培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1、培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)曾子墨是鳳凰衛(wèi)視節(jié)目主持人，她年輕漂亮，事業(yè)有成。其實，曾子墨能取得今天的成就和她自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大關(guān)系，1996年，在參加全球最負盛名的投資銀行摩根斯坦利的面試時，一位分析員問她：“如果你找到一份工作，薪水有兩種支付方式：一年12000美元，一次性全部給你；同樣一年12000美元，按月支付，每月1000美元。你怎么選擇？”這兩種支付方式總數(shù)相同，按常規(guī)理解，無所謂隨便選擇一種就行。但曾子墨卻說：“這取決于現(xiàn)在的實際利率。如果實際利率是正數(shù)，我選第一種；如是負數(shù)，我選擇第二種；如果是零，兩者一樣。同時，我還會考慮機會成本，即便實際利率是負數(shù)，假如有好的投資機會能帶來更多的

2、回報，我還是選擇第一種?！苯又俏环治鰡T又提問：“9枚硬幣，有一枚重量和其他的不一樣，你用兩只手，至少幾次可以找出這枚硬幣？”曾子墨毫不猶豫地回答：“三次?！?“還是9枚硬幣，改變其中的一個條件，兩次就可以找出這枚特殊的硬幣，這個條件應(yīng)該怎樣改變？”“告訴我這枚特殊的硬幣比其它的硬幣重還是輕?！本瓦@樣，曾子墨以她出色的表現(xiàn)，征服了所有分析員。最終在她的評定書上寫的是：不惜代價，一定要雇傭！數(shù)學(xué)素養(yǎng)聽起來好像很深奧、很生疏，其實它時時滲透在我們的日常生活中，如：商場打折信息、家庭投資理財問題等。那什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)？對于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的解釋，到目前為止還沒有一個嚴格的、統(tǒng)一的定義。有人認為“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”是

3、人在先天基礎(chǔ)上，受后天環(huán)境、數(shù)學(xué)教育等影響，所獲得的數(shù)學(xué)知識技能、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)等融于身心的一種比較穩(wěn)定的心理狀態(tài)。用南開大學(xué)顧沛教授的話說：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識都排出或忘掉后剩下的東西。小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括數(shù)感、符號意識、空間觀念、統(tǒng)計觀念、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識五種數(shù)學(xué)意識，數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)交流、解決問題四種數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)價值觀的發(fā)展。下面我從以下三個方面和大家談?wù)勎覍ε囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的膚淺認識：一、用數(shù)學(xué)的視角去認識世界。二、用數(shù)學(xué)的方式去思考問題。三、用數(shù)學(xué)的方法解決問題。首先看第一個方面：用數(shù)學(xué)的視角去認識世界數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng)。什么是“數(shù)學(xué)意

4、識”呢？舉一個例子，假如學(xué)生會計算“48÷4”，說明學(xué)生具有除法的知識與技能。學(xué)生會解“有48個蘋果，平均每人分4個蘋果，可以分給多少人？”，說明學(xué)生具有一定的分析問題、解決問題的能力，但都不能說明學(xué)生具有數(shù)學(xué)意識。而在體育課上，48位學(xué)生在跳長繩，教師共準備了4根長繩，由此學(xué)生能想到“48÷4”這個算式，這就說明學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)意識了。（一） 理解數(shù)的意義與數(shù)的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)感。在北京自然博物館有一塊展板：“1983年初在東北地區(qū)進行的航行調(diào)查表明，在7000平方米的山林中僅發(fā)現(xiàn)兩只老虎，因此東北虎被列為一級保護動物?！睂ν饨?jīng)貿(mào)大學(xué)的小楊認為:一個標準的操場都比7000平

