數(shù)值計(jì)算方法試題及答案1

1、精品文檔數(shù)值計(jì)算方法試題一一、填空題(每空1分，共17分)1、如果用二分法求方程x3+x-4=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分()次。22、迭代格式x«=Xk+u(xk-2)局部收斂的充分條件是支取值在()。3_，x0<x<1S(x)=132(x-1)a(x-1)b(x-1)c1MxM3口一、二二YA十小心3、已知12'''''是二次樣條函數(shù)，則a=(),b二(),c二(精品文檔4、l0(x),l1(x)，ln(x)是以整數(shù)點(diǎn)x0，x1，xn為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，貝Un二 lk (x)=y (),n% (x4

2、 x2 3)lk(x)=k ：0(n xkl j (xk )= k=0(), 當(dāng)n±2時(shí)5設(shè)f(x)=6x7+2x4+3x2+1和節(jié)點(diǎn)xk=k/2,k=0,1,2,，則fx。,，4=和f0=6、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度為,5個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式最高代數(shù)精度為。7、加k(x)%是區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)仁)=*的最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)1式族，其中Q(x)=1,則xQ(x)dx=ox-ax2=b1-8、給定方程組ax1+x2=b2,a為實(shí)數(shù)，當(dāng)a滿足,且0<0父2時(shí)，SOR迭代法收斂。y=f(x,y)9、解初值問(wèn)題ly(x0)=y0的改進(jìn)歐拉法yn*=yn+hf(xn,yn

3、),h0yn1=yn-f(xn,Yn)f(xn1,yn1)12是aaL,當(dāng) aw ()時(shí)，必有分解式A=LLT,階方法。10A=0110、設(shè)-aa其中L為下三角陣，當(dāng)其對(duì)角線元素lii(i=1,2,3)滿足()條件時(shí)，這種分解是唯一的。二、二、選擇題(每題2分)1、解方程組Ax=b的簡(jiǎn)單迭代格式x(s=Bx(k)+g收斂的充要條件是()。(1)P(A)<1,(2)P(B)<1,(3)P(A)>1,(4)P(B)>1bn一，nf(x)dx：(ba尸C(n)f(xj八2、在牛頓-柯特斯求積公式：aT中，當(dāng)系數(shù)Ci是負(fù)值時(shí)，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)()時(shí)的牛頓

4、-柯特斯求積公式不使用。(1)n至8,(2)n>7,(3)n>10,(4)n26,3、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是()。(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次hh.4、若用二階中點(diǎn)公式y(tǒng)n1ynhf(xn2,yn7f(xn,yn)求解初值問(wèn)題y=-2y,y(0)=1,試問(wèn)為保證該公式絕對(duì)穩(wěn)定，步長(zhǎng)h的取值范圍為()。(1)0：hE2,0三h三2,(3)0：h2,(4)0<h2三、1、(8分)用最小二乘法求形如y=a+bx2的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù)：xi19253038yi19.032.349.

5、073.312、(15分)用n=8的復(fù)化梯形公式(或復(fù)化Simpson公式)計(jì)算(edx時(shí)，(1)(1)試用余項(xiàng)估計(jì)其誤差。(2)用n=8的復(fù)化梯形公式(或復(fù)化Simpson公式)計(jì)算出該積分的近似值。四、1、(15分)方程x3-x-1=0在x=1.5附近有根，把方程寫(xiě)成三種x=不同的等價(jià)形式(1)x=3/x+1對(duì)應(yīng)迭代格式Xn+=3/Xn+1；(2)xn1=.13對(duì)應(yīng)迭代格式Xxn；(3)X=X3-1對(duì)應(yīng)迭代格式Xn41=Xn-1。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計(jì)算x=1.5附近的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。選一種迭代格式建立Steffensen迭代法，并進(jìn)行計(jì)算與前一種結(jié)果比較，說(shuō)明

