習(xí)題參考解答

1、數(shù)學(xué)建模習(xí)題解答第一章部分習(xí)題3(5).決定十字路口黃燈亮的時(shí)間長(zhǎng)度.4 .在1.3節(jié)“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎”的假設(shè)條件中，將四角的連線呈正方形改為長(zhǎng)方形，其余不變，試構(gòu)造模型并求解.5 .模仿1.4節(jié)商人過(guò)河問(wèn)題中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，作下面這個(gè)眾所周知的智力游戲：人帶著貓、雞、米過(guò)河，船除希望要人計(jì)劃之外，至多能載貓、雞、米三者之一，而當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)貓要吃雞、雞要吃米，設(shè)計(jì)一個(gè)安全過(guò)河方案，并使渡河次數(shù)盡量地少6 .利用1.5節(jié)表1和表3給出的1790-2000年的美國(guó)實(shí)際人口資料建立下列模型：(1)分段的指數(shù)增長(zhǎng)模型.將時(shí)間分為若干段，分別確定增長(zhǎng)率r.(2)阻滯增長(zhǎng)模型.換一種方法確定固

2、有增長(zhǎng)率r和最大容量xm .7.說(shuō)明1.5節(jié)中Logistic模型(9)可以表示為xt =t0是人口增長(zhǎng)出現(xiàn)拐點(diǎn)的時(shí)刻，并說(shuō)明t0與r, xm的關(guān)系.8.假定人口的增長(zhǎng)服從這樣的規(guī)律：時(shí)刻 t的人口為x，t至ij t+At時(shí)間內(nèi)人口的增量與 xm-x(t)成正比(其中為xm最大容量).試建立模型并求解.作出解的圖形并與指數(shù)增長(zhǎng)模型、 阻滯增長(zhǎng)模型的結(jié)果進(jìn)行比較 .9(3).甲乙兩站之間有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車，但發(fā)車時(shí)刻不一定相同。甲乙之間一中間站丙， 某人每天在隨機(jī)的時(shí)刻到達(dá)丙站，并搭乘最先經(jīng)過(guò)丙站的那趟車，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達(dá)甲站，約有10天到達(dá)乙站。問(wèn)開往

3、甲乙兩站的電車經(jīng)過(guò)丙 站的時(shí)刻表是如何安排的。參考答案3(5).司機(jī)看到黃燈后停車要有一定的剎車距離S1 ,設(shè)通過(guò)十字路口的距離為S2 ,汽車行駛速度為v ,則黃燈的時(shí)間長(zhǎng)度t應(yīng)使距停車線Si之內(nèi)的汽車能通過(guò)路口，即,Si S2t v其中Si可由試驗(yàn)得到，或按照牛頓第二定律解運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)一步可考察不同車重、不同路 面及司機(jī)反應(yīng)靈敏程度等因素的影響 .4.相鄰兩椅腳與地面距離之和分別定義為f S利g® ),將椅子旋轉(zhuǎn)180°其余作法與1.3 節(jié)相同.5.人、貓、雞、米分別記為 i =1,2,3,4 ,當(dāng)i在此岸時(shí)記為=1 ,否則記為=0 ,則此岸的 '狀態(tài)可用S=%,

4、X2,X3,X4成本。記s的反狀態(tài)為s =(1 x1,1 X2,1 X3,1X4 ),允許狀態(tài)集合為S =(1,1,1,1)(1,110總1,0,1 )(1,0,1,1 )(1,0,1,0及他們的5個(gè)反狀態(tài)決策為乘船方案，記作 d =(u1,u2, u3,u4 ),當(dāng)i在船上時(shí)記5 =1,否則記5=0,允許決策集合為 D ='：1,1,0,0, 1,0,1,0, 1,0,0,1 , 1,0,0,0 :'記第k次渡河前此岸的狀態(tài)為sk,第k次渡河的決策為dk,則狀態(tài)轉(zhuǎn)移律為kSk書=Sk +(-1 ) dk ,設(shè)計(jì)安全過(guò)河萬(wàn)案歸結(jié)為求決策序列d1，d2,，dn w D,使?fàn)顟B(tài)Sk