5、方米大。如果在7000平方米的范圍里就有兩只老虎，那么老虎的數(shù)量應(yīng)該很多，怎么還會因此被列為一級保護動物呢？那為什么那么多的參觀者對此說明都熟視無睹，而小楊卻能發(fā)現(xiàn)其中的問題呢？一方面我認為小楊善于觀察、思考，另一方面說明小楊有很好的數(shù)感?！皵?shù)感”，就是對數(shù)的本質(zhì)的理解和感覺。數(shù)的本質(zhì)是“多與少”或者“大與小”，從而過渡到數(shù)的順序。有關(guān)“數(shù)感”問題我們可以追溯到動物的感知，比如說條狗，它可能敢與一匹狼爭斗，但如果有兩匹狼它就會害怕，如果面對一群狼它就會逃跑。這說明動物也知道“多與少”。在數(shù)：科學(xué)的語言一書中記載了這樣一件事：一只烏鴉在一家莊園的望樓頂上建了個鳥巢，莊園主對此很生氣，決心殺死這只

6、烏鴉?？墒牵慨斍f園主走進望樓，烏鴉就離巢而去，直到莊園主走出望樓才回巢。莊園主就想了一個辦法，他找來個朋友，兩人一起進去，然后走出一人，希望留下一個人去殺烏鴉，但是烏鴉并沒有上當回巢。后來又三人進去兩人出來，四人進去三人出來，依然如故。直到五人進去四人出來，烏鴉才分辨不清，回巢了。這說明烏鴉關(guān)于數(shù)的悟性至少可以分辨到4或5。如果人不會數(shù)數(shù)的話，能辨別到幾呢?實驗表明，人也只能辨別到4或5。由此可以推斷，在數(shù)學(xué)方面，發(fā)明了計數(shù)之后，人類才與動物產(chǎn)生了本質(zhì)的差異。有了“多少”這一概念，人類才能理解“有序”、“后繼數(shù)”等概念。從l開始，借助“后繼數(shù)”，便形成了自然數(shù)系；通過自然數(shù)的四則運算，形成了

7、有理數(shù)系；通過有理數(shù)的代數(shù)運算，最終形成了實數(shù)系。所以，“多少”的概念，以及由其自然產(chǎn)生而不是通過運算產(chǎn)生的自然數(shù)，才是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的概念，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的根基。因此，培養(yǎng)小學(xué)生的“數(shù)感”是低學(xué)段教學(xué)的重點。其實學(xué)生入學(xué)前就已經(jīng)知道了不少數(shù)，但那只是他們憑生活經(jīng)驗認識的數(shù)，對數(shù)他們只是有一種非?！澳w淺”的表層認識，我們的任務(wù)就是讓這些成人看起來非常抽象的數(shù)，在孩子的腦子中逐漸豐富起來，富有“數(shù)的內(nèi)涵”。一年級上冊第五單元學(xué)習1120各數(shù)的認識，本節(jié)課的教學(xué)重點是，讓學(xué)生通過動手操作初步認識和數(shù)位“個位”、“十位” 和 計數(shù)單位“一”、“十”；理解同一數(shù)字在不同位置表示不同的數(shù)值。一上課我通過猜數(shù)游

8、戲引出“11”這個數(shù)，然后要求學(xué)生把11根小棒擺在桌面上，讓別人一眼就能看出是11根。當學(xué)生把11根分成10根和1根兩部分后，接著讓他們把10根捆在一起。這時告訴大家，和同學(xué)們一樣，數(shù)也有自己的位置，并出示數(shù)位筒，認識個位和十位。1根小棒表示1個一應(yīng)放在個位筒里，1捆小棒表示1個十應(yīng)放在十位筒里。另外，學(xué)生通過1個十和10個一的相互轉(zhuǎn)化過程，體會 “數(shù)位”“計數(shù)單位”概念的實際意義，建立“數(shù)位”和“計數(shù)單位”的概念。同時，“數(shù)位筒”的教學(xué)又在不知不覺中對后面“份”的概念的教學(xué)起到了非常微妙的作用，從份的概念來分析，把這“10”根小棒捆成1捆，就是把10根小棒看成1份。學(xué)完后我問學(xué)生當你看到20