6、是否有加速效果。2、(8分)已知方程組ax=f，其中43一24A=34-1f=30:-14一,24(1) (1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seide迭代法的分量形式。(2) (2)求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑，寫(xiě)出SOR迭代法。潦=-y+1dx五、1、(15分)取步長(zhǎng)h=0.1,求解初值問(wèn)題Iy=1用改進(jìn)的歐拉法求y(0.1)的值；用經(jīng)典的四階龍格一庫(kù)塔法求y(0.1)的值。2、(8分)求一次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式p(x)使它滿足p(x0)=f(x0),P(Xi)=f(Xi),p'(x0)=f'(x0),p'(Xi)=f'(Xi),p(X2)=f(X

7、2)六、(下列2題任選一題，4分)1、 1、數(shù)值積分公式形如1Oxf(x)dx:S(x)=Af(0)BfCf(0)Df(1) (1)試確定參數(shù)A,B,c,d使公式代數(shù)精度盡量高；(2)1設(shè)f(x)"40,1,推導(dǎo)余項(xiàng)公式R(x)=(xf(x)dx-S(x),并估計(jì)誤差。2、 2、用二步法yn1=10yn二1ynh*(Xn,yn)(1-與f(Xn，yn)v'=f(x,y)求解常微分方程的初值問(wèn)題、y(x。)=y。時(shí)，如何選擇參數(shù)豆。，“1出使方法階數(shù)盡可能高，并求局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，此時(shí)該方法是幾階的。數(shù)值計(jì)算方法試題二一、判斷題：(共16分，每小題2分)1、若A是n"

8、階非奇異陣，則必存在單位下三角陣L和上三角陣U,使A=LU唯一成立。()2、當(dāng)n之8時(shí)，Newtoncotes型求積公式會(huì)產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性。f(x)dx ： - Aif(Xi)3、形如ai=i的高斯數(shù)精確度的次數(shù)為2n+1。(Gauss)型求積公式具有最高代 )210、A=1114、矩陣<012)的2范數(shù)1A2=9。(2aa0、A=0a05、設(shè)100打，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a#0,方程組Ax=b都是病態(tài)的,(用h)()6、設(shè)AWRnx:n,Q£RnXn,且有QTQ=I(單位陣)，則有1A2=歸42()7、區(qū)間a,b】上關(guān)于權(quán)函數(shù)W(x)的直交多項(xiàng)式是存在的，且唯一。(8、對(duì)矩陣22A

9、= 472 4(:、填空題:)A作如下的Doolittle分解：3 -0 0 %,2 2 3、I7=21010b 15J L a 1 .10 0 6A則a,b的值分別為 )(共20分,每小題2分)a =2,b = 2。f(xk)f (xk)的收斂階至少7-2-315、為使兩點(diǎn)的數(shù)值求積公式:1汽川的戶向具有最高的代1、設(shè)f(x)=9x8+3x4+21x2+10,則均差0C1.C80O1O9f2,2,2=f3,3,3=52、設(shè)函數(shù)f(x)于區(qū)間kb】上有足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，pwkb1為f(x)的xk1=xk-m一個(gè)m重零點(diǎn)，Newton迭代公式是階。3、區(qū)間a,b】上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在bb

10、】上具有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。,T,_A=4、向量X=(1,-2)T,矩陣AX 1 二cond(A)二數(shù)精確度，則其求積基點(diǎn)應(yīng)為X1=?X2=O6、設(shè)AwRn如，AT=A,則P(A)(譜半徑)A2O(此處填小于、大于、等于)1。A=2111八k7、設(shè)-42一，則kimA=。三、簡(jiǎn)答題：(9分)1、 1、方程x=42x在區(qū)間1,2】?jī)?nèi)有唯一根x*,若用迭代公式：Xk+=ln(4-xj/ln2(k=0,1,2，)，則其產(chǎn)生的序列J是否收斂于x*?說(shuō)明理由。2、 2、使用高斯消去法解線性代數(shù)方程組，一般為什么要用選主元的技術(shù)？1-cosxf(x)-Q3、 3、設(shè)x=0.001,試選擇較好的算法計(jì)算函數(shù)值