5、 w S按狀態(tài)轉(zhuǎn)移律由初始狀態(tài)G =(1,1,1,1 )經(jīng)n步達(dá)到Sn書=(0,0,0,0)。一個(gè)可行的方案如下：k12345678Sk(1,1,1,1)(0,1,0,1)(1,1,01 )(0,1,0,0)(1,11,0)(0,0,1,0)(1,0,1,0)(0,0,0,0)dk(1,0,1,0)(1,0,0,0)(1,0,01 )(1,0,1,0)(1,1,0,0)(1,0,0,0)(1,0,1,0)6(1).分段的指數(shù)增長(zhǎng)模型根據(jù)1.5節(jié)表3中的增長(zhǎng)率將時(shí)間分為三段：1790年至1880年平均年增長(zhǎng)率 2.83%;1890年至1960年平均年增長(zhǎng)率 1.53%;1970年至2000年平均

6、年增長(zhǎng)率 1.12% .三段模型為(1790年為t=0, 1880年為t=1 , ?)X1=3.9e0.283t , t=0,1, ?,10X2(t)=X1(10) e0.153(t-10) , t=11,12, ?,18X3(t尸 X2(18) e0112(t-18) , t=19,20, ?,226(2).阻滯增長(zhǎng)模型可以用實(shí)際增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)中前5個(gè)的平均值作為固有增長(zhǎng)率r,取某些專家的估計(jì)400百萬(wàn)為最大容量Xm,以1790年的實(shí)際人口為X0,模型為1.5節(jié)的(9)式。 以上兩個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果見下表：年17901800181018201830184018501860實(shí)際人口3.95.37.2

7、9.612.917.123.231.4模型(1)3.95.26.99.112.116.121.328.3模型(2)3.95.27.o9.412.616.722.229.3年187。188o189o19oo191o192o193o194o實(shí)際人口38.65o.262.976.o92.o1o6.5123.2131.7模型(1)37.549.866.177.o89.71o4.6121.9142.o模型(2)38.449.964.181.21o1.3124.1149.o174.9年195o196o197o198o199o2ooo實(shí)際人口15o.7179.32o4.o226.5251.4281.4模型(

8、1)165.5192.9224.7251.4281.2314.5模型(2)2oo.9225.8248.6268.7285.93oo.17.X注息到t=to時(shí)x = ,立即可得x(t)=XmXmrt1(-1)eXo且toJnrXm -Xo,，X(t)=XoXm1 et_Lo .8.dX=r Xm dtx o = Xo,其中r為比例系數(shù)。解上述初值問(wèn)題得Xt = Xm - Xm - Xo e如下圖中實(shí)線所示:x當(dāng)t充分大時(shí)，它與 Logistic模型相近。9(3).不妨設(shè)從甲到乙經(jīng)過(guò)丙站的時(shí)刻表是:8:00, 8:10, 8:20, ?,那么從乙到甲經(jīng)過(guò)丙站的時(shí)刻表應(yīng)該是：8:09, 8:19,

9、8:29, ?.第二章 部分習(xí)題3.在2.5節(jié)中考慮8人艇分重量級(jí)組（槳手體重不超過(guò)86kg）和輕量級(jí)組（槳手體重不超過(guò)73kg）建立模型說(shuō)明重量級(jí)組的成績(jī)比輕量級(jí)組大約好5%9.用寬 w 布條纏繞直徑 d的圓形管道，要求布條 ,.不重疊，問(wèn)布條與管道軸線的夾角«應(yīng)多大（如/一7八圖）。若知道長(zhǎng)度，需用多長(zhǎng)的布條（可考慮兩端 4關(guān)_d的影響）。如果管道是其它形狀呢J /16 .雨滴的速度v與空氣密度 P、粘滯系數(shù) N和“萩一重力加速度g有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)”包動(dòng)物體在六題中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)， 用量綱分析方法給出速度 v的表達(dá)式1

10、7 .原子彈爆炸時(shí)巨大的能量從爆炸點(diǎn)以沖擊波形式向四周傳播，據(jù)分析在時(shí)刻t沖擊波達(dá)到的半徑r與釋放的能量e,大氣密度P,大氣壓強(qiáng)p有關(guān)（設(shè)t = 0時(shí)r =0）用量綱分f t2 #5 f 5t6、析方法證明r =句金鳥上，*是未定函數(shù)參考答案3.由模型假設(shè)3,劃槳功率P與體重切成正比，而槳手?jǐn)?shù) n=8不變，所以2.5節(jié)（2）式改為v工 儂/ s3。 記重量級(jí)組和輕量級(jí)組的體重、艇速、比賽成績(jī)和艇的浸沒(méi)面積分別為1 、1/3/、1/3.1,3v202s1小、t 叫，仍2 ,Vi, v2,3, t2 , Si, S2 ,則= -。估計(jì)Si / S2的大?。褐刂丶?jí)組體t2 Vl'產(chǎn) 1 J

