大學(xué)物理授課教案 第七章 真空中的靜電場

1、第三篇 電磁學(xué)第七章 真空中的靜電場本章只討論真空中的電場，下一章再討論介質(zhì)中靜電場。靜電場：相對于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的電場。§7-1 電荷 庫侖定律一、電荷1、電荷 種類 正電荷負(fù)電荷作用 同性相斥異性相吸（一般地說：使物體帶電就是使它獲得多余的電子或從它取出一些電子）2、電荷守恒定律電荷從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，這稱為電荷守恒定律。它是物理學(xué)的基本定律之一。3、電荷量子化在自然界中所觀察到的電荷均為基本電荷的整數(shù)倍。這也是自然界中的一條基本規(guī)律，表明電荷是量子化的。直到現(xiàn)在還沒有足夠的實(shí)驗(yàn)來否定這個(gè)規(guī)律。二、庫侖定律點(diǎn)電荷：帶電體本身線度比它到其他帶電體間的距離小得多時(shí)，帶

2、電體的大小和形狀可忽略不計(jì)，這個(gè)帶電體稱為點(diǎn)電荷。（如同質(zhì)點(diǎn)一樣，是假想模型）庫侖定律：真空中兩點(diǎn)電荷之間的相互作用力大小與他們電量乘積成正比，與他們之間距離成反比，方向在他們連線上，同性相斥、異性相吸。這叫做庫侖定律。它構(gòu)成全部靜電學(xué)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)表達(dá)式：受的作用力： 斥力（同號） 吸引（異號）采用國際單位制，其中的比例常數(shù)。寫成矢量形式：令， （7-1）說明：是對是作用力，是由指到的矢量。對的作用力為：庫侖定律的形式與萬有引力定律形式相似。但前者包含吸力和斥力，后者只是引力，這是區(qū)別。§7-2 電場 電場強(qiáng)度一、電場1、電荷間作用電荷間作用原有不同看法，在很長的時(shí)間內(nèi)，人們認(rèn)為帶電

3、體之間是超距作用，即二者直接作用，發(fā)生作用也不用時(shí)間傳遞。即兩種看法 超距作用：電荷電荷到了上世紀(jì)，法拉第提出新的觀點(diǎn)，認(rèn)為在帶電體周圍存在著電場，其他帶電體受到的電力是電場給予的，即場觀點(diǎn)：電荷場電荷近代物理學(xué)證明后者是正確的。2、靜電場的主要表現(xiàn)表現(xiàn) 電場力：放到電場中的電荷要受到電場力。電場力作功：電荷在電場中移動時(shí)，電場力要作功。二、電場強(qiáng)度從靜電場的力的表現(xiàn)出發(fā)，利用試驗(yàn)電荷來引出電場強(qiáng)度概念來描述電場的性質(zhì)。試驗(yàn)電荷（點(diǎn)電荷且很?。?，放入A點(diǎn)，它受的電場力為，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，將加倍。則受的電場力也增加為相同的倍數(shù)，即實(shí)驗(yàn)電荷： 受力： 可見，這些比值都為，該比值與試驗(yàn)電荷無關(guān)，僅與A點(diǎn)電

4、場性質(zhì)有關(guān)，因此，可以用來描述電場的性質(zhì)，定義： （7-2）為電荷的電場在A點(diǎn)處的電場強(qiáng)度。三、場強(qiáng)疊加原理試驗(yàn)電荷放在點(diǎn)電荷系所產(chǎn)生電場中的A點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)表明在A處受的電場力是各個(gè)點(diǎn)電荷各自對作用力的矢量和，即： 按場強(qiáng)定義： （7-3）上式表明，點(diǎn)電荷系電場中任一點(diǎn)處的總場強(qiáng)等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)矢量和，這稱為場強(qiáng)疊加原理。四、場強(qiáng)計(jì)算1、點(diǎn)電荷電場的電場強(qiáng)度在A處產(chǎn)生的場強(qiáng)為：假設(shè)A處有試驗(yàn)電荷，受力為，有即 (7-4)由指向A， >0 與同向（由）<0 與反向（由）*點(diǎn)電荷電場球?qū)ΨQ。2、點(diǎn)電荷系電場的電場強(qiáng)度即 (7-5)3、連續(xù)帶電體電場的電場強(qiáng)度把連續(xù)帶

