有效數(shù)字與運(yùn)算規(guī)則20140512

1、有效數(shù)據(jù)定義、運(yùn)算及其修約規(guī)則一、有效數(shù)據(jù)1.1有效數(shù)字定義有效數(shù)字是指實(shí)際能測(cè)量到的數(shù)值，在該數(shù)值中只有最后一位是可疑數(shù)字，其余的均為可靠數(shù)字。1.2實(shí)際意義有效數(shù)字能反映出測(cè)量時(shí)的準(zhǔn)確程度。例如，用最小刻度為0.1cm的直尺量出某物體的長(zhǎng)度為11.23cm，顯然這個(gè)數(shù)值的前3位數(shù)是準(zhǔn)確的，而最后一位數(shù)字就不是那么可靠，如測(cè)得物體的長(zhǎng)度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，測(cè)量的結(jié)果有±0.01cm的誤差。我們把這個(gè)數(shù)值的前面3位可靠數(shù)字和最后一位可疑數(shù)字稱為有效數(shù)字。這個(gè)數(shù)值就是四位有效數(shù)字。在確定有效數(shù)字位數(shù)時(shí)，特別需要指出的是數(shù)字“0”來(lái)表示實(shí)際測(cè)量結(jié)果時(shí)，它便是有效

2、數(shù)字。例如，分析天平稱得的物體質(zhì)量為7.1560g，滴定時(shí)滴定管讀數(shù)為20.05mL，這兩個(gè)數(shù)值中的“0”都是有效數(shù)字。在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效數(shù)字。（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效數(shù)字（2）分析天平（萬(wàn)分之一）取4位有效數(shù)字（3）標(biāo)準(zhǔn)溶液的濃度，用4位有效數(shù)字表示: 0.1000 mol/L（4）pH 4.34 ,小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字位數(shù)為有效數(shù)字位數(shù) 對(duì)數(shù)值，lgX =2.38；lg(2.4´102) 1.3有效數(shù)字中0的意義0在有效數(shù)字中有兩種意義：一種是作為數(shù)字定值，另一種是有效數(shù)字例如在分析天平上稱量物質(zhì)，得到如下質(zhì)量：物質(zhì)稱量瓶Na2CO

3、3H2C2O4·2H2O稱量紙質(zhì)量（）10.07801.20560.20440.0120有效數(shù)字位數(shù)6位5位4位3位 以上數(shù)據(jù)中“0”所起的作用是不同的。“0”是有效數(shù)字：10.0780，6位有效數(shù)字。1.2056中，5位有效數(shù)字。“0”作為數(shù)字定值： 0.2044中，小數(shù)前面的“0”是定值用的，不是有效數(shù)字；0.0120中，“1”前面的兩個(gè)“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效數(shù)字，所以它有3位有效數(shù)字。 稱量精確至0.0002g; 15000m 和10000g很難肯定其中的0 是否是有效數(shù)字還是數(shù)字定值，寫(xiě)為1.5×104m，則表示有效

4、數(shù)字是二位；如果把它寫(xiě)為1.50×104m則表示有效數(shù)字是三位。綜上所述，數(shù)字中間的“0”和末尾的“0”都是有效數(shù)字，而數(shù)字前面所有的“0”只起定值作用。以“0”結(jié)尾的正整數(shù)，有效數(shù)字的位數(shù)不確定。二、數(shù)字修約規(guī)則我國(guó)科學(xué)技術(shù)委員會(huì)正式頒布的數(shù)字修約規(guī)則，通常稱為“四舍六進(jìn)五成雙”法則。四舍六進(jìn)五考慮，即當(dāng)尾數(shù)4時(shí)舍往，尾數(shù)為6時(shí)進(jìn)位。當(dāng)尾數(shù)4舍為5時(shí)，則應(yīng)是末位數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，5前為偶數(shù)應(yīng)將5舍往，5前為奇數(shù)應(yīng)將5進(jìn)位。大（于）5進(jìn)，小（于）5舍，是5看奇偶，奇進(jìn)偶不進(jìn)。這一法則的具體運(yùn)用如下：a. 將22.125和22.155處理成4位有效數(shù)字，則分別為22.12和22.16。