11、（S2 /重大，會(huì)使浸沒(méi)面積增加，單艇身略大，又會(huì)使浸沒(méi)面積減少，因而s1/s2不會(huì)超過(guò)1.05。代入孫=86,82 =73可得 t1/t2ft 0.96.9.將管道展開如圖， 可得0=叼8$"，若 一定，8 T 0尸T冗/2；切T 叼,口一 0若管道長(zhǎng)度為l ,不考慮兩端的影響時(shí)布條長(zhǎng)度顯然為ndl/co ,若考慮兩端的影響，則應(yīng)加上nd8/sin 口，對(duì)于其他形狀管道，只需將 nd改為相應(yīng)的周長(zhǎng)即可16.設(shè)17.設(shè)f(v,P,R,g )=01N】=MLT，解得 F(q2 )=0,兀1 =vr/2g/23/2 4/2.1 1/2口 g是 丫二中后中(r3/2Pg1/2/N ), 中

12、是未定函數(shù).f (e, P, p,r,t )=0 解得 F(ni,n2 )=Q0 =e_1Pr5t,冗2 = ePp5t6 于是21/5- 中第三章部分習(xí)題1.在3.1節(jié)存儲(chǔ)模型的總費(fèi)用中增加購(gòu)買貨物本身的費(fèi)用，重新確定最優(yōu)定貨周期和定貨批量。證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來(lái)的一樣，而在允許缺貨模型中最優(yōu)定貨周期和定貨批量都比原來(lái)結(jié)果減小3 .在3.3節(jié)森林救火模型中，如果考慮消防隊(duì)員的滅火速度九與開始救火時(shí)的火勢(shì) b有關(guān),試假設(shè)一個(gè)合理的函數(shù)關(guān)系，重新求解模型。4 .在3.4節(jié)、最優(yōu)價(jià)格模型中，如果考慮到成本q隨著產(chǎn)量X的增加而降低，試做出合理的假設(shè)，重新求解模型。7.要在雨中從一處沿直線跑

13、到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)，模型討論是否跑都越快，淋雨量越少。將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高 a=1.5m (頸部以下)，寬b = 0.5m厚c = 0.2m,設(shè)跑 步距離d = 1000m,跑步最大速度Vm=5m/s,雨速u=4m/s ,降雨量w = 2cm/h,記跑步速度為v ,按以下步驟進(jìn)行討論；(1)不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋雨量(2)雨從迎面吹來(lái)，雨線與跑步方向在同一鉛直平面內(nèi)，且與人體的夾角為9 ,如圖1建立總淋雨量與速度 v及參數(shù)a,b,c,d, u, w,e之間的關(guān)系，問(wèn)速度v多大，總淋雨量最少,計(jì)算0 =0,0 =30&#

14、176;時(shí)的總淋雨量。(3)雨從背面吹來(lái)，雨線方向與跑步方向在同一鉛直平面內(nèi)，且與人體的夾角為 石，如圖2建立總淋雨量與速度 v及參數(shù)a, b,c,d,u,w, E之間的關(guān)系，問(wèn)速度v多大，總淋雨量 最少，計(jì)算3 =300時(shí)的總淋雨量。(4)以總淋雨量為縱軸，速度 v為橫軸，對(duì)(3)作圖(考慮«的影響)，并解釋結(jié)果 的實(shí)際意義。(5)若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化。參考答案1 .設(shè)購(gòu)買單位重量貨物的費(fèi)用為k,對(duì)于不允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為c1c2rTc(T+kr,T,Q,的最優(yōu)結(jié)果不變，對(duì)于允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為T 2c(T,Q)=- |ci +cQ-

15、+c(rT -Qf +kQ1利用三=Q a=0,可求出 T,Q 的最T 2r 2rFTQ優(yōu)結(jié)果為2Z'2r7. 2 2,*12Gl C2 +q k c*2c-rq qk rkrI = J- ,Q = -n -,rG2C3c2c3C2C2C3C2G2G3G2C3* * . . . . T , Q均不考慮費(fèi)用k時(shí)的結(jié)果減小.3 .不妨設(shè)九(b )=,表示火勢(shì)b越大，滅火速度九越小，分母b+1中的1是防止bT 0 b 1時(shí)九T 如而加的，最優(yōu)解為也 Kb2 +2c2b(b +1 (b +1 ) (b +1 )P2c32一4 .不妨設(shè)q(x)=q0 -kx,k ,是產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)成本的降低