9、你想到了什么？劉鈺杰說：“我穿20號的鞋子?！眲⑾栌钫f；“20十位上是2，個位上是0?！倍庞昝日f：“我有20支新鉛筆?！倍≈袓拐f：“20比11大多了?！比绻覀儾唤o孩子說的自由，大概就沒機會知道孩子心中的數(shù)有如此豐富的內(nèi)涵了。（二）經(jīng)歷符號化過程，培養(yǎng)符號意識。英國著名數(shù)學(xué)家羅素說過：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯?！狈栆庾R，主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行一般性的運算和推理。學(xué)生在生活中能接觸到很多像停車標志、奧運五環(huán)標志等用符號表示的情境，所以有一定的符號經(jīng)驗。上學(xué)期學(xué)習“統(tǒng)計我們的鞋碼”時，我就利用學(xué)生已有的符號經(jīng)驗，鼓勵他們用自己喜歡的方

10、式進行統(tǒng)計，有的學(xué)生寫數(shù)，有的畫“”，還有的用“、”等圖形表示。記得王老師在教學(xué)“用數(shù)對確定位置”時，先通過呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的教室里的座位這一具體場景，激活學(xué)生頭腦中已有的描述物體位置的經(jīng)驗；通過交流，學(xué)生產(chǎn)生用一致的方式來表示位置的需求。然后把具體的場景圖逐步抽象成圓圈圖、網(wǎng)絡(luò)圖這種平面圖，并讓經(jīng)歷用數(shù)對表示位置的過程。這樣學(xué)生就經(jīng)歷了“具體事物個性化地符號表示學(xué)會數(shù)學(xué)化表示”的學(xué)習過程，體會到引入符號的必要性以及數(shù)學(xué)符號的簡潔與實用，培養(yǎng)了學(xué)生的符號意識，發(fā)展空間觀念。當然數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生和發(fā)展過程并不是一帆風順的，如，阿拉伯數(shù)字的誕生和使用就是一個漫長的過程，我們可以結(jié)合數(shù)的認識的教學(xué)向?qū)W生介

11、紹數(shù)字誕生的歷史，讓學(xué)生了解數(shù)字符號的發(fā)展史，感受數(shù)學(xué)文化的無窮魅力。（三）實踐操作與數(shù)學(xué)思考相結(jié)合，培養(yǎng)空間觀念空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等。我們就生活在宇宙這個大空間里，如，你想邀請別人去你家做客，就要說清楚你家的方位及去你家的行走路線。還有，我們的樓房，就要經(jīng)歷先有設(shè)計師把頭腦中的實物抽象成平面圖形，再由建筑師負責把它轉(zhuǎn)化為實物的過程。教學(xué)時，我們要充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，找準發(fā)展空間觀念的支點。上學(xué)期在學(xué)習 “方向與位置”時，我把學(xué)生帶到操場上，利用

12、學(xué)生已有的“太陽從東方升起”的生活經(jīng)驗，先確定東方，再來認識其他三個方向。這樣就把教學(xué)視野拓展到了生活空間，利用生活原型來有效促進學(xué)生空間觀念的發(fā)展?？臻g觀念的發(fā)展不僅需要豐富的現(xiàn)實情境、而且需要大量的操作活動。在教學(xué)“體積和容積”時，有位教師就利用從粉筆盒抽出粉筆和放回粉筆的動態(tài)過程，把抽象的數(shù)學(xué)概念具體化，讓“物體占有空間的大小”變得可觀察、可感受。還有在學(xué)習“搭一搭”時，老師先出示兩幅從物體前面和右面觀察到的平面圖：前面： 右面： 然后讓學(xué)生通過想一想、搭一搭、說一說等活動，知道有多種可能的情況，不能確定物體的具體形狀。這時老師又出示從上面看到的平面圖。上面： 最后，大家通過想一想、搭一

