拋物線地性質(zhì)歸納及證明

1、拋物線的常見性質(zhì)及證明概念焦半徑：拋物線上一點(diǎn)與其焦點(diǎn)的連線段；焦點(diǎn)弦：兩端點(diǎn)在拋物線上且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)線段稱為焦點(diǎn)弦.性質(zhì)及證明過拋物線y22px（p0）焦點(diǎn)F的弦兩端點(diǎn)為,傾斜角為,中點(diǎn)為C(x0,y0), 分別過A、B、C作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為A、B、C.1.求證：焦半徑；焦半徑;； 弦長(zhǎng)| AB |x1x2p=；特別地，當(dāng)x1=x2(=90°)時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最短，稱為通徑，長(zhǎng)為2p；AOB的面積SOAB.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOqA1B1F圖2證明：根據(jù)拋物線的定義，| AF | AD |x1，| BF | BC |x2， | AB | AF |

2、BF |x1x2p如圖2，過A、B引x軸的垂線AA1、BB1，垂足為A1、B1，那么| RF | AD | FA1 | AF | AF |cosq，| AF |同理，| BF | AB | AF | BF | .SOABSOAFSOBF| OF | y1 | OF | y1 |··(| y1 | y1 |)y1y2p2，則y1、y2異號(hào)，因此，| y1 | y1 | y1y2 |SOAB| y1y2 | .2. 求證：； .當(dāng)ABx軸時(shí)，有成立；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為：.代入拋物線方程：.化簡(jiǎn)得：方程（1）之二根為x1，x2，.3.求證：Rt.CDB(x

3、2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM圖3先證明：AMBRt【證法一】延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于E，如圖3，則ADMECM，| AM | EM |，| EC | AD | BE | BC | CE | BC | AD | | BF | AF | AB |ABE為等腰三角形，又M是AE的中點(diǎn)，BMAE，即AMBRt【證法二】取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |，| MN | AN | BN |ABM為直角三角形，AB為斜邊，故AMBRt.【證法三】由已知得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).kAM，同理kBMCDBRA

4、xyOF圖41234MkAM·kBM·1BMAE，即AMBRt.【證法四】由已知得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).(x1，)，(x3，)·(x1)(x2)x1x2(x1x2)()0，故AMBRt.【證法五】由下面證得DFC90°，連結(jié)FM，則FMDM.又ADAF，故ADMAFM，如圖412，同理34圖5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF( ，0)aaabbb23×180°90°AMBRt.接著證明：DFCRt【證法一】如圖5，由于| AD | AF |，ADRF，故可設(shè)AFDADFDFRa，同理，設(shè)B

5、FCBCFCFRb，CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM圖6GHD1而AFDDFRBFCCFR180°2(ab)180°，即ab90°，故DFC90°【證法二】取CD的中點(diǎn)M，即M(，)由前知kAM，kCFkAMkCF，AMCF，同理，BMDFDFCAMB90°.【證法三】(p，y1)，(p，y2)，N1NMxyOF圖7M1l·p2y1y20，故DFC90°.【證法四】由于| RF |2p2y1y2| DR |·| RC |，即，且DRFFRC90° DRFFRCDFRRCF，而RCFRFC9

6、0°DFRRFC90°DFC90°4. CA、CB是拋物線的切線CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM圖8D1【證法一】kAM，AM的直線方程為yy1(x)與拋物線方程y22px聯(lián)立消去x得yy1()，整理得y22y1y0可見(2y1)240，故直線AM與拋物線y22px相切，同理BM也是拋物線的切線，如圖8.【證法二】由拋物線方程y22px，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得2y·2p，故拋物線y22px在點(diǎn)A(x1，y1)處的切線的斜率為k切| yy1.又kAM，k切kAM，即AM是拋物線在點(diǎn)A處的切線，同理BM也是拋物線的切線.【證法三】過點(diǎn)A(x1，y1