16、，最優(yōu)價(jià)格為* qo -ka aP2 1 - kb 2b7.1) 全身面積s=2ab+2ac+bc=2.2m2,淋雨時(shí)間t = * = 200s ,降雨量 Vm切=2cmh =10%8嗯，所以總淋雨量 Q=s惜之2.44升2)頂部淋雨量Q1 =bcd6cos% ；雨速水平分量usinH ,方向與v相反，合速度 usinH +v ,迎面單位時(shí)間、單位面積的淋雨量"(usin" +% ,迎面淋雨量Q2 =abdWusine +少 所以總淋雨量 q = Q1 +Q2 lcuco'，usn+vI UVuVv=vm 時(shí) Q 最小，e=0,Q 電 1.15 升。e =30

17、76;,Q 定 1.55 升。3)與2)不同的是，合速度為 usin" -v ,于是總淋雨量,v _ u sin 工,v u sin :"bd© cu cos a +a(u since v ) bdw u(ccos。+ asinct )av uvuvbd cu cos： »a v usin：工 j bd u ccos： - a sin "av,uvuv若ccosa asin ot <0,即tana >% ,則v = usn a時(shí)Q最小。否則v = vm時(shí)Q最小(見卜圖)當(dāng) a =30°,tano( >0.21.5,

18、v = 2m/,Q 定 0.24升最小，可與 v = vm,Q 定 0.93升相比.4) 雨從背面吹來(lái)，只要 a不太大,滿足tan a c c/ ( a = 1.5m, c = 0.2m時(shí)，a7.60即可)，v =usin a,Q最小，此時(shí)人體背面不淋雨，只有頂部淋雨.5)再用一個(gè)角度表示雨的方向，應(yīng)計(jì)算側(cè)面的淋雨量，問(wèn)題本質(zhì)上沒(méi)有變化第四章部分習(xí)題2. 一家出版社準(zhǔn)備在某市建立兩個(gè)銷售代理點(diǎn)，向 個(gè)區(qū)的大學(xué)生售書，每個(gè)區(qū)的大學(xué)生數(shù)量（單位：千人）已經(jīng)表示在圖上，每個(gè)銷售代理點(diǎn)只能向本區(qū)和一個(gè)相鄰區(qū)的大學(xué)生售書，這兩個(gè)銷售 代理點(diǎn)應(yīng)該建在何處，才能使所供應(yīng)的大學(xué)生的數(shù)量最大？建立該問(wèn)題的整數(shù)線

19、性規(guī)劃模型 并求解3.某儲(chǔ)蓄所每天的營(yíng)業(yè)時(shí)間是上午9:00到下午5:00，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每天不同時(shí)間段所需要的服務(wù)員數(shù)量如下：時(shí)間段（時(shí)）9-10101111-121211 -22 33445服務(wù)員數(shù)量43465688儲(chǔ)蓄所可以雇傭全時(shí)和半時(shí)兩類服務(wù)員，全時(shí)服務(wù)員每天報(bào)酬100元，從上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之間必須安排1小時(shí)的午餐時(shí)間，儲(chǔ)蓄所每天可以雇 傭不超過(guò)3名的半時(shí)服務(wù)員，每個(gè)半時(shí)服務(wù)員必須連續(xù)工作4小時(shí)，報(bào)酬40元，問(wèn)該儲(chǔ)蓄所應(yīng)該如何雇傭全時(shí)和半時(shí)兩類服務(wù)員？如果不能雇傭半時(shí)服務(wù)員，每天至少增加多少費(fèi) 用？如果雇傭半時(shí)服務(wù)員的數(shù)量沒(méi)有限制，每天可以減少

20、多少費(fèi)用？6.某公司將4種不同含硫量的液體原料（分別記為甲、乙、丙、?。┗旌仙a(chǎn)兩種產(chǎn)品 （分別記為A, B）,按照生產(chǎn)工藝要求，原料甲、乙、丁必須首先倒入混合池中混合，混合后的液體再分別與原料丙混合生產(chǎn)A、Bo已知，原料甲、乙、丙、丁的含硫量分別是3, 1,2, 1 （%）,進(jìn)貨價(jià)格分別為 6, 16, 10, 15 （千元/噸）；產(chǎn)品A、B的含硫量分別不能超過(guò) 2.5, 1.5 （%），售價(jià)分別為9, 15 （千元/噸），根據(jù)市場(chǎng)信息，原料甲、乙、丙的供應(yīng)量有 限制，原料丁的供應(yīng)量最多為50噸；產(chǎn)品A、B的市場(chǎng)需求分別為100, 200噸，問(wèn)應(yīng)如何安排生產(chǎn)？參考答案2.將大學(xué)生數(shù)量為 34

