傳染病模型SISIRSIS

1、頁(yè)眉內(nèi)容數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)報(bào)告10學(xué)院： 專 業(yè)：姓 名：學(xué)號(hào)： 實(shí)驗(yàn)時(shí)間： 實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)：一、實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目：傳染病模型求解二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵骯.求解微分方程的解析解b.求解微分方程的數(shù)值解三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容問(wèn)題的描述各種傳染病給人類帶來(lái)的巨大的災(zāi)難，長(zhǎng)期以來(lái)，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述傳染病的的傳播過(guò)程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國(guó)有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。不同類型傳染病有各自不同的特點(diǎn)，在此以一般的傳播機(jī)理建立幾種3模型。分別對(duì)3種建立成功的模型進(jìn)行模型分析，便可以了解到該傳染病在人類間傳播的大概情況。模型一（SI模型）：頁(yè)腳內(nèi)容頁(yè)眉內(nèi)容(1)模型假設(shè)1 .在疾病傳播

2、期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，人群分為健康人和病人，時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例為s (t)和i (t )。2 .每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)a, a成為日接觸率，當(dāng)病人與健康者有效接觸時(shí)，可使其患病。(2)建立模型根據(jù)假設(shè)，每個(gè)病人每天可使as (t)個(gè)健康人變成病人，t時(shí)刻病人數(shù)為Ni (t),所以每天共有 aNs(t) i (t)個(gè)健康者被感染，即病人的增加率為：Ndi/dt=aNsi又因?yàn)?s (t) +i (t) =1再記日刻t=0時(shí)病人的比例為i0則建立好的模型為：di ai(1 -i)dti(0)=i0(3)模型求解(代碼、計(jì)算結(jié)果或輸出結(jié)果)syms a i t i

3、0 % a:日接觸率，i :病人比例，s :健康人比例，i0 :病人比例在t=0時(shí)的值i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t');y=subs(i,a,i0,0.3,0.02);ezplot(y,0,100)figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);頁(yè)腳內(nèi)容頁(yè)眉內(nèi)容plot(i,y)« 五4口( it ,insenuebklqp rliir 葉 aexp詳。呂4吸包對(duì)勾它 0 口頁(yè)腳內(nèi)容SI模型的it曲線SI模型的di/dti 曲線(4)結(jié)果分析由上

4、圖可知，在i=0:1內(nèi)，di/dt總是增大的，且在i=0.5時(shí)，取到最大值，即在 t->inf 時(shí)，所 有人都將患病。上述模型顯然不符合實(shí)際，為修正上述結(jié)果，我們重新考慮模型假設(shè)，建立SIS模型模型二(SIS模型)(1)匚、V 1模型假設(shè)假設(shè)條件1.2與SI模型相同；3.每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)u,成為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者。顯然1/u是平均傳染期。(2)模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi且 i (t) +s=1 ;則有：di/dt=ai(1-i)-ui在此定義k=a/b ,可知k是整個(gè)傳染傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，成為接觸

5、數(shù)。>> syms a i u t i0 % a：日接觸率,i ：病人比例，u：日治愈率，i0 :病人比例在t=0時(shí)的值>> dsoke('Di=a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t')求用u表小的i -t解析式>> syms k：接觸數(shù)頁(yè)眉內(nèi)容則建立好的模型為：di一 =_aii _(1 _1/k) dti(0)=i0;(3)(4)模型求解(代碼、計(jì)算結(jié)果或輸出結(jié)果)>> k=a/u;>> i=dsoke('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)'

6、,'i(0)=i0','t')%求用k表小的i -t解析式%給k、a、i0指定特殊值，作出相關(guān)圖像>> y=subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02);k>1的情況，以k=2為例>>pause>> plot(i,y)>> ezplot(y,0,100)作i t圖，分析隨時(shí)間t的增加,i的變化>> gtext('1/k')>>legend('k>1 本例中 k=2')>>figure>> i=str2double(i)

7、;>> i=0:0.01:1;>> y=-0.3*i.*i-1/2;作di/dt -i的圖像>> gtext('1-1/k, 在此圖中為 0.5')>> legend('k=2')頁(yè)腳內(nèi)容頁(yè)眉內(nèi)容k<1的情況，以k=0.8為例>> ezplot(y,0,100)%作it圖，分析隨時(shí)間t增加，i的變化>> y=subs(i,kai0,0.8,0.3Q02);%頁(yè)腳內(nèi)容>> legend('k<1 本例中 k=0.8')>>figure>

8、> i=str2double(i);>> i=0:0.01:1;>> y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8);>> plot(i,y)%作di/dt -i的圖像>> legend('k=0.8')>> gtext('k<=1 時(shí)的情況)SIS模型的di/dt i曲線 (k>1)SIS 模型的i t曲線（k>1）SIS模型的di/dt i曲線 (k<1)SIS 模型的i t曲線(k<1)(4)結(jié)果分析不難看出，接觸數(shù) k=1是一個(gè)閾值，當(dāng)k>1時(shí)，i (t)的增減性取