11、x2,四、(10分)已知數(shù)值積分公式為：h_h2_'0#0)+f(h)+九hf(0)-f(h)5試確定積分公式中的參數(shù)九，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。五、(8分)已知求Ka(a>0)的迭代公式為：1 ,a、xk1=(xk')x00k=0,1,22 xk證明：對(duì)一切k=1,2;，xk2ja,且序列GJ是單調(diào)遞減的，從而迭代過(guò)程收斂。3 3六、(9分)數(shù)值求積公式""三f(1)+f(2)是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？七、(9分)設(shè)線性代數(shù)方程組AX=b中系數(shù)矩陣A非奇異，X為精確解，b。，若向量X是AX=b的一個(gè)近似解

12、，殘向量r=b-AX,卜臼Ml,11<cond(A)K證明估計(jì)式：11X11蚓(假定所用矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容)。八、(10分)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間03上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試求滿足下列插值條件的一個(gè)次數(shù)不超過(guò)3的插值多項(xiàng)式H(x),并導(dǎo)出其余項(xiàng)。i012Xi012f(Xi)-113f(Xi)3九、(9分)設(shè)例(x)是區(qū)間a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù)w(x)的直交多項(xiàng)式序歹IJ,Xi(i=1,2,，n,n+1)為仲n*x)的零點(diǎn)，L(x川=12，n，n+。是以機(jī))為基點(diǎn)的拉格朗日(Lagrange海值基函數(shù),f(x)w(x)dx：Akf(xk)JaI為高斯型求積公式，證明:(1)(2)(3)(1)當(dāng)

13、0£k,jEn,k,j時(shí),balk(x)lj(x)w(x)dx=0(k=j)n1b2b'lk(x)w(x)dx=w(x)dxa-ak1n/'、'Ai：k(xi)“x。=0i1十、(選做題8分)若f(x)=COn*(x)=(xXo)(XXi)(xxn),X(i=0,1，n)互異，求fx0,x1，xp的值，其中pMn+1數(shù)值計(jì)算方法試題三一、(24分)填空題(1)(2分)改變函數(shù)f(x)=VxTi-<x(x»1)的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確(2)(2)(2分)若用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)分次(3)(3)

14、(2分)設(shè)2.2、X1+x2貝Uf'X二2x3,0<x<1S(x)=32(4)(4)(3分)設(shè)/+ax+bx+G1MxM2是3次樣條函數(shù)，則a=,b=,c=。1 x(5) (5)(3分)若用復(fù)化梯形公式計(jì)算Ledx,要求誤差不超過(guò)10、利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。X+1.6x2=1-(6) (6)(6分)寫(xiě)出求解方程組I0.©+x2=2的Gauss-Seidel迭代公式,迭代矩陣此迭代法是否收斂。554)A=:IlII(7) (7)(4分)設(shè)乜3,則11Ao,Cond/A戶o(8) (8)(2分)若用Euler法求解初值問(wèn)題y'=-10y，貝。)=

15、1,為保證算法的絕對(duì)穩(wěn)定，則步長(zhǎng)h的取值范圍為二(64分)(1)(1)(6分)寫(xiě)出求方程4x=cosx)十1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(2)(12分)以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算不行的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。(3)(3)(10分)求f(x)=ex在區(qū)間0,1上的1次最佳平方逼近多項(xiàng)式。I=1sindx(4)(10分)用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分L°x的近似值，要求誤差限為0.5父1°九(5) (5)(1°分)用Gauss列主元消去法解方程組：x1+4x2+2x3=24<3x1+x2+5x3=342xi+6x

