排列組合問(wèn)題的常見(jiàn)十二種解法

1、排列組合問(wèn)題的常見(jiàn)十二種解法福州高級(jí)中學(xué) 陳錦平 聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣的排列組合問(wèn)題，思路靈活，題型多樣，因此解決排列組合問(wèn)題，必須認(rèn)真審題，弄清楚問(wèn)題，抓住問(wèn)題的本質(zhì)解決排列組合綜合性問(wèn)題的一般步驟如下四步:1.弄清題目要做什么事；2.怎樣做才能完成所要做的事（采取分步還是分類(lèi),或是分步與分類(lèi)同時(shí)進(jìn)行,確定分多少步及多少類(lèi)）；3.確定每一步或每一類(lèi)（排列問(wèn)題(有序)還是組合(無(wú)序)問(wèn)題）；4.解決排列組合綜合性問(wèn)題，一般先分類(lèi)再分步.一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù)？解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這

2、兩個(gè)位置. 先排末位，從1,3,5三個(gè)數(shù)中任選一個(gè)共有排法； 然后排首位，從，和剩余的兩個(gè)奇數(shù)中任選一個(gè)共有種排法； 最后排中間三個(gè)數(shù)，從剩余四個(gè)數(shù)中任選個(gè)的排列數(shù)共有種排法； 由分步計(jì)數(shù)原理得二.相鄰元素捆綁策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法？解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法三.不相鄰問(wèn)題插空策略例3.一晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3

3、個(gè)獨(dú)唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法,由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有四.定序問(wèn)題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法？解:(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是： (空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法（七個(gè)空位坐了四人，剩下個(gè)空位按一定順序坐下甲，乙，丙） 思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎? （插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排

4、法,再把其余4四人依次插入共有方法（先選三個(gè)座位坐下甲，乙，丙共有種選法，余下四個(gè)空位排其它四人共有種排法，所以共有種方法）五.重排問(wèn)題求冪策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法？解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有 7 種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間也有7種分依此類(lèi)推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法六.環(huán)排問(wèn)題直排策略例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線(xiàn)其余7人共有種排法，即 種七.多排問(wèn)題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共

5、有多少排法？解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前個(gè)位置，個(gè)特殊元素有種排法,再排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有種,則共有種排法（排好后，按前個(gè)為前排，后人為后排分成兩排即可）八.排列組合混合問(wèn)題先選后排策略例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法？解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有種方法.再把4個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有九.小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)在1,在兩個(gè)

6、奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？（注：兩個(gè)偶數(shù)，在兩個(gè)奇數(shù)，之間，這是題意，說(shuō)這個(gè)結(jié)構(gòu)不能被打破，故只能排這個(gè)結(jié)構(gòu)的外圍，也就是說(shuō)要把這個(gè)結(jié)構(gòu)看成一個(gè)整體與進(jìn)行排列）解：把,當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與排隊(duì)共有種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有種排法.十.元素相同問(wèn)題隔板策略例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？ 解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排相鄰名額之間形成個(gè)空隙在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有種分法十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)

7、字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的 取法有多少種？解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有,和為偶數(shù)的取法共有再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有十二.平均分組問(wèn)題除法策略例12. 6本不同的書(shū)平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 解: 分三步取書(shū)得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書(shū)為ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法排列組合歷來(lái)是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，通過(guò)我們平時(shí)做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點(diǎn)是條件隱晦，不易挖掘，題目多