5、電體分成無限多個(gè)電荷元，看成點(diǎn)電荷，可有：產(chǎn)生場強(qiáng)為總場強(qiáng)4、電偶極子等量異號點(diǎn)電荷相距為，如圖所示，這樣一對點(diǎn)電荷稱為電偶極子。由-的矢量叫做電偶極子的軸，叫做電偶極子的電矩。*在一正常分子中有相等的正負(fù)電荷，當(dāng)正、負(fù)電荷的中心不重合時(shí)，這個(gè)分子構(gòu)成了一個(gè)電偶極子。例7-1：已知電偶極子電矩為，求電偶極子在它軸線的延長線上一點(diǎn)A的；電偶極子在它軸線的中垂線上一點(diǎn)B的。解：如圖所取坐標(biāo)， （與同向）如圖所取坐標(biāo)*分立電荷產(chǎn)生場強(qiáng)的疊加問題。例7-2：設(shè)電荷均勻分布在半徑為的圓環(huán)上，計(jì)算在環(huán)的軸線上與環(huán)心相距 的p點(diǎn)的場強(qiáng)。解：如圖所取坐標(biāo)，x軸在圓環(huán)軸線上，把圓環(huán)分成一系列點(diǎn)電荷，部分在p點(diǎn)產(chǎn)

6、生的電場為：根據(jù)對稱性可知， >0 ：沿x軸正向<0 ：沿x軸負(fù)向（x軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱）結(jié)論：與圓環(huán)平面垂直，環(huán)中心處=0，也可用對稱性判斷。*，例7-3：半徑為的均勻帶電圓盤，電荷面密度為，計(jì)算軸線上與盤心相距的p點(diǎn)的場強(qiáng)。解：如圖所示，x軸在圓盤軸線上，把圓盤分成一系列的同心圓環(huán)，半徑為、寬度為的圓環(huán)在p點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為：（均勻帶電圓環(huán)結(jié)果）各環(huán)在p點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)方向均相同，整個(gè)圓盤在p點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)為： >0：背離圓盤<0：指向圓盤即與盤面垂直（關(guān)于盤面對稱）討論：時(shí)，變成無限大帶電薄平板，方向與帶電平板垂直。例7-4：有一均勻帶電直線，長為，電量為，求距它為處p點(diǎn)場強(qiáng)。解

7、：如圖所取坐標(biāo)，把帶電體分成一系列點(diǎn)電荷，段在p處產(chǎn)生場強(qiáng)為： 由圖知： 代中有： ， 討論：無限長均勻帶電直線, ,.即無限均勻帶電直線，電場垂直直線，背向直線；，指向直線。例7-5：有一無限大均勻帶電平面，電荷面密度為，求在平面附近任一點(diǎn)場強(qiáng)。解：如圖所取坐標(biāo)，x軸垂直帶電平面，把帶電平面分成一系列平行于z軸的無限長窄條，陰影部分在p點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)為（無限長均勻帶電直線結(jié)果）（由對稱性可知）結(jié)論：無限大均勻帶電平面產(chǎn)生均勻場，大小為 >0背離平面<0指向平面§7-3 電力線 電通量一、電力線電力線是為了描述電場所引進(jìn)的輔助概念，它并不真實(shí)存在。1、用電力線描述規(guī)定： 方向

8、：電力線切線方向大小：的大小=該電力線密度=垂直通過單位面積的電力線條數(shù)=即 （即：某點(diǎn)場強(qiáng)大小=過該點(diǎn)并垂直于的面元上的電力線密度。）2、靜電場中電力線性質(zhì)不閉合、不中斷、起自正電荷，止于負(fù)電荷。任意兩條電力線不能相交，這是某一點(diǎn)只有一個(gè)場強(qiáng)方向的要求。二、電通量定義：通過電場中某一面的電力線數(shù)叫做通過該面的電場強(qiáng)度通量，用表示。下面分幾種情況討論。1、 勻強(qiáng)電場平面S與垂直。如圖所示，由的大小描述可知：平面S與夾角為，如圖所示，由的大小描述知： 式中為的單位法線向量。2、在任意電場中通過任意曲面S的電通量如圖所示，在S上取面元，可看成平面，上可視為均勻，設(shè)為單位法向向量，與該處夾角為，則通