16、2+x3=27J(6) (6)(8分)求方程組'1 3Y 、12 a '= 2/ / 1x2 J /1，<1>的最小二乘解(7) (7)(8分)已知常微分方程的初值問(wèn)題:'dy/dx=x/y,1<x<1.2J(1)=2用改進(jìn)的Euler方法計(jì)算y(12)的近似值，取步長(zhǎng)h=°.2三.(12分，在下列5個(gè)題中至多選做3個(gè)題)(1) (1)(6分)求一次數(shù)不超過(guò)4次的多項(xiàng)式p(x)滿足：p(1)=15,p'(1)=2°,p”1)=3°,p(2)=57,p'(2)=72(2) (2)(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高

17、的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：1°xf x dx1V一定A°f|+A”1)22.)1°1、(3) (3)A=(6分)用哥法求矩陣J熊的模最大的特征值及其相應(yīng)的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距離小于°.°5,取特征向量的初始近似值為(1,°匚(6分)推導(dǎo)求解常微分方程初值問(wèn)題y'x)=fx,yx,a<x<b,ya)=yQ的形式為y=yi+h冤fi+日"),i=1,2,n的公式，使其精度盡量高，其中fi=f(xi,y)xi=a+ih,i=0,1Nh=b-aN(5)(6分)求出用差分方

18、法求解常微分方程的邊值問(wèn)題y”+p(xy'+q(xy+r(x)=0,a<x<by'(a)=0,y(b)=0所得到的三對(duì)角線性方程組。數(shù)值計(jì)算方法試題三(24分)填空題(2分)改變函數(shù)f(x)=vxV1_<x(x/1)的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確(2)(2分)若用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對(duì)分次,2.2、Xi+乂2精品文檔(9)(10)(11)(12)精品文檔(2分)設(shè)x1x2 人貝U f' x 二S(x )= *(3分)設(shè)332x , 0<x <13 2 ,.x + ax + bx + c,1Mx*

19、是3次樣條函數(shù),a=,b=,c=精品文檔(13)(5)(3分)若用復(fù)化梯形公式計(jì)算0exdx,要求誤差不超過(guò)10，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。1+1.6x2=1(14) (6)(6分)寫(xiě)出求解方程組0.4x1+x2=2的Gauss-Seidel迭代公式,迭代矩陣此迭代法是否收斂。<54)A=IlII(15) (7)(4分)設(shè)93),則HAg=,Cond0c次)=。(16)(8)(2分)若用Euler法求解初值問(wèn)題y'=T0y,y(0)=1,為保證算法的絕對(duì)穩(wěn)定，則步長(zhǎng)h的取值范圍為二(64分)(8) (1)(6分)寫(xiě)出求方程4x=cosx)+1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代

20、公式，并證明其收斂性。(9) (2)(12分)以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算而5的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。(10) (3)(10分)求f(x)=ex在區(qū)間0,1上的1次最佳平方逼近多項(xiàng)式。,1sinx,I=dx.(11) (4)(10分)用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分0x的近似值，要求誤差限為0.510”(12) (5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程組:x14x22x3=24I«3x1+x2+5x3=342x1+6x2+x3=27(13) (6)(8分)求方程組3k121 1'5、2的最小二乘解(14)(7)(8分)已知常微分方程的初值問(wèn)題:

21、'dy/dx=x/y,1<x<1.2:y(1)=2用改進(jìn)的Euler方法計(jì)算y(12)的近似值，取步長(zhǎng)h=0.2三.(12分，在下列5個(gè)題中至多選做3個(gè)題)(6) (1)(6分)求一次數(shù)不超過(guò)4次的多項(xiàng)式p(x)滿足：p(1)=15,p'(1)=20,p“1)=30,p(2)=57,p'(2)=72(7) (2)(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：；xfxdx:Aof1Af1"101)A=(8) (3)(6分)用哥法求矩陣J1J的模最大的特征值及其相應(yīng)的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距離小于0.05,取特