13、搭確定了物體的形狀。在這里，教學(xué)過程把學(xué)生的觀察、操作、想象、思考、交流等活動結(jié)合起來，發(fā)揮學(xué)生的空間想象力，實現(xiàn)了二維平面與三維空間之間的轉(zhuǎn)化，有效促進了活動的內(nèi)化及空間觀念的形成。（四）經(jīng)歷統(tǒng)計活動的全過程，培養(yǎng)統(tǒng)計觀念我們幾乎每天都要和數(shù)據(jù)打交道，如：“今日滬綜指開于2845.33點，跌幅1.07%，成交額679.80億元?！薄拔覈?.91億畝作物受旱，422萬人飲水困難”，對數(shù)據(jù)進行收集、整理、分析是我們每位公民的基本素養(yǎng)之一。統(tǒng)計就是一個包括數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析的完整過程。小學(xué)生學(xué)習統(tǒng)計的核心目標是發(fā)展“統(tǒng)計觀念”統(tǒng)計觀念的培養(yǎng)僅靠訓(xùn)練是難以形成的，必須讓學(xué)生去親身體驗。如，

14、上學(xué)期學(xué)校舉辦“陽光女孩節(jié)”，我班就開展了一次“應(yīng)多買些什么顏色的氣球”的調(diào)查。學(xué)生經(jīng)歷了收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)，通過交流，作出決策的統(tǒng)計活動。在活動中學(xué)生體會到統(tǒng)計的必要性以及統(tǒng)計的作用?，F(xiàn)代公共媒體已經(jīng)大量使用統(tǒng)計圖來表示信息，能看懂生活中常見的統(tǒng)計圖表是現(xiàn)代公民重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，進行統(tǒng)計教學(xué)時，應(yīng)將學(xué)習重點放在引導(dǎo)學(xué)生讀懂統(tǒng)計圖表、會分析圖表中的數(shù)據(jù)并進行必要的推理上，而不是放在制作統(tǒng)計圖表上。如，一位同學(xué)調(diào)查了自己班上的5位男同學(xué)，其中有4位同學(xué)喜歡打籃球，便得出結(jié)論他班80%的同學(xué)喜歡打籃球。我們就要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)據(jù)來源、數(shù)據(jù)處理的方法以及由此得到的結(jié)論進行合理的質(zhì)疑，使學(xué)生

15、對統(tǒng)計數(shù)據(jù)有較全面、正確的認識。（五）注重數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識有一次，我的好朋友不好意思的問我：在超市買東西時，你好不好看同一產(chǎn)品不同的包裝的價格，然后比較一下哪個便宜再買？其實，我們學(xué)知識為了什么？不就是用嗎？學(xué)了不讓它為我們的生活服務(wù)，我們學(xué)它干什么。比如，同樣是光明純鮮牛奶：大包裝1000ml,8元/桶；小包裝220ml，2元/盒。通過計算1000÷8=1250（ml/元） 220÷2=110（ml/元）可以知道，同樣1元錢，可以多喝15 ml牛奶，如果家庭人口比較多，當然選擇大包裝合算。什么是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識呢？數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法的心

16、理傾向，主動嘗試用數(shù)學(xué)知識、方法、策略、思想去思考和解決遇到的現(xiàn)實問題。看來我這位朋友就有很好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。在教學(xué)中我們要有意識的引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中的這些數(shù)學(xué)問題，讓他們體會到學(xué)習數(shù)學(xué)的意義以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活的習慣。培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實踐能力，僅靠課堂上的學(xué)習體驗是不夠的，我們還要安排一些有意思的實踐活動，把數(shù)學(xué)學(xué)習延伸到課外。在認識“厘米和米”時，一位教師就安排了四次課外實踐活動：（一）請你和爸爸、媽媽一起用腳量一量你的小房間的長。通過活動，讓學(xué)生體驗到同一物體用不同的長度單位量，會得到不同的結(jié)果；其次讓學(xué)生在學(xué)習長度單位前，對長度單位先有一個廣義的了解，并在與

