數(shù)值分析求解非線性方程根的二分法簡單迭代法和牛頓迭代法

1、實(shí)驗(yàn)報(bào)告一：實(shí)驗(yàn)題目一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆涨蠼夥蔷€性方程根的二分法、簡單迭代法和牛頓迭代法，并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)比較兩種方法的收斂速度。二、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、編寫二分法、牛頓迭代法程序，并使用這兩個程序計(jì)算 在0, 1區(qū)間的解，要求誤差小于 ，比較兩種方法收斂速度。2、在利率問題中，若貸款額為20萬元，月還款額為2160元，還期為10年，則年利率為多少？請使用牛頓迭代法求解。3、由中子遷移理論，燃料棒的臨界長度為下面方程的根cotx=(x2-1)/2x，用牛頓迭代法求這個方程的最小正根。4、用牛頓法求方程fx=x3-11x2+32x-28=0的根，精確至8位有效數(shù)字。比較牛頓迭代法算單根和重根的收斂速度，并

2、用改進(jìn)的牛頓迭代法計(jì)算重根。三、 實(shí)驗(yàn)程序第1題： 區(qū)間0,1函數(shù)畫圖可得函數(shù)零點(diǎn)約為0.5。畫圖函數(shù)：function Test1()% f(x) 示意圖, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0r = 0:0.01:1;y = r + exp(r) - 2plot(r, y); grid on二分法程序：計(jì)算調(diào)用函數(shù)：c,num=bisect(0,1,1e-4)functionc,num=bisect(a,b,delta)%Input a,b是取值區(qū)間范圍% -delta是允許誤差%Output -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值% -num是迭代次數(shù)ya = a +

3、 exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb>0 return;endfor k=1:100 c=(a+b)/2; yc= c + exp(c) - 2; if abs(yc)<=delta a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; end if abs(b-a)<delta num=k; %num為迭代次數(shù) break; endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛頓迭代法程序：計(jì)算調(diào)用函數(shù)：c,num=ne

4、wton(func1,0.5,1e-4)調(diào)用函數(shù)：function y = func1(x)y = x + exp(x) - 2;end迭代算法：functionc,num=newton(func,p0,delta)%Input -func是運(yùn)算公式% -p0是零點(diǎn)值% -delta是允許誤差%Output -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值% -num是迭代次數(shù)num=-1;for k=1:1000 y0=func(p0); dy0=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8; p1=p0-y0/dy0; err=abs(p1-p0); p0=p1; if(err<delta)

5、 num=k; %num為迭代次數(shù) break; endendc=p0;第2題：由題意得到算式：200000*1+x10-2160*12*10=0計(jì)算調(diào)用函數(shù)：c,num=newton(func2,0.02,1e-8)程序：先用畫圖法估計(jì)出大概零點(diǎn)位置在0.02附近。畫圖程序：function Test2()% f(x) 示意圖, f(x) = 200000*(1+x).10-2160*12*10; f(x) = 0r = linspace(0,0.06, 100);y = 200000*(1+r).10-2160*12*10;plot(r, y);grid on調(diào)用函數(shù)：functiony=

6、func2(r)y=200000*(1+r).10-2160*12*10;end牛頓迭代法算法程序：function c,num =newton(func,p0,delta)%Input -func是運(yùn)算公式% -p0是零點(diǎn)值% -delta是允許誤差%Output -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值% -num是迭代次數(shù)num=-1;for k=1:1000 y0=func(p0); dy0=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8; p1=p0-y0/dy0; err=abs(p1-p0); p0=p1; if(err<delta) num=k; break; endend

7、c=p0;第3題：cotx=(x2-1)/2x 求最小正數(shù)解計(jì)算調(diào)用函數(shù)：c,num=newton(func3, 1 ,1e-8)程序：先用畫圖法估計(jì)出最小正解位置在1到2之間畫圖程序：function Test3()% f(x) 示意圖, f(x) = cot(x)-(x.2-1)./(2.*x); f(x) = 0ezplot('cot(x)-(x.2-1)./(2.*x)',-6,6);grid on調(diào)用函數(shù)：functiony=func3(x)y=cot(x)-(x.2-1)./(2.*x);end牛頓迭代法算法程序：function c,num =newton(fun

