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1、復(fù)雜管網(wǎng)數(shù)學(xué)模型及其分析方式 摘要:這里將介紹基于管網(wǎng)基本定理的復(fù)雜管網(wǎng)數(shù)學(xué)模型分析法,該方法也稱節(jié)點(diǎn)法。利用該方法可以將復(fù)雜管網(wǎng)的鄰接矩陣將簡(jiǎn)單管道與復(fù)雜管網(wǎng)的分析方法統(tǒng)一起來(lái)。同時(shí)給出非線性矩陣方程的迭代解法初始參數(shù)的計(jì)算方法。 關(guān)鍵詞:非線性管網(wǎng) 節(jié)點(diǎn)法 水力分析 復(fù)雜管網(wǎng)分析方法有多種,近年新出現(xiàn)的有圖論法和有限元法34。兩種方法各有所長(zhǎng),圖論法將復(fù)雜的管網(wǎng)處理為相應(yīng)的“網(wǎng)絡(luò)圖”,并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型以適用范圍各不相同管網(wǎng)水力計(jì)算。有
2、限元法通過(guò)局部的管元分析得出管網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型。管網(wǎng)水力分析的基礎(chǔ)是管段的水力學(xué)模型。常用的數(shù)學(xué)模型是采用Darcy-Weisbach 公式和 Hazen-Williams 公式。這兩個(gè)公式原用于管道沿程水力損失的計(jì)算,公式來(lái)源于理論研究和實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果。這兩個(gè)公式的應(yīng)用基礎(chǔ)是大量實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得出的參數(shù)。Darcy-Weisbach 公式一般采用Colebrook-White、Swamee-Jain 實(shí)驗(yàn)公式和 Moody 圖表來(lái)求出沿程損失系數(shù)f2。文獻(xiàn)1論述了水力模型的基本形式和管網(wǎng)中管件的定理,該理論統(tǒng)一了局部損失和沿程損失的數(shù)學(xué)模型。這里進(jìn)一步討論在復(fù)雜管網(wǎng)中,基于該定理并利用節(jié)點(diǎn)分析方法給出
3、Kirchhoff 第一定律和第二定律的表示方法及其應(yīng)用。1. 管網(wǎng)模型1.1. 管道模型 按文獻(xiàn)1介紹的:定理1:任何管件的組合,其組合后的管件,以管件斷面的流量和壓力水頭表示的數(shù)學(xué)模型具有冪函數(shù)的形式。 (2)1.2. 復(fù)雜管網(wǎng)模型 對(duì)于復(fù)雜管網(wǎng),這里所說(shuō)的復(fù)雜是指有多環(huán)、多水源、多出流口的管網(wǎng),對(duì)于這種管網(wǎng)可以用與一般管道同樣形式的矩陣公式來(lái)表示。記: 2007-04-29 &
4、#160; 式中: H為管段的節(jié)點(diǎn)水頭矢量;q為管網(wǎng)的管段流量;n為管網(wǎng)中的管段數(shù)量。為了有利于統(tǒng)一表達(dá)式,記管段兩端的水頭為H1,H2 。對(duì)于簡(jiǎn)單管段有: (5)式中: 是管段在第t時(shí)的假定流量。q是有方向的矢量,其方向是由管段端點(diǎn)2指向端點(diǎn)1。換言之,端點(diǎn)2水頭大于端點(diǎn)1的水頭,這樣水才能從端點(diǎn)2流到端點(diǎn)1,流量的值才可能是正值。從數(shù)學(xué)的角度理解,假定H1,H2,q為不為零的實(shí)數(shù),H1,H2前面的正負(fù)號(hào)可以表示為管段的端點(diǎn)i在流量指向的方向。對(duì)于如圖1所示的管網(wǎng),可以用管網(wǎng)鄰接矩陣A表示。同理:節(jié)點(diǎn)的鄰接向量是
5、0; 2007-04-29 容易得到矩陣:(6)對(duì)應(yīng)的是以下矩陣: 對(duì)節(jié)點(diǎn)有:可以表示節(jié)點(diǎn)流量守恒定律。根據(jù)流量守恒定律和能量守恒定律,有的學(xué)科也稱為Kirchhoff 第一定律和第二定律。管網(wǎng)系統(tǒng)的兩個(gè)定律可表達(dá)為: (9)式中: Ac 節(jié)點(diǎn)與管段的鄰接矩陣;Af 節(jié)點(diǎn)與已知水頭的鄰接矩陣;Hc 管段的節(jié)點(diǎn)水頭矢量;Hf 已知節(jié)點(diǎn)水頭矢量。 2007-04-29 而且,而且, 是:(10)矩陣運(yùn)算后可表示成以下方程: 之內(nèi)。經(jīng)驗(yàn)證明這樣種情況下,令流速v=1作為t=0的初值比較合理。這時(shí),矩陣方程(8)實(shí)際迭代時(shí)t為:時(shí),認(rèn)為方程解為: 為一相對(duì)小的數(shù),
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