9、過電場強(qiáng)度通量為：通過曲面S的電場強(qiáng)度通量為： （7-6）在任意電場中通過封閉曲面的電場強(qiáng)度通量 （7-7）注意：通常取面元外法向?yàn)檎?#167;7-4 高斯定理一、高斯定理高斯定理是關(guān)于通過電場中任一閉合曲面電通量的定理，現(xiàn)在從一簡單例子講起。1、 如圖所示，為正點(diǎn)電荷，為以為中心以任意為半徑的球面，上任一點(diǎn)處為：2、通過閉合曲面的電場強(qiáng)度通量為： （、同向）結(jié)論：與無關(guān)，僅與有關(guān)2、點(diǎn)電荷電場中任意閉合曲面S的電場強(qiáng)度通量在S內(nèi)情形如圖所示，在S內(nèi)做一個(gè)以為中心，任意半徑的閉合球面S1，由1知，通過S1的電場強(qiáng)度通量為。通過S1的電力線必通過S，即此時(shí)，通過S的電場強(qiáng)度通量為在S外情形。

10、此時(shí)，進(jìn)入S面內(nèi)的電力線必穿出S面，即穿入與穿出S面的電力線數(shù)相等，結(jié)論：S外電荷對無貢獻(xiàn) 在S內(nèi)0 在S外3、點(diǎn)電荷情況在點(diǎn)電荷電場中，任一點(diǎn)場強(qiáng)為通過某一閉合曲面電場強(qiáng)度通量為：即 （7-8）上式表示：在真空中通過任意閉合曲面的電通量等于該曲面所包圍的一切電荷的代數(shù)和除以。這就是真空中的高斯定理。上式為高斯定理數(shù)學(xué)表達(dá)式，高斯定理中閉合曲面稱為高斯面。說明：以上是通過用閉合曲面的電通量概念來說明高斯定理，僅是為了便于理解而用的一種形象解釋，不是高斯定理的證明高斯定理是在庫侖定律基礎(chǔ)上得到的，但是前者適用范圍比后者更廣泛。后者只適用于真空中的靜電場，而前者適用于靜電場和隨時(shí)間變化的場，高斯定

11、理是電磁理論的基本方程之一。高斯定理表明，通過閉合曲面的電通量只與閉合面內(nèi)的自由電荷代數(shù)和有關(guān)，而與閉合曲面外的電荷無關(guān)。 >0時(shí)，不能說S內(nèi)只有正電荷當(dāng) <0時(shí)，不能說S內(nèi)只有負(fù)電荷=0時(shí)，不能說S內(nèi)無電荷注意：這些都是S內(nèi)電荷代數(shù)和的結(jié)果和表現(xiàn)。高斯定理說明與S內(nèi)電荷有關(guān)而與S外電荷無關(guān)，這并不是說只與S內(nèi)電荷有關(guān)而與S外電荷無關(guān)。實(shí)際上，是由S內(nèi)、外所有電荷產(chǎn)生的結(jié)果。高斯面可由我們?nèi)芜x。二、高斯定理應(yīng)用舉例下面介紹應(yīng)用高斯定理計(jì)算幾種簡單而又有對稱性的場強(qiáng)方法。可以看到，應(yīng)用高斯定理求場強(qiáng)比前面介紹的方法更為簡單。例7-6：一均勻帶電球面，半徑為，電荷為，求：球面內(nèi)外任一點(diǎn)

12、場強(qiáng)。解：由題意知，電荷分布是球?qū)ΨQ的，產(chǎn)生的電場是球?qū)ΨQ的，場強(qiáng)方向沿半徑向外，以O(shè)為球心任意球面上的各點(diǎn)值相等。球面內(nèi)任一點(diǎn)的場強(qiáng)以O(shè)為圓心，通過P1點(diǎn)做半徑為的球面為高斯面，高斯定理為： 與同向，且上值不變即均勻帶電球面內(nèi)任一點(diǎn)P1場強(qiáng)為零。注意：1）不是每個(gè)面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)生的場強(qiáng)為零，而是所有面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)生場強(qiáng)的矢量和=0。2）非均勻帶電球面在球面內(nèi)任一點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)不可能都為零。（在個(gè)別點(diǎn)有可能為零）球面外任一點(diǎn)的場強(qiáng)以O(shè)為圓心，通過P2點(diǎn)以半徑做一球面作為高斯面，由高斯定理有：方向：沿方向（若，則沿方向）結(jié)論：均勻帶電球面外任一點(diǎn)的場強(qiáng)，如圖電荷全部集中在球心處的點(diǎn)電荷