22、征向量的初始近似值為(1,0(9) (4)(6分)推導(dǎo)求解常微分方程初值問(wèn)題y'x=fx,yx,aExMb,ya=y。的形式為y”yi+h伊。片+P1fi）,i=1,2,N的公式，使其精度盡量高，其中fi=f（Xi,yi）,Xi=a+ih,i=0,1Nh=b-aN(10) （5）（6分）求出用差分方法求解常微分方程的邊值問(wèn)題.y"+p(xy'+q(xy+r(x)=0,aMxMb:y'(a)=0,yQ)=0所得到的三對(duì)角線性方程數(shù)值計(jì)算方法試題一答案、填空題（每空1分，共17分）.2.2(一，0)(0,)、.1、(10)2、(2,)(,2)3、a=(3),b=(

23、3),(1)4、（ 1 ）、（勺）、（x4 +x2 +3）95、67、08、a <19、2等=9454 =236.25. 2 . 210、(2","2-6、）、精品文檔（lii>0）二、二、選擇題（每題2分）1、(2)2、(1)3、(1)4、(3)2二、1、(8分)解：G=sPan1,xT1111A19253138y=19.032.349.073.31解方程組ATAC=ATyT43391T173.6AA=|IAy=|其中3913529603，79980.7_解得:C _ 一0.9255577lt.0.0501025所以 a =0.9255577,b = 0.0

24、5 0 1 0 22、（15 分）解:RTf-愛(ài)口叱號(hào)常二得二0.001302hT(8)=hf2%f(xk)f(b)2k11一一12(0.88249690.77880080.60653066160.53526140.472366550.41686207)0.36787947=0.6329434四、1、（15 分）解：（1）21F(X) (X 1) 33”.18",故收斂;(2)（3）選擇.(x)(x)X0X5= 1.5中(1.5)=3 1.52= 0.17<1,故收斂;(1)：x1 =1.3572,X2,故發(fā)散。= 1.3309X3 = 1.3259x4 =1.3249>

25、 ？ )=1.32476X6 =1.32472Steffensen 迭代:Xk 1Xk(GJ - xk)(Xk) -2 :(Xk) Xk-Xk -(3 Xk1 -Xk)2計(jì)算結(jié)果：x0= 1.5X1 =1.324899, X2 =1.324718有加速效果。x1(k1)(24 -3x2")4(k書(shū))。21(k)(k) =(30 - 3x1x3 )42、（8分）解:Jacobi迭代法:(k 1)1(k)X3= -(-24 X2 )4k =0,123,(k 1)Xi= -(24 -3x2k)4x2kd)(30-3x1(k1)-x3k)4(k 1)X3Gauss-Seidel 迭代法:01

26、(k 1)、=一(-24 x2)4k =0,123,BJ = -D，(L U )=-340340l為0P(Bj)u ；，58(或. 1040.790569X1(k 二(1 - - ')x1(k)一 (24 -3x2k)4x2k"=(1-)x2k)-(30-3x1(k1)-x3k)4x3k1)-(i-')x3k)(-24-x2k1)4SOR迭代法:k=0,1,2,3,五、1、（15分）解：改進(jìn)的歐拉法:yn01"ynhf(Xn,yn)=0.9丫口0.1h_(0)_=yn21f(Xn,yn)f(Xn1,yn1)=0.905yn0.095所以y(0.i)=yi=1

27、；經(jīng)典的四階龍格一庫(kù)塔法:hyn書(shū)=Vn+；ki+2k2+2k3+k46kl=f(Xn,yn)hh4k2=f(Xn+/，yn+-kl)hhk3=f(Xn+2,yn+萬(wàn)卜2)、k4=f(Xn+h,yn+hk3)kl=k2=k3=k4=0,所以y(0.1)=y1=1:H3(Xi)=f(Xi)2、(8分)解：設(shè)h3(x)為滿足條件1H式為)=f'(X)i=0，1的Hermite插值多項(xiàng)式，2,、2則p(x)=H3(x)+k(x-X0)(X-X1)代入條件P(X2)=f(X2)得：1f(X2)3(X2)k二一,W(X2-X0)(X2-X1)六、(下列2題任選一題，4分)1、解：將 f(x) =