5、b. 若被舍棄的第一位數(shù)字大于5，則其前一位數(shù)字加1，例如18.2645處理成3為有效數(shù)字時(shí)，其被舍往后的第一位數(shù)字為6，大于5，則有效數(shù)字應(yīng)為18.3。c. 若被舍其的第一位數(shù)字即是5，而其后數(shù)字全部為零時(shí)，則是被保存末位數(shù)字為奇數(shù)或偶數(shù)（零視為偶），而定進(jìn)或舍，末位數(shù)是奇數(shù)時(shí)進(jìn)1，末位數(shù)為偶數(shù)時(shí)還進(jìn)1，例如18.350、18.250、18.050處理成3位有效數(shù)字時(shí)，分別為18.4、18.2、18.0。d. 若被舍棄的第一位數(shù)字為5，而其后的數(shù)字并非全部為零時(shí)，則進(jìn)1，例如18.2501，只取3位有效數(shù)字時(shí)，成為18.3。e. 若被舍棄的數(shù)字包括幾位數(shù)字時(shí)，不得對(duì)該數(shù)字進(jìn)行連續(xù)修約，而應(yīng)根

6、據(jù)以上各條作一次處理。如35.454546 ，只取4位有效數(shù)字時(shí)，應(yīng)為35.45,二不得按下法連續(xù)修約為35.46：35.45454635.4545535.454635.45535.46三、有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則在分析計(jì)算中，有效數(shù)字的保存更為重要，下面僅就加減法和乘除法的運(yùn)算規(guī)則加以討論。3.1 加減法在加減法運(yùn)算中，保存有效數(shù)字的以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)，即以絕對(duì)誤差最大的為準(zhǔn)，例如：0.0121+25.64+1.05782=?正確計(jì)算             不正確計(jì)算0.0

7、1                   0.0121   絕對(duì)誤差 0.000125.64                  25.64 0.01+    1.06    

8、;            +      1.05782 0.00001                            26.71    

9、60;              26.70992          上例相加3個(gè)數(shù)字中，25.64中的“4”已是可疑數(shù)字，因此最后結(jié)果有效數(shù)字的保存應(yīng)以此數(shù)為準(zhǔn)，即保存有效數(shù)字的位數(shù)到小數(shù)點(diǎn)后面第二位。3.2 乘除法乘除運(yùn)算中，保存有效數(shù)字的位數(shù)以位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，即以相對(duì)誤差最大的為準(zhǔn)。例如：0.0121×25.64×1.05782=以上3個(gè)數(shù)的乘積應(yīng)為

10、：不正確計(jì)算：0.0121×25.64×1.05782=0.3281823正確計(jì)算：0.0121×25.6×1.06=0.328在這個(gè)計(jì)算中3個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差分別為：        E%=(±0.0001)/0.0121×100=±8        E%=(±0.01)/25.64×100=±0.04     

11、   E%=（±0.00001）/1.05782×100=±0.0009 有效數(shù)字的位數(shù)取決于相對(duì)誤差最大的數(shù)據(jù)的位數(shù)。 ±0.1 /139.8 ´ 100% =±0.07% 例：(0.0325 ´ 5.103 ´ 60.0)/ 139.8 = 0.0712（0.071179184） 0.0325 ±0.0001/0.0325 ´ 100%=±0.3% 5.103 ±0.001 /5.103 ´ 100%=±0.02% 60.06 &#

12、177; 0.01 /60.06 ´ 100%=±0.02% 139.8 ±0.1 /139.8 ´ 100% =±0.07%(0.0325 ´ 5.10 ´ 60.0)/ 140=0.0710 ±0.0002 /0.0710´ 100% =±0.28%顯然第一個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差最大（有效數(shù)字為3位），應(yīng)以它為準(zhǔn)，將其他數(shù)字根占有效數(shù)字修約原則，保存3位有效數(shù)字，然后相乘即可。3.3自然數(shù)在分析化學(xué)中，有時(shí)會(huì)碰到一些倍數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，化學(xué)計(jì)量關(guān)系中的分?jǐn)?shù)和倍數(shù)，這些數(shù)不是測(cè)量所得，它們的有效數(shù)字位數(shù)可視為無(wú)限多位；如：        H3PO4的相對(duì)分子量/3=98.00/3=32.67水的相對(duì)分子量=2×1.008+16.00=18.02在這里分母“3”和“2×1.008”中的“2”由于它們是非丈量所得到的數(shù)，是自然數(shù)，其有效數(shù)字位數(shù)可視為無(wú)窮的。關(guān)于pH、pK和lgK等對(duì)數(shù)值，其有效數(shù)字的位數(shù)僅取決于小數(shù)部分的位數(shù)，因?yàn)檎麛?shù)部分只與該真數(shù)中的10的方次有關(guān)。例如，pH=13