9、決于i0的大小，但其極限值 i( 8)=i-i/k隨k的增加而增加；當(dāng) k<=l時(shí)，病人比例i (t)越來(lái)越小，最終趨于0,這是由于傳染期內(nèi)經(jīng)有效解除從而使健康者變?yōu)榈牟∪藬?shù)不超過(guò)原來(lái)病人數(shù)的緣故。模型三.SIR模型(1)模型假設(shè)1.2.總?cè)藬?shù)N不變，人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者三類，稱 SIR模型。時(shí)刻t三類人在總?cè)藬?shù)N中占得比例分別記作s/和r”3.4.病人的日接觸率為 九，日治愈率為“(與SI模型相同)，傳染期接觸數(shù)為 仃=九/»。(2)模型建立由假設(shè)1顯然有s(t) i(t) r(t) =1(1)對(duì)于病愈免疫的移出者而言應(yīng)有dr(不妨設(shè)移出者的初始值 r0=0

10、),則(3)N 二Ni dt再記初始時(shí)刻的健康者和病人的比例分別是s0(s0>0)和i0(i0>0)SIR模型的方程可以寫作di = Ksi Ni,i(0) =t0 dt-s = T.si,s(0) =s0dt模型求解我們無(wú)法求出解析解，先做數(shù)值計(jì)算:設(shè)九=1，0.3(0)=0.02以0)=0.98,用 matla歆件編程:function y=ill (t , x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)'ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45('i11',ts,x0);t,xplot(

11、t，x(:，1)，t，x(:，2)，grid，pauseplot(x(:，2)，x(:，1)表1i(t)，s(t)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果頁(yè)眉內(nèi)容i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.60270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.039

12、90.03990.0398t 012345678i(t),s(t)的圖形-s圖形(相軌線)(4)結(jié)果分析i(t)，s(t)的圖形見左圖，is的圖形見右圖，稱為相軌線，隨著t的增加，口沿軌線自右向左運(yùn)動(dòng)。由上圖結(jié)合表1可知，乂由初值增長(zhǎng)至約t =7時(shí)達(dá)到最大值，然后減少，tT g/T 0；s(t)則單調(diào)減少 tT M,sT 0.0398。進(jìn)行相軌線分析，可得：si平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域(s,i)三D為D =( s,t) | s -0,i -0,s i £1在方程(3)中消去dt,并注意到的定義，可得di 1(一二= 一1 i |出仃 si|s=0 i0(4)容易求出它

13、的解為頁(yè)腳內(nèi)容頁(yè)眉內(nèi)容. ,.、1 . si = (s0 i0) s ln (5)二 So在定義域D內(nèi)，上式表示的曲線即為相軌線1.不論初始條件S0,i0如何，病人終將消失，即(6)dr八-0出 ，而r（t） 一 1 ,故roC存在,0ds八-0其證明如下，首先，由（3）, dt 而s之0故s*存在；由（2）,M 再由（1）,對(duì)于充分大的t有dt 2 ,這將導(dǎo)致，與 顯存在相矛盾。2.最終未被感染的健康者的比例是江，在（5）式中令i =0得到，so是方程1S-S0 i0 - s - 1 ln= 0一仃8在（0，1/Qr）內(nèi)的根。在圖形上，是相軌線與s軸在9W8內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。3.若s01/cr

14、,則i先增加，當(dāng)s = 1/o時(shí)，i達(dá)到最大值1i =8 i0 一（1 ln。8） 仃（8）然后i（t）減小且趨近于0, s（t） 則單調(diào)減小至女。4.若s0 士1/。，則i（t）單調(diào)減少至0, s（t）單調(diào)減少至sc。如果僅當(dāng)病人比例i（t）有一段增長(zhǎng)的時(shí)期才 認(rèn)為傳染病在蔓延，那么1/仃是一個(gè)閾值，當(dāng)s0 >1/G （即仃>1/s0）時(shí)傳染病就會(huì)蔓延。而減小傳 染期接觸數(shù) 萬(wàn)，即提高閾值1/仃，使得s0 -1/O （即° M1/s0）,傳染病就不會(huì)蔓延（健康者比例的 初始值s0是一定的，通?？烧J(rèn)為 s0接近1）。并且，即使s0 ,小，從（7）, （8）式可以看出，仃減少時(shí)，舐增加（通過(guò)作圖分析），im降低，也 控制了蔓延的程度，我們注意到，在 仃二九/"中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率人越??；醫(yī)療水平越高，日治愈率 “越大，于是 仃越小，所以提高衛(wèi)生