28、1A 3 07°A = , B = , B =2020,x,x2,x3分布代入公式得:1 c 1,D 二3020構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式X0 - 0, X1 =1H3,H3(Xi)= f(Xi)(x)滿足 1H3(X)= f'(X) i = 0,1 其中則有:1(xH3(x)dx = S(x)1f(4)( ) 22f(X)-H3(X)=TX(X-1)R(x)0xf(X)-S(X)dX = 0f(4)()f(4)()4!132 ,x (x -1) dx =4!fx3(x -1)2dx()()4! 6014402、解:h2h3.Rn,h=y(Xn1)-yn1=丫(4)hy(%

29、)百y(右)/y(%)2!3!h2h3-二0y(Xn)-：1(y(Xn)-hy(Xn)不y(Xn)-看y(Xn)2!3!.h2.h3(4)-hy(Xn)(1-u)(y(Xn)-hy(%)彳y(Xn)-y(Xn)2!3!二(1-10-1l)y(Xn)h(1-11l)y(Xn)產(chǎn)(2->-”/jd)O(h4)1Ct0-ai0%=0-+1-0=0所以2210“0=1=<=0U.25.3+用hy(Xn)王項(xiàng)：12該方法是二階的數(shù)值計(jì)算方法試題二答案、一、判斷題：（共10分，每小題2分）1、（X）2、（V）3、（X）4、（V）5、（X）6、（V）7、（X）8、（X）、二、填空題：（共10分，

30、每小題2分）1、9x8!.02、一二3、二4、16、905、-%3,Z/36>三、三、簡(jiǎn)答題：（15分）1、1、解：迭代函數(shù)為cp（x）=ln（4-x）/ln2(x)=-11X4-xln211,:：二14-2ln2四、2、2、答：Gauss消去法能進(jìn)行到底的條件是各步消元的主元素akk）全不為0,如果在消元過(guò)程中發(fā)現(xiàn)某個(gè)主元素為0,即使det（A）#0,則消元過(guò)程將無(wú)法進(jìn)行；其次，即使主元素不為（k）0,但若主元素akk的絕對(duì)值很小，用它作除數(shù)，將使該步消元的乘數(shù)絕對(duì)值很大，勢(shì)必造成舍入誤差的嚴(yán)重?cái)U(kuò)散，以致于方程組解的精確程度受到嚴(yán)重影響，采用選主元的技術(shù)，可避免（k）J）主元素akk=

31、0或akk很小的情況發(fā)生，從而不會(huì)使計(jì)算中斷或因誤差擴(kuò)大太大而使計(jì)算不穩(wěn)定。242ncosx=1-(-1)n3、3、解：2!4!(2n!)242n1-cosx=-(-1)n42!4!(2n!)22n-2f(x)-(-1)n4-2!4!(2n!)四、解：f（x）=1顯然精確成立;精品文檔hh2h9f(x) = x 時(shí),xdx=一=0hh21-1)22;h2h3h22h31f(x) = x2 時(shí),f(x) = x3 時(shí),f(x) = x4 時(shí),xdx0hh0-2h-2h='=032212;43hh3122x3dx0h3h20-3h204212;u,5,5x4dx=0h4一h20-4h3=一

32、052126；所以，其代數(shù)精確度為3xk1=(xk亙)2xk*=、ak=0,1,2xk Ua。所以xk書(shū)« xk ,即序列xj是單調(diào)遞減有五、五、證明：2xk2Vxk故對(duì)一切k=12xk11a1.-（1-）-（11）=1又xk2xk2下界，從而迭代過(guò)程收斂。2精品文檔八、六、解：是。因?yàn)閒（x）在基點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為七、x-2p(x)=T2x7f(1)2-1f330P(x)dx-f(1)f(2)2o其代數(shù)精度為1。七、證明：由題意知：AX=b,AX=b-r.IIA(X-X)=r=X-X=A，=X-X<A-1|r|又AX陷此網(wǎng)引AX上高喟卜TjA|A-1|H/u,aM所以W

