圓錐曲線綜合練習(xí)題

1、曲線方程及圓錐曲線典型例題解析一知識(shí)要點(diǎn)1曲線方程（1）求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：步 驟含 義說(shuō) 明1、“建”：建立坐標(biāo)系；“設(shè)”：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)。建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)。(1) 所研究的問(wèn)題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn)。(2) 沒(méi)有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。2、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式。寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P=M|P(M)這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使寫出的條件簡(jiǎn)明正確。3、“代”：代換用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化簡(jiǎn)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式。要

2、注意同解變形。5、證明證明化簡(jiǎn)以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)?；?jiǎn)的過(guò)程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過(guò)程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍)。這五個(gè)步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化”（2）求曲線方程的常見(jiàn)方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個(gè)步驟來(lái)求解。這是求曲線方程的基本方法。轉(zhuǎn)移代入法：這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解。幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。參數(shù)法：根據(jù)題中給定的

3、軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來(lái)分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)x,y聯(lián)系起來(lái)，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。2圓錐曲線綜合問(wèn)題（1）圓錐曲線中的最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題通常有兩類：一類是有關(guān)長(zhǎng)度和面積的最值問(wèn)題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問(wèn)題。這些問(wèn)題往往通過(guò)定義，結(jié)合幾何知識(shí)，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí)，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來(lái)解決。解題時(shí)要注意函數(shù)思想的運(yùn)用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來(lái)。圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法：設(shè)圓錐曲線Cf(x，y)=0與直線ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|為：若弦AB

4、過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長(zhǎng)，|AB|=|AF|+|BF|在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍。（2）對(duì)稱、存在性問(wèn)題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法。（3）實(shí)際應(yīng)用題數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時(shí)課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，如橋梁的設(shè)計(jì)、探照燈反光鏡的設(shè)計(jì)、聲音探測(cè)，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運(yùn)行軌道的計(jì)算等。 涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題的解決關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，合理選擇曲

5、線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是：（4）知識(shí)交匯題圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識(shí)結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強(qiáng)區(qū)分度的綜合題。二典例解析題型1：求軌跡方程例1（1）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么樣的曲線。（2）雙曲線有動(dòng)點(diǎn)，是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的重心的軌跡方程。解析：（1）（法一）設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓方程分別配方得：，當(dāng)與相切時(shí)，有 當(dāng)與相切時(shí)，有 將兩式的兩邊分別相加，得，即 移項(xiàng)再兩邊分別平方得： 兩邊再平方得：，整理得，所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。（法二

6、）由解法一可得方程，由以上方程知，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)和的距離和是常數(shù)，所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，圓心軌跡方程為。（2）如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，在已知雙曲線方程中，已知雙曲線兩焦點(diǎn)為，存在，由三角形重心坐標(biāo)公式有，即 。，。已知點(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有即所求重心的軌跡方程為：。點(diǎn)評(píng)：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法。例2（2001上海，3）設(shè)P為雙曲線y21上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是 。解析：（1）答案：x24y21設(shè)P（x0，y0） M（x，y） 2xx0，2yy04

7、y21x24y21 點(diǎn)評(píng)：利用中間變量法（轉(zhuǎn)移法）是求軌跡問(wèn)題的重要方法之一。題型2：圓錐曲線中最值和范圍問(wèn)題例3（1）設(shè)AB是過(guò)橢圓中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為，則F1AB的面積最大為（ ） A. B. C. D. （2）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值是（ ） A. B. C. 2D. （3）已知A（3，2）、B（4，0），P是橢圓上一點(diǎn)，則|PA|PB|的最大值為（ ） A. 10B. C. D. 解析：（1）如圖，由橢圓對(duì)稱性知道O為AB的中點(diǎn)，則F1OB的面積為F1AB面積的一半。又，F(xiàn)1OB邊OF1上的高為，而的最大值是b，所以

8、F1OB的面積最大值為。所以F1AB的面積最大值為cb。點(diǎn)評(píng)：抓住F1AB中為定值，以及橢圓是中心對(duì)稱圖形。（2）解析：由雙曲線的定義，得：， 又，所以，從而 由雙曲線的第二定義可得， 所以。又，從而。故選B。點(diǎn)評(píng)：“點(diǎn)P在雙曲線的右支上”是銜接兩個(gè)定義的關(guān)鍵，也是不等關(guān)系成立的條件。利用這個(gè)結(jié)論得出關(guān)于a、c的不等式，從而得出e的取值范圍。（3）解析：易知A（3，2）在橢圓內(nèi)，B（4，0）是橢圓的左焦點(diǎn)（如圖），則右焦點(diǎn)為F（4，0）。連PB，PF。由橢圓的定義知： ， 所以。 由平面幾何知識(shí)，即，而， 所以。點(diǎn)評(píng)：由PAF成立的條件，再延伸到特殊情形P、A、F共線，從而得出這一關(guān)鍵結(jié)論。例

9、4（1）（06全國(guó)1文，21）設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值。（2）（06上海文，21）已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。（3）（06山東文，21）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為l。()求橢圓的方程；()直線過(guò)點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程。解析：（1）依題意可設(shè)P(0,1)，Q(x,y),則 |PQ|=，又