13、在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)一樣。0 圖7-20例7-7：有均勻帶電的球體，半徑為，電量為，求球內(nèi)外場強(qiáng)（8-13）。解：由題意知，電荷分布具有球?qū)ΨQ性，電場也具有對稱性，場強(qiáng)方向由球心向外輻射，在以O(shè)為圓心的任意球面上各點(diǎn)的相同。（1）球內(nèi)任一點(diǎn)P的 以O(shè)為球心，過P點(diǎn)做半徑為的高斯球面S1，高斯定理為：與同向，且S1上各點(diǎn)值相等，沿方向。（若，則沿方向）結(jié)論：注意：不要認(rèn)為S1外任一電荷元在P1處產(chǎn)生的場強(qiáng)為0，而是S1外所有電荷元在P1點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)的疊加為0。（2）球外任一點(diǎn)P2的以O(shè)為球心，過P2點(diǎn)做半徑為的球形高斯面S2，高斯定理為：由此有：沿方向結(jié)論：均勻帶電球體外任一點(diǎn)的場強(qiáng)，如同電荷全部集

14、中在球心處的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)一樣。 曲線如左圖。例7-8：一無限長均勻帶電直線，設(shè)電荷線密度為，求直線外任一點(diǎn)場強(qiáng)。解：由題意知，這里的電場是關(guān)于直線軸對稱的，的方向垂直直線。在以直線為軸的任一圓柱面上的各點(diǎn)場強(qiáng)大小是等值的。以直線為軸線，過考察點(diǎn)P做半徑為高為的圓柱高斯面，上底為S1、下底為S2，側(cè)面為S3。高斯定理為： 在此，有：在S1、S2上各面元，前二項(xiàng)積分=0又 在S3上與方向一致，且=常數(shù)，即 由帶電直線指向考察點(diǎn)。（若，則由考察點(diǎn)指向帶電直線）上面結(jié)果將與例4結(jié)果一致。例7-9：無限長均勻帶電圓柱面，半徑為，電荷面密度為，求柱面內(nèi)外任一點(diǎn)場強(qiáng)。解：由題意知，柱面產(chǎn)生的電場具有軸對

15、稱性，場強(qiáng)方向由柱面軸線向外輻射，并且任意以柱面軸線為軸的圓柱面上各點(diǎn)值相等。1）帶電圓柱面內(nèi)任一點(diǎn)P1的以O(shè)O為軸，過P1點(diǎn)做以為半徑高為的圓柱高斯面，上底為S1，下底為S2，側(cè)面為S3。高斯定理為：在此，有：在S1、S2上各面元，上式前二項(xiàng)積分=0，又在S3上與同向，且=常數(shù)，結(jié)論：無限長均勻帶電圓筒內(nèi)任一點(diǎn)場強(qiáng)=02）帶電柱面外任一點(diǎn)場強(qiáng)以為軸，過P2點(diǎn)做半徑為高為的圓柱形高斯面，上底為S1，下底為S2，側(cè)面為S3。由高斯定理有：=單位長柱面的電荷（電荷線密度）=，由軸線指向P2。時(shí)，沿P2指向軸線結(jié)論：無限長均勻帶電圓柱面在其外任一點(diǎn)的場強(qiáng)，如全部電荷都集中在帶電柱面的軸線上的無限長均

16、勻帶電直線產(chǎn)生的場強(qiáng)一樣。例7-10：無限大均勻帶電平面，電荷面密度為，求平面外任一點(diǎn)場強(qiáng)。解：由題意知，平面產(chǎn)生的電場是關(guān)于平面二側(cè)對稱的，場強(qiáng)方向垂直平面，距平面相同的任意二點(diǎn)處的值相等。設(shè)P為考察點(diǎn)，過P點(diǎn)做一底面平行于平面的關(guān)于平面又對稱的圓柱形高斯面，右端面為S1，左端面為S2，側(cè)面為S3，高斯定理為：在此，有：在S3上的各面元，第三項(xiàng)積分=0又 在S1、S2上各面元與同向，且在S1、S2上=常數(shù)，有：即： （均勻電場）垂直平面指向考察點(diǎn)（若，則由考察點(diǎn)指向平面）。此結(jié)論與例5完全一致。例7-11：有二平行無限大均勻帶電平板A、B，電荷面密度分別為1）；2）。求：板內(nèi)、外場強(qiáng)。解：1

