(shù)法來解：解(二) 設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為，將直線的參數(shù)方程代入橢圓方程，得，設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為，點為中點 ，則有即，所以直線的方程為.3.直線與圓的位置關(guān)系問題例3過圓外一點作直線(1) 若與圓相切，求直線的方程.（2）若與圓相交，求直線的斜率

3、的范圍.(1)解(一)討論直線斜率不存在時，是否符合，進(jìn)而討論斜率存在，設(shè)出直線方程，根據(jù)圓心到直線距離等于半徑，求出斜率. 該法在解題中較常用，但要容易忽視直線斜率不存在的情形. 解(二) 設(shè)出直線方程，再與圓的方程聯(lián)立利用求出斜率. 但仍不能忽視直線斜率不存在的情形. 下面我們用參數(shù)法來解：解(三) 設(shè)過點的直線的參數(shù)方程方程為，其中為傾斜角. 將直線的參數(shù)方程代入圓方程，得直線與圓僅有一個交點 上述方程有且僅有一解，所以得當(dāng)時，直線斜率不存在，所以直線的方程為，當(dāng)時，直線斜率為，所以直線的方程為.（2）解(一) 設(shè)出直線方程，再與圓的方程聯(lián)立利用求出斜率的范圍. 但不能忽視直線斜率不存在的情形. 下面我們用參數(shù)法來解：解(二) 將直線的參數(shù)方程代入圓方程，得直線與圓相交 上述方程有兩解，所以，即當(dāng)時，上述不等式不成立;當(dāng)時，可化為所以直線的斜率的范圍是.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，也可以通過將直線參數(shù)化后與圓錐曲線方程聯(lián)立，通過轉(zhuǎn)化為一元二次方程的來解決，