17、爸爸媽媽合作的過程中感受學(xué)習的快樂。（二）請你和同桌一起用一拃來量一量課桌的長。通過本活動，學(xué)生再一次體驗到同一物體用不同的長度單位量，會得到不同的結(jié)果，同時讓學(xué)生感受到就自己的一拃在量的過程中長短也在變化，這樣量不準確，最好用一個比較準一點的工具來量。（三）請你用數(shù)學(xué)書來量一量你的小房間和課桌的長。通過這一活動，學(xué)生感悟到用同樣的長度單位去量，可以比較物體的長短，但這樣的長度單位在敘述時很不方便，適用范圍也小，既不能量比較長的物體，如操場，也不能量比較小的物體，如橡皮，從而感受到需要有一種統(tǒng)一的測量工具和統(tǒng)一的長度單位。（四）請你用尺子來量一量你的小房間和課桌的長。通過這次活動，學(xué)生加深了對

18、厘米和米的認識，同時建立了法定長度單位與生活中長度單位間的聯(lián)系，熟練掌握了用尺子來量物體的長度的方法。第二個方面：用數(shù)學(xué)的方式思考問題數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。（一） 數(shù)形結(jié)合，發(fā)展學(xué)生的形象思維小學(xué)生的思維處于形象思維向抽象思維過渡的階段。數(shù)是形的抽象，形是數(shù)的表現(xiàn)。“數(shù)形結(jié)合”能幫助學(xué)生生成正確的數(shù)學(xué)表象，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。案例一：“千克與克”的認識屬于概念教學(xué)，內(nèi)容相對比較抽象，學(xué)生理解有一定困難。在學(xué)習千克的時候，我設(shè)計了一個找1千克的環(huán)節(jié)。我讓學(xué)生一只手掂著1千克重的洗衣粉，另一只手掂一掂袋子里的東西，估一估哪袋東西也重1千克。人對物體質(zhì)量的直觀感知，除了掂一掂然后估一估之外，很重要的一

19、種方式是根據(jù)具體實物的數(shù)量來進行簡單推斷。因此，在評價學(xué)生“克與千克”知識掌握程度時，經(jīng)常要考查學(xué)生“5個蘋果約重（）千克”、“1箱蘋果重10（）”。我們大人根據(jù)一般的生活經(jīng)驗，都能做出簡單的估計。但剛上三年級的小學(xué)生，生活經(jīng)驗比較少，或者平時經(jīng)歷了但沒有留心，臨到做題時只能瞎猜。而且同樣質(zhì)量的物體，每個物體的大小不同，物體的數(shù)量也不同。這就要求教師在課堂上通過實踐活動，喚醒學(xué)生的經(jīng)驗，提醒他們注意積累對質(zhì)量的體驗。比如，學(xué)生掂、稱出1千克蘋果、面粉等后，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)、看一看，就能發(fā)現(xiàn)4個蘋果約重1千克，2瓶礦泉水約重1千克，1千克黃豆（約4000粒）有幾捧。讓學(xué)生將抽象的1千克數(shù)學(xué)概念與具體

20、事物的數(shù)量、體積聯(lián)系起來，能幫助學(xué)生有效建立1千克的質(zhì)量概念，化抽象的概念為可以看得見的數(shù)學(xué)事實。案例二：在計算教學(xué)中我們不僅要讓學(xué)生掌握計算方法，更重要的是要人學(xué)生明白算理，使學(xué)生不僅“知其然”，而且“知其所以然”，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。在小學(xué)階段，加、減、乘、除的豎式寫法是筆算教學(xué)的重要內(nèi)容，其中除法的豎式相對特殊。初次接觸除法豎式是在二年級上冊第七單元表內(nèi)除法，由口算引入，數(shù)目簡單，根據(jù)知識遷移規(guī)律，學(xué)生一