17、）設(shè)P1為板內(nèi)任一點(diǎn)，有即： 設(shè)P2為B右側(cè)任一點(diǎn)（也可取在A左側(cè)），即 2）設(shè)P3為二板內(nèi)任一點(diǎn)，即 設(shè)P4為B右側(cè)任一點(diǎn)（也可取在A左側(cè)）即： 上面，我們應(yīng)用高斯定理求出了幾種帶電體產(chǎn)生的場強(qiáng)，從這幾個(gè)例子看出，用高斯定理求場強(qiáng)是比較簡單的。但是，我們應(yīng)該明確，雖然高斯定理是普遍成立的，但是任何帶電體產(chǎn)生的場強(qiáng) 不是都能由它計(jì)算出，因?yàn)檫@樣的計(jì)算是有條件的，它要求電場分布具有一定的對稱性，在具有某種對稱性時(shí)，才能適選高斯面，從而很方便的計(jì)算出值。應(yīng)用高斯定理時(shí)，要注意下面環(huán)節(jié)：1）分析對稱性；2）適選高斯面；3）計(jì)算 4）由高斯定理求出。 §7-5 靜電場力的功 電勢此前，從靜電

18、場力的表現(xiàn)引入了場強(qiáng)這一物理量來描述靜電場。這一節(jié)，我們將從靜電場力作功的表現(xiàn)來闡述電勢這一物理量來描述靜電場的性質(zhì)。一、靜電場力的功力學(xué)中引進(jìn)了保守力和非保守力的概念。保守力的特征是其功只與始末二位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。前面學(xué)過的保守力有重力、彈性力、萬有引力等。在保守力場中可以引進(jìn)勢能的概念，并且保守力的功=勢能增量的負(fù)值 （7-9）在此，我們研究一下靜電力是否為保守力。1、點(diǎn)電荷情況點(diǎn)電荷置于O點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)電荷由a點(diǎn)運(yùn)動到b點(diǎn)。在c處，在位移內(nèi)，靜電力對的功為：: （7-10）可見：僅與的始末二位置有關(guān)，而與過程無關(guān)。2、點(diǎn)電荷系情況設(shè)在的電場中，由場強(qiáng)迭加原理有：從中，靜電場力的功為：上式

19、左邊每一項(xiàng)都只與始末二位置有關(guān)，而與過程無關(guān)，點(diǎn)電荷系靜電力對作的功只與始末二位置有關(guān)，而與過程無關(guān)。3、連續(xù)帶電體情況對連續(xù)帶電體，可看成是很多個(gè)點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系，所以2中結(jié)論仍成立。綜上所述，靜電場力為保守力（靜電場為保守力場）。在靜電場中運(yùn)動一周，靜電力對它作功為： （代替） （7-11）此式表明，靜電場中的環(huán)流=0（任何矢量沿閉合路徑的線積分稱為該矢量的環(huán)流），這一結(jié)論叫做場強(qiáng)環(huán)流定律。靜電場的環(huán)流定律是靜電場的重要特征之一，靜電學(xué)中的一切結(jié)論都可以從高斯定理及場強(qiáng)的環(huán)流定律得出。他們是靜電場的基本定律。（7-10）、（7-11）等價(jià)，由（7-11）知，電場線不可能閉合）二、電勢能

20、 電勢1、電勢能：靜電場為保守力場，可以引進(jìn)相應(yīng)勢能的概念，此勢能叫做電勢能。設(shè)、為在a、b二點(diǎn)的電勢能，可有 （7-12）電勢能的零點(diǎn)與其他勢能零點(diǎn)一樣，也是任意選的，對于有限帶電體，一般選無限遠(yuǎn)處（電勢能只有相對意義，而無絕對意義）選，令b點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)，有結(jié)論：在電場中某點(diǎn)的電勢能=從該點(diǎn)移到電勢能為零處電場力所作的功，在此,電勢能零點(diǎn)取在無限遠(yuǎn)處。2、電勢由表達(dá)式知，它與位置a有關(guān)，還有有關(guān)。但是且僅與位置a有關(guān)，而與無關(guān)。它如同一樣，反映的是電場本身的性質(zhì)，該物理量稱為電勢，記做，定義：為a點(diǎn)電勢，選時(shí)，有 （7-13）選，有 （7-14）結(jié)論：電場中某一點(diǎn)a的電勢等于單位正電荷從該點(diǎn)移