10、因?yàn)镼在橢圓上，所以，x2=a2(1y2)， |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2， =(1a2)(y )2+1+a2 。因?yàn)閨y|1,a>1, 若a, 則|1, 當(dāng)y=時(shí), |PQ|取最大值，若1<a<,則當(dāng)y=1時(shí), |PQ|取最大值2。（2）由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1， 又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0)，由x=得x0=2x1y=y0=2y由,點(diǎn)P在橢圓上,得，線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是。當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此ABC的面積S

11、ABC=1。當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說(shuō)該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(,)，則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=，ABC的面積SABC=。于是SABC=。由1,得SABC,其中,當(dāng)k=時(shí),等號(hào)成立。SABC的最大值是。（3）解：設(shè)橢圓方程為（）由已知得所求橢圓方程為。（）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由，消去y得關(guān)于x的方程：，由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，解得。又由韋達(dá)定理得，。原點(diǎn)到直線的距離。.解法1：對(duì)兩邊平方整理得：（*），整理得：。又， ，從而的最大值為，此時(shí)代入方程（*）得，。所以，所求直線方程為：。解法2：令，則。當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，此時(shí)。所以，所求直線方程

12、為解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零。設(shè)直線l的方程為，則直線l與x軸的交點(diǎn)，由解法一知且，解法1： =.下同解法一.解法2：。下同解法一。點(diǎn)評(píng)：文科06年高考主要考察了圓錐曲線的最值問(wèn)題，主要是三角形的面積、弦長(zhǎng)問(wèn)題。處理韋達(dá)定理以及判別式問(wèn)題啊是解題的關(guān)鍵。題型3：證明問(wèn)題和對(duì)稱問(wèn)題例5（1）（06浙江理，19）如圖，橢圓1（ab0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=.()求橢圓方程；()設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：ATM=AFT。（2）（06湖北理，20）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它

13、的右準(zhǔn)線。（）、求橢圓的方程；（）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。（3）（06上海理，20）在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線2相交于A、B兩點(diǎn)。求證：“如果直線過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么3”是真命題；寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由解析：（1）（I）過(guò)點(diǎn)、的直線方程為因?yàn)橛深}意得有惟一解，即有惟一解，所以 （），故又因?yàn)?即 所以 從而得 故所求的橢圓方程為（II）由（I）得 故從而由，解得所以 因?yàn)橛值靡虼它c(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合

14、解題能力。（2）（）依題意得 a2c，4，解得a2，c1，從而b.故橢圓的方程為 .（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）.M點(diǎn)在橢圓上，y0（4x02）. 又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，2<x0<2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P（4，）.從而（x02，y0），（2，）.·2x04（x0243y02）. 將代入，化簡(jiǎn)得·（2x0）.2x0>0，·>0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2<x1<2，

15、2<x2<2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2 （x12) (x22)y1y1 又直線AP的方程為y，直線BP的方程為y，而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x4上，即y2 又點(diǎn)M在橢圓上，則，即 于是將、代入，化簡(jiǎn)后可得.從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力。（3）證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)T(3,0)的直線l交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x12,y2). 當(dāng)直線l的鈄率下存在時(shí),直線l的方程為

16、x=3,此時(shí),直線l與拋物線相交于A(3,)、B(3,)，=3。 當(dāng)直線l的鈄率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x3),其中k0.當(dāng)y2=2x得ky22y6k=0,則y1y2=6.y=k(x3) 又x1=y, x2=y,=x1x2+y1y2=3.綜上所述, 命題“如果直線l過(guò)點(diǎn)T(3,0),那么=3”是真命題.逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過(guò)點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題.例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2),B(,1),此時(shí)=3,直線AB的方程為Y=(X+1),而T(3,0)不在直線AB上.點(diǎn)評(píng)：由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A(x1,y1)、B(x12,y2)

17、滿足=3,可得y1y2=6?；騳1y2=2，如果y1y2=6，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(3,0)；如果y1y2=2, 可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(1,0),而不過(guò)點(diǎn)(3,0)。例6（1）（06北京文，19）橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓C上，且（）求橢圓C的方程；（）若直線l過(guò)圓x2+y2+4x-2y=0的圓心，交橢圓C于兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程。（2）（06江蘇，17）已知三點(diǎn)P（5，2）、（6，0）、（6，0）。（）求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；O（）設(shè)點(diǎn)P、關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：（1）解法一：()因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C

18、上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故橢圓的半焦距c=，從而b2=a2c2=4，所以橢圓C的方程為1。()設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）。 已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 從而可設(shè)直線l的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱. 所以 解得， 所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意)解法二：()同解法一.()已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 設(shè)

19、A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 由得：因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+ x2=4，y1+ y2=2。代入得，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0。(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)（2）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9。所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為點(diǎn)P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6)。設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。由題意知，半焦距c1=6，。,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力。題型4：知識(shí)交匯題例7（06遼寧,20）已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求p的值。解析：(I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: .(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得