21、, 29, 42, 21, 56, 18, 71的區(qū)分別標(biāo)號(hào)為 1,2, 3, 4, 5, 6, 7區(qū), 劃出區(qū)與區(qū)之間的如下相鄰關(guān)系圖：記ri為第i區(qū)的大學(xué)生人數(shù)，用0-1變量Xj =1表示（i, j ）區(qū)的大學(xué)生由一個(gè)銷售代理點(diǎn)供應(yīng)圖書（i < j且i, j相鄰 ），否則xij = 0，建該問(wèn)題的整數(shù)線性規(guī)劃模型Max * ri - rj xiji ,j相鄰s.tJ x < 2i.j" % ji w 1- ixij0,1)IPMax63x12 67x13 7僅23 50x24 85x25 63x34 77x4539x46 92x47 74x56 89x67s.t.Lx

22、12+x13十x23十x24+ *25+*34 + x45x12+x13<1x12+x23十*24+ *25<1x13+x23+ *34<1x24十x34+ *45+ *46+ x47<1x25+x45+ *56<1x46十x56* x67<1x47+x67<14=0或1-x46 - x47 - x56 - x67 < 2用LINDO求解得到：最優(yōu)解為 x25 =x47 = 1 （其他為0）最優(yōu)值為177千人.3.設(shè)儲(chǔ)蓄所每天雇傭的全時(shí)服務(wù)員中以 12: 00為午餐時(shí)間的有 人名，以1: 002: 00 為午餐時(shí)間的有x2名；半時(shí)服務(wù)員中從 9:

23、 00, 10: 00, 11: 00, 12: 00, 1: 00開始工作 的分別為y1，y2, y3, y4, y5名，列出模型：Min100x1 100x2 40yl 40y2 40y3 40y4 40y5x1+x2+y1> 4x1+x2+y1+ y22 3%+X2+y+ y2+ y3父4x2+y+ y2+ y3+y4之6s.t.xi+y+ y2+ y3+y4+y5 之 5xi +x2+ y3 + y4 + y5 之 6x1 +x2+ y4 + y5 之 8x1+x2+ y5 > 8+ y + y2 + y3 + y4 + y5 w 3x1, x2, y1, y2, y3,

24、y4, y5 之。且為整數(shù)(1)求解得到最優(yōu)解xi=3,x2=4,yi=0,y2=0, y3= 2, y4=0,y§= 1，最小費(fèi)用為820元。(2)如果不能雇傭半時(shí)服務(wù)員，則最優(yōu)解為xi =5,x2 =6, yi =0, y2 =0,y3 =0,y4 = 0,y5 = 0,最小費(fèi)用為 1100 遠(yuǎn)，即每天至少增加 1100-820=280 元。(3)如果雇傭半小時(shí)服務(wù)員的數(shù)量沒(méi)有限制，則最優(yōu)解為x1 0, X2 =0, y1 4, y2 = 0,丫3 = 0,丫4 2, y5 8 ,最小費(fèi)用為560兀，既每天可以減少820-560=260 元。6.設(shè)y1,Z1分別是產(chǎn)品 A中是來(lái)自

25、混合池和原料丙的噸數(shù)，y2,Z2分別是產(chǎn)品B中是來(lái)自混合池和原料丙的噸數(shù)；混合池中原料甲乙丙所占的比例分別為x1, x2, x4 o優(yōu)化目標(biāo)是總利潤(rùn)最大，即Max9 -6x1 -16x2 -15x4 y1 15 - 6x1 -16x2 -15x4 y2 9-10z115 -10 z2約束條件為：1)原料最大供應(yīng)量限制：x4(y1 +y2產(chǎn)502）產(chǎn)品最大需求量限制：y1 +乙<100, y2 +Z2 <2003）產(chǎn)品最大含硫量限制：對(duì)產(chǎn)品 A,（3x1 +x2 +x4 M +2Z1 E2.5,即（3x + x2 + x4 -2.5）y1 0.5乙 < 0y Z1對(duì)產(chǎn)品 B,

26、3x1x2x4 -1.5 y20.5z2 M 04）其他限制：xI +x2 +x4 =1,x1，x2,x4,y1,Z1,y2,Z2 之 0用LINGO求解得到結(jié)果為：x2 =x4 =0.5, y2 =Z2 =100,其余為0;目標(biāo)函數(shù)值為450 .第五章部分習(xí)題1.對(duì)于5.1節(jié)傳染病的SIR模型，證明：(1)若so >1/。，則i(t )先增加，在s = 1/仃處最大，然后減少并趨于零；s(t )單調(diào)減少至sg。(2)若So >1/。，則i(t評(píng)調(diào)減少并趨于零，st彈調(diào)減少至 江。9.在5.6節(jié)人口的預(yù)測(cè)和控制模型中，總和生育率P(t懷口生育模式h(r,t )是兩種控制人口增長(zhǎng)的手