8、c,p0,delta)%Input -func是運(yùn)算公式% -p0是零點(diǎn)值% -delta是允許誤差%Output -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值% -num是迭代次數(shù)num=-1;for k=1:1000 y0=func(p0); dy0=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8; p1=p0-y0/dy0; err=abs(p1-p0); p0=p1; if(err<delta) num=k; break; endendc=p0;第4題：fx=x3-11x2+32x-28=0 精確至8位有效數(shù)字 根據(jù)畫圖圖像可得函數(shù)有一個重根在區(qū)間1,3和另一個根在區(qū)間6,8。計(jì)算調(diào)用

9、函數(shù)：重根：c,num=newton(func4, 1 ,1e-8) 另外的單根：c,num=newton(func4, 6 ,1e-8)畫圖程序：function Test4()% f(x) 示意圖, f(x) = x.3-11.*x.2+32.*x-28; f(x) = 0r = 0:0.01:8;y = r.3-11.*r.2+32.*r-28;plot(r, y);grid on調(diào)用函數(shù)：function func4(x)y=x.3-11.*x.2+32.*x-28;end牛頓迭代法算法程序：functionc,num=newton(func,p0,delta)%Input -func

10、是運(yùn)算公式% -p0是零點(diǎn)值% -delta是允許誤差%Output -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值% -num是迭代次數(shù)num=-1;for k=1:100 y0=func(p0); dy0=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8; if(dy0=0) c= vpa(p0,8); num=k; break; else p1=p0-y0/dy0; err=abs(p1-p0); p0=p1; if(err<delta) num=k; break; end endendc= vpa(p0,8);改進(jìn)的牛頓算法程序：functionc,num=newton(func,p0,d

11、elta)%Input -func是運(yùn)算公式% -p0是零點(diǎn)值% -delta是允許誤差%Output -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值% -num是迭代次數(shù)num=-1;for k=1:100 y0=func(p0); dy0=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8; if(dy0=0) c= vpa(p0,8); num=k; break; else p1=p0-2*y0/dy0;%根據(jù)重根計(jì)算時，改進(jìn)Newton法的收斂速度，可以采用在迭代函數(shù)中乘上重根數(shù)的方法進(jìn)行改善。 err=abs(p1-p0); p0=p1; if(err<delta) num=k; brea

12、k; end endendc=vpa(p0,8);四、 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析第1題：根據(jù)圖片可以看出函數(shù)零點(diǎn)的值在0.4與0.5之間，牛頓迭代法時取0.5作為迭代初值。第2題：根據(jù)圖片可以看出函數(shù)零點(diǎn)的值在0.02與0.03之間，可采用0.02作為迭代初值。第3題：根據(jù)圖片可以看出函數(shù)最小正數(shù)零點(diǎn)的值在1與2之間，在使用牛頓迭代法時可以采用1為迭代初值。第4題：根據(jù)圖片可以看出函數(shù)重根為2，另一單根為7。在使用迭代法時刻采用1和6為初值進(jìn)行計(jì)算。五、實(shí)驗(yàn)結(jié)論通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，二分法，簡單迭代法和牛頓迭代法三種算法中，牛頓迭代法在選取適合值進(jìn)行代入的情況下能得到較好的收斂效果。第1題：二分法實(shí)驗(yàn)結(jié)果： c =0.4429，num =11牛頓迭代法實(shí)驗(yàn)結(jié)果： c =0.4429，num =3根據(jù)結(jié)果可以看出兩者計(jì)算結(jié)果相同，牛頓迭代法迭代次數(shù)為3，二分法的迭代次數(shù)為11，比較而言迭代次數(shù)牛頓迭代法比二分法小得多。第2題實(shí)驗(yàn)結(jié)果：零點(diǎn)c = 0.0263，num = 4通過畫圖后能對計(jì)算結(jié)果有一個較好的估計(jì)，從而在最后獲得結(jié)果，并且迭代次數(shù)也較少。第3題實(shí)驗(yàn)結(jié)果：零點(diǎn)c = 1.3065，num = 5。cot(x)函數(shù)在/2處無限值，畫圖時注意使用符號函