7、)的切線方程為y1yp(xx1)，把M(，)代入左邊y1·px1，右邊p(x1)px1，左邊右邊，可見，過點(diǎn)A的切線經(jīng)過點(diǎn)M，CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM圖9即AM是拋物線的切線，同理BM也是拋物線的切線.5. CA、CB分別是AAB和BBA的平分線.【證法一】延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于E，如圖9，則ADMECM，有ADBC，ABBE，DAMAEBBAM，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.【證法二】由圖9可知只須證明直線AB的傾斜角a是直線AM的傾斜角b的2倍即可，即a2b. 且M(，)tanakAB.tanbkAM.tan 2btanaa2b，即AM平分D

8、AB，同理BM平分CBA.6. AC、AF、y軸三線共點(diǎn)，BC、BF、y軸三線共點(diǎn)【證法一】如圖10，設(shè)AM與DF相交于點(diǎn)G1，由以上證明知| AD | AF |，AM平分DAF，故AG1也是DF邊上的中線，G1是DF的中點(diǎn).CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM圖10GHD1設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)D1，DF與y軸相交于點(diǎn)G2，易知，| DD1 | OF |，DD1OF，故DD1G2FOG2| DG2 | FG2 |，則G2也是DF的中點(diǎn).G1與G2重合（設(shè)為點(diǎn)G），則AM、DF、y軸三線共點(diǎn)，同理BM、CF、y軸也三線共點(diǎn).【證法二】AM的直線方程為yy1(x)，令x0得AM與y軸交于

9、點(diǎn)G1(0，)，又DF的直線方程為y(x)，令x0得DF與y軸交于點(diǎn)G2(0，)AM、DF與y軸的相交同一點(diǎn)G(0，)，則AM、DF、y軸三線共點(diǎn)，同理BM、CF、y軸也三線共點(diǎn)H由以上證明還可以得四邊形MHFG是矩形.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF圖117. A、O、B三點(diǎn)共線，B、O、A三點(diǎn)共線.【證法一】如圖11，kOA，kOCkOAkOC，則A、O、C三點(diǎn)共線，同理D、O、B三點(diǎn)也共線.【證法二】設(shè)AC與x軸交于點(diǎn)O¢，ADRFBC，又| AD | AF |，| BC | BF |，| RO¢ | O¢F |，則O¢與O重合，即C

10、、O、A三點(diǎn)共線，同理D、O、B三點(diǎn)也共線.【證法三】設(shè)AC與x軸交于點(diǎn)O¢，RFBC，| O¢F |【見證】O¢與O重合，則即C、O、A三點(diǎn)共線，同理D、O、B三點(diǎn)也共線.【證法四】(，y2)，(x1，y1)，·y1x1 y2·y1 y20，且都以O(shè)為端點(diǎn)A、O、C三點(diǎn)共線，同理B、O、D三點(diǎn)共線.【推廣】過定點(diǎn)P(m，0)的直線與拋物線y22px（p0）相交于點(diǎn)A、B，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l：xm的垂線，垂足分別為M、N，則A、O、N三點(diǎn)共線，B、O、M三點(diǎn)也共線，如下圖： 8. 若| AF |：| BF |m：n，點(diǎn)A在第一象限，q為直

11、線AB的傾斜角. 則cos q；【證明】如圖14，過A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為D，C，過B作BEAD于E，設(shè)| AF |mt，| AF |nt，則CDBRAxyOqEF圖14l| AD | AF |，| BC | BF |，| AE | AD | BC |(mn)t在RtABE中，cosBAEcos qcosBAE.【例6】設(shè)經(jīng)過拋物線y22px的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，且| AF |：| BF |3：1，則直線AB的傾斜角的大小為 .【答案】60°或120°.9. 以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切; AB為直徑的圓與焦點(diǎn)弦AB相切.【說明】如圖15，設(shè)E是AF的中點(diǎn)，則E的坐標(biāo)為(，)，則點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為d| AF |故以AF為直徑的圓與y軸相切，同理以BF為直徑的圓與y軸相切.【說明】如圖15，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，作MN準(zhǔn)線l于N，則| MN |(| AD | BC |)(|