27、段，試說(shuō)明我國(guó)目前的人口政策，如提倡一對(duì)夫婦只生一個(gè)孩子、晚婚晚育，及 生育第2胎的一些規(guī)定，可以怎樣通過(guò)這兩種手段加以實(shí)施。*16.建立鉛球擲遠(yuǎn)模型，不考慮阻力，設(shè)鉛球初速度為V,出手高度為h出手角度為d (與 地面夾角)，建立投擲距離與v,h,白的關(guān)系式，并在v,h一定的條件下求最佳出手角度。參考答案di . dids1. SIR模型(14)式可寫作 一=Ni ps1 )=九si.由后一方程知 一 <0,st單調(diào)減少。dt出dt11一， di_ . ,1di_ .1)右so >一，當(dāng)一cscs。時(shí)，一:>0,巾 蹭加；當(dāng)s =一時(shí)，一 = 0"(t)達(dá)到最大 d

28、t二dt1 . di.一值 im；當(dāng)s<一 時(shí)，一 <0,i(t X 少且孱=0(18 此)二 dt,1 di一 ,一2)若so < 一, 一 < 0,i t單調(diào)減少至零二 dt9. 一對(duì)夫妻只生一個(gè)孩子，即總和生育率P(t)=1 ;晚婚晚育相當(dāng)于生育模式 h(r)中(5。6節(jié)(13)式)使1和rc增大；生育第2胎一些規(guī)定可相當(dāng)于 p(t)略高于1,且h(r)曲線(5。6節(jié)圖19)扁平一些(規(guī)定生 2胎要間隔多少年)*16.在圖中坐標(biāo)下鉛球運(yùn)動(dòng)方程為x =0, y =g,x(0 )= Q y(0 )= h, x(0 )=vcosu, y(0 )= vsinot.解出 x

29、(t), y(t)后，可以求得鉛球擲遠(yuǎn)為1/2R v2 . K /v2.2+2h xR =sin ot cosot + I 2sin a + glgg Jv cosa ,這個(gè)關(guān)系還可表為222R g = 2v cos :工 i.h Rtan 不由此計(jì)算dRd：L 0 ,得最佳出手角度口*i=sin.2 v2 gh,和最佳成績(jī)* vR = - qv + 2gh 設(shè) h = 1.5m, v=10m/s,則 a 忠 41.4 , R =11.4m. g第六章部分習(xí)題N2 .與Logistic模型不同的另一種描述種群增長(zhǎng)規(guī)律的是Gompertz模型；x（t ）= rxln,x其中r和N的意義與Logi

30、stic模型相同。設(shè)漁場(chǎng)魚量的自然增長(zhǎng)服從這個(gè)模型，且單位時(shí)間捕撈量為h= Ex,討論漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)廣量hm及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度Em和漁場(chǎng)魚量水平Xo3 .在6.3節(jié)種群競(jìng)爭(zhēng)模型中設(shè) 。1仃2 =1（5。仃2 ），求平衡點(diǎn)并分析其穩(wěn)定性11 . 一個(gè)島嶼上棲居著食肉爬行動(dòng)物和哺乳動(dòng)物，又長(zhǎng)著茂盛的植物，爬行動(dòng)物以哺乳動(dòng)物為食物，哺乳動(dòng)物又依賴植物生存，在適當(dāng)假設(shè)下建立三者之間關(guān)系的模型，求平衡點(diǎn)12 .大陸上物種數(shù)目可以看作常數(shù)，各物種獨(dú)立地從大陸向附近一島嶼遷移，島上物種數(shù)量的增加與尚未遷移的物種數(shù)目有關(guān)，而隨著遷移物種的增加又導(dǎo)致島上物種的減少，在適當(dāng)假設(shè)下建立