33、4廠8nd刷八、解：設(shè)H(x)=N2(x)ax(x-1)(x-2)一一1N2(x)-f(0)f0,1(x-0)f0,1,2(x-0)(x-1)-1-2x(x-0)(x-1)精品文檔1所以H(x)=1-2xx(x-1)ax(x-1)(x-2)21由 H (0)=3得：H (x)=二 x所以 4a=一4-5x23x-142令R(x)=f(x)H(x),作輔助函數(shù)g(t)=f(t)H(t)k(x)t(t-1)(t-2)則g在0,3上也具有4階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且至少有4個(gè)零點(diǎn)：t=x,0,1，2f(4)()(g(4)( ) = 0)f(4)() 2x (x -1)(x -2) 4!反復(fù)利用羅爾定理可得：k(x

34、)=%!,_2_所以R(x)=f(x)-H(x)=k(x)x(x-1)(x-2)=bn1f(x)w(x)dx%Akf(xk)九、九、證明：形如，a-k的高斯(Gaus§型求積公式具有最高代數(shù)精度2n+1次，它對(duì)f(x)取所有次數(shù)不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式均精確成立n1b'、Ai：k(xjjg)=(x)：j(x)w(x)dx=01)y0i#jli(xj)=，2)因?yàn)閘i(x)是n次多項(xiàng)式，且有U=jbn1lk(x)lj(x)w(x)dx=AlOj(xj=0.所以ay(k=j)十、3)取f (x) =li2(x),代入求積公式：因?yàn)閘i(x)w(x)dx 八 Ajli(xj)所以a

35、j-2 = Ain 1 b 2n 1b二 i 1k(x)w(x)dx =' Ak = w(x)dx aak 1故結(jié)論成立。十、解：pfx0,x, ,xp = i =0f(xi)n二0” (xi -xj)j $ jf(n1)()Hx。,”, ,xn1二不一數(shù)值計(jì)算方法試題三答案, 2，、-li (x)是2n次多項(xiàng)式,一.(24分)1fx二(1)(2分)Vx+1+v,x(2)(2分)1022x2、(2分)】X2x1)(4)(3分)3-31(5)(3分)477；x1”)=1_1.6xf)k1p-1.6、(6)(6分)|/尸)=2+0.4x1()<0-0.64j收斂(4分)991(8)(

36、2分)h<0.2二(64分)11xn1=xn1COSxn（6分）4，n=0,1,2,L1一一1儀）=4"）.4<1.對(duì)任意的初值X。叫迭代公式都收斂。（12分）用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113611510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755535f'''x=x28f''O".，R=(115-100(115-121(115-14403!,131一1002

37、15629:0.0016368精品文檔(3)(10分)設(shè)Mx)=G*(x)+c21Mx)=c+c2x曲22)lCif(f*i)1(2,電)(電,®2),©2(f血)。1仲1)=10dx=11.11,2=oxdx=32)12112,2=0xdx=,f,1二。exp(x)dx=e-13，1f,2=0xexp(x)dx=11/2Ygfe-11/21/32G8731；9廠(1.690J,©(x)=0.8731+1.690xx=4e-1018-6ex=0.873l27+1.69031x(4)(10分)1S=-f(0)+4f=0.94614588臥 2flm=0.946086

38、931，S2f(0)+4f121-51cc之一S2-S1=0.3931015IS2=0.94608693或利用余項(xiàng):fx=9=1x246xxxCa1-3!5!7!8人.9!7 2! 9 4!r(4)/y1f(x)M5f(4)尸28805n4<0.5103n至2，I上S2=一(5) (10分)3.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00009.68750.00005.3333-2.33334.33330.00000.00001.9375Tx:2.0000,3.0000,5.00006 /8、1.3333、14人XzJ I20J, 'I 2.00003(6) (8分)(ATAX=ATb,9若用Householder變換,則：4.61880-1.52073-2