21、到電勢為零處（即電勢能為零處）靜電力對它做的功。A點(diǎn)電勢等于把單位正電荷從該點(diǎn)移到電勢為零點(diǎn)電場力做的功。說明：1）為標(biāo)量，可正、負(fù)或0。單位：2）電勢的零點(diǎn)（電勢能零點(diǎn)）任選。在理論上對有限帶電體通常取無窮遠(yuǎn)處電勢=0，在實(shí)用上通常取地球?yàn)殡妱萘泓c(diǎn)。一方面因?yàn)榈厍蚴且粋€(gè)很大的導(dǎo)體，它本身的電勢比較穩(wěn)定，適宜于作為電勢零點(diǎn)，另一方面任何其他地方都可以方便地將帶電體與地球比較，以確定電勢。3）電勢與電勢能是兩個(gè)不同概念，電勢是電場具有的性質(zhì)，而電勢能是電場中電荷與電場組成的系統(tǒng)所共有的，若電場中不引進(jìn)電荷也就無電勢能，但是各點(diǎn)電勢還是存在的。4）場強(qiáng)的方向即為電勢的降落方向。3.電勢差：電場中任

22、意二點(diǎn)電勢差，稱為他們的電勢差。 （7-15）結(jié)論：a、b二點(diǎn)電勢差等于單位正電荷從靜電力做的功。三、電勢的計(jì)算1、點(diǎn)電荷電勢：2、點(diǎn)電荷系電勢設(shè)有點(diǎn)電荷， （7-16）結(jié)論：點(diǎn)電荷系中某點(diǎn)電勢等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生電勢的代數(shù)和，此結(jié)論為靜電場中的電勢疊加原理。3、連續(xù)帶電體電勢設(shè)連續(xù)帶電體由無窮多個(gè)電荷元組成，每個(gè)電荷元視為點(diǎn)電荷，在a處產(chǎn)生電勢為：整個(gè)帶電體在a處產(chǎn)生的電勢為：例7-12：均勻帶電圓環(huán)、半徑為，電荷為，求其軸線上任一點(diǎn)電勢。解：如圖所示，x軸在圓環(huán)軸線上， 方法一用解：圓環(huán)在其軸線上任一點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為（與x軸平行）方法二用電勢疊加原理解把圓環(huán)分成一系列電荷元，每個(gè)電荷

23、元視為點(diǎn)電荷，在p點(diǎn)產(chǎn)生電勢為：整個(gè)環(huán)在p點(diǎn)產(chǎn)生電勢為：討論：1）處，2）時(shí)，環(huán)可視為點(diǎn)電荷。例7-13：一均勻帶電球面，半徑為，電荷為，求球面外任一點(diǎn)電勢。解：如圖所取坐標(biāo)，場強(qiáng)分布為 0（球面內(nèi)）（球面外）球面外任一點(diǎn)P1處電勢（積分與路徑無關(guān)，可沿方向）結(jié)論：均勻帶電球面外任一點(diǎn)電勢，如同全部電荷都集中在球心的點(diǎn)電荷一樣。球面內(nèi)任一點(diǎn)P2電勢可見，球面內(nèi)任一點(diǎn)電勢與球面上電勢相等。（球面內(nèi)任一點(diǎn)，在球面內(nèi)移動試驗(yàn)電荷時(shí)，無電場力作功，即電勢差=0，有上面結(jié)論）例7-14：有二個(gè)同心球面，半徑為、，電荷為，求二面的電勢差。解：方法一用解在二球面間，場強(qiáng)為： 方法二用電勢疊加原理解內(nèi)球面在二球面上產(chǎn)生電勢分別為：外球面在二球面上產(chǎn)生電勢分別為：二球面電勢分別為：注意電勢計(jì)算方法。§7-6 等勢面 場強(qiáng)與電勢的關(guān)系一、等勢面1、等勢面：電勢相等的點(diǎn)連接起來構(gòu)成的曲面稱為等勢面。如：在距點(diǎn)電荷距離相等的點(diǎn)處電勢是相等的，這些點(diǎn)構(gòu)成的曲面是以點(diǎn)電荷為球心的球面。可見點(diǎn)電荷電場中的等勢面是一系列同心的球面，如左圖所示。2、場中等勢面性