31、島上物種數(shù)的模型，并討論穩(wěn)定狀況。參考答案NE /r13 模型為：x = F（x）=rxln Ex,如圖所不，有2個(gè)平衡點(diǎn)：x = 0和X0=Ne 。 x可證x =0不穩(wěn)定，Xo穩(wěn)定（與E的大小無(wú)關(guān)）最大持續(xù)產(chǎn)量為hm = rN /e ,獲得hm的*Em =r,% = N/e14 在條彳。1。2 =1 下，記。1 =仃即。2 =1/。有 3 個(gè)平衡點(diǎn)：Pi（Ni,0 ）, P2（0,N2 ）,P3（0,0 ）。P3不穩(wěn)定；仃1時(shí)，P2不穩(wěn)定，Pi穩(wěn)定；。1時(shí)，反之11.植物、哺乳動(dòng)物、爬行動(dòng)物的數(shù)量分別記作x1（t）x2（t ）x3（t ）,若不考慮自然資源對(duì)植物生長(zhǎng)的限制，則模型為式中常數(shù)可

32、作類似 6.5節(jié)的解釋，平衡點(diǎn)為結(jié)果與6.5節(jié)相同。12.記島上物種數(shù)為X（t ）,大陸上物種數(shù)為成正比，同時(shí)x（t ）的減少率與已遷移的物種數(shù)x t = ：- N -X ）一 . x因Pi（0,0,0 ）P2r2/2，1Z ,0 1 P2 點(diǎn)中 Xi 和 X2 的N。設(shè)x（t ）的增加率與尚未遷移的物種數(shù)N -XX成正比，則N,P A 0 ）穩(wěn)7E狀態(tài)時(shí)X0 = .a + P, X3 =第七章部分習(xí)題1（1）.對(duì)于7.1節(jié)的蛛網(wǎng)模型討論：因?yàn)橐粋€(gè)時(shí)段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會(huì)影響到下一時(shí)段的價(jià)格，所以第 k+1可時(shí)段的價(jià)格yk書由第k+1和第k時(shí)段的數(shù)量xk書和Xk決定。如果仍設(shè)Xk

33、書仍只取決于y3給出穩(wěn)定平衡的條件，并于 7.1節(jié)的結(jié)果進(jìn)行比較6.在7.4節(jié)按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型中，證明當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)以后若總和繁殖率R. > 1,則種群增長(zhǎng)，若 R. <1則種群減少。參考答案1（1）.簡(jiǎn)單地假設(shè)yk書由Xk4和Xk的平均值決定，模型為.,'Xk+Xk'二 c yk 書y。Xo 嚴(yán) > 0<2；Xk 1 - X。= - yk - yo ,-0得2Xk七+aXk書+upXk =2（1 +d X0，與7.1節(jié)（B）的結(jié)果相同，平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件仍為:一: 2 .6.由7.4節(jié)定理1及（11）式可知，R = 1是九=1的充分條件。又因（11

34、）式可寫作：1 =丘+空1+ JnSiSjsg 所以當(dāng)九>1時(shí) 必有Ra1當(dāng)九<1時(shí) R<1o反之, 2n九 AjAj亦有Ra1時(shí)九>1; R<1時(shí)九<1。再由（15）式即得Ra1時(shí)，種群增長(zhǎng)；R<1時(shí)種群 減少.第八章部分習(xí)題2.對(duì)于n階成比例陣A =電、設(shè)a。="引，5=1十廝，其中w =（w1,wn:是對(duì)Wj應(yīng)與最大特征根的特征向量，6j表示aj在一致性附近的擾動(dòng)，若 6j為方差62的隨機(jī)變量，證明一致性指標(biāo) CI 25.為減少層次分析法中的主觀成分，可請(qǐng)若干專家每人構(gòu)造成對(duì)比較陣，試給出一種由若 干個(gè)成對(duì)比較陣確定權(quán)向量的方法7.右圖

35、是5位網(wǎng)球選手循賽的結(jié)果。作為競(jìng)賽圖，它是雙和向連通的嗎？找出幾條完全路 徑，用適當(dāng)排出5位選手的名次。16.奇數(shù)個(gè)席位的理事會(huì)由三派組成，議會(huì)表決實(shí)行過(guò)半數(shù)通過(guò)方案，證明在任一派都不能 操縱表決的條件下，三派占有的席位不論多少，他們?cè)诒頉Q中的權(quán)重都是一樣的。參考答案二 i .鳥j可得jn2.記A的特征根為九，由.i =工ajj%（i =1,2,n）和aj j i1 nnSinn 'i致性指標(biāo)為a = - Z z aj L,-1 = -Z Z ' +。注意到 =i+6j, n 一缸ns.ijijniTjTiniTj 4由、_ijJn一1 ,CI =1n-1 n-1nT n二二2

36、nn-1 y j/ j1 nT n 1、.2:' i2 .二n n 1 y j 才 125.設(shè)有s個(gè)專家的成對(duì)比較矩陣 人-)=匕1)"=1,2，s),要給出綜合的權(quán)向量co =仙，5 ),方法很多，如方法一：由A(k求出權(quán)向量w(k ) = (w1)，w»。再求幾何平均值 wi ,s'kw =(叫2) (i =1,，n)?*是第k個(gè)專家的加權(quán)因子，滿足 k 二Wi最后歸一化為方法二：先取ajtk柄幾何平均，得到綜合的成對(duì)比較陣 A = (aj晨,saj =n 禽2九,j =1,n)%同上，再由A計(jì)算權(quán)向量0 .k 17.競(jìng)賽圖是雙向連通的,2453 1,5

37、3124等都是完全路徑，圖的鄰接矩陣0 10 100 0 110為：A= 1 0 0 0 00 0 10 11110 0_各級(jí)得分向量為s = sC )= (2,2,1,2,3 T , s(2 )= (4,3,2,4,5 T , s(3 )= (7,6,4,7,9;，s(4 )= (13,11,7,13,17 T 。由此 可知，名次為5,1(4 )2,3 (選手1和4名次相同)。這個(gè)結(jié)果也可由計(jì)算 A的最大特征根 兒和 對(duì)應(yīng)特征向量s得到九=1.8393,s= 0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769 T.16.設(shè)三派的席位分別為 n1,n2,n3,記n1 +n2

38、+n3 =n (奇數(shù))，任一派不能操縱表決，即n 1 一n 75,也，,于是R +e，+%,%+3 A,即任兩派的席位過(guò)半數(shù)。顯然三22派的權(quán)重都是一樣的各占13.第九章部分習(xí)題4.商店要訂購(gòu)一批商品零售，設(shè)購(gòu)進(jìn)價(jià) cl,售出價(jià)c2,訂購(gòu)費(fèi)c0 （與數(shù)量無(wú)關(guān)），隨機(jī)需 求量r的概率密度為p（ r，每件商品的貯存費(fèi)為 c3（與時(shí)間無(wú)關(guān)），問(wèn)如何確定訂購(gòu)量才能使 商品的平均利潤(rùn)最大，這個(gè)平均利潤(rùn)是多少。為使這個(gè)平均利潤(rùn)為正值，需要對(duì)訂購(gòu)費(fèi)c0加什么限制.7.在9。4節(jié)給出的例子中，若l=2.0m不變，現(xiàn)均方差減為=10.cm ,問(wèn)均值m應(yīng)為多大， 每得到一根成品材的浪費(fèi)量多大（與原來(lái)的數(shù)值相比較）

39、參考答案4.設(shè)訂購(gòu)量為U ,則平均利潤(rùn)為u 二 uJ(u ) = C2 14 rp(r dr +up(r dr 廠仔 +cu + C30 (u r p(r Hr j-C2 - Cl u - Co - C2uC3 0 u - r p r dr*uu的最優(yōu)值u*滿足0p r dr = c2-c1C2 C3*u最大利潤(rùn)為J（u）=（C2+C3% rp（r Hr-Co為使這個(gè)利潤(rùn)為正值，應(yīng)有* uCo ：二 C2 C3 0 rp r dr*7. L = % =20 解(13)得 Z =2.1。再由(11), (18)式，N = 22.1,m = 2.21m 此即最佳均值*m又可算出p(m )=0.98

40、21 ,每一根成品材的浪費(fèi)量為J1 =一7 l =0.25m,比原來(lái)的p m0.45m減少甚多.第十章部分習(xí)題7.下表給出了某工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)批量與單位成本（元）的數(shù)據(jù)，從散點(diǎn)圖可以明顯地發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)批量在500以內(nèi)時(shí)，單位成本對(duì)生產(chǎn)批量服從一種線性關(guān)系，生產(chǎn)批量超過(guò)500時(shí)服從另一種線性關(guān)系，此時(shí)單位成本明顯下降，希望你構(gòu)造一個(gè)合適的回歸模型全面地描述生產(chǎn) 批量與單位成本的關(guān)系.生產(chǎn) 批量650340400800300600720480440540750單位 成本2.484.454.521.384.652.962.184.044.203.101.50參考答案7.生產(chǎn)批量與單位成本分別記作X和y ,為表示x在500以上和以下時(shí)，y與x的不同關(guān)一 一，、人一口 _, n, x>500系，引入一個(gè)虛擬變量 D ,令D =），建立線性回歸模型0, x < 500y = P0+F1x+P2僅-500 D十名，得到的結(jié)果為參數(shù)參數(shù)傳計(jì)值置信區(qū)間久6.16215.03687.2874】-0.0047L0.0074-0.0020】-0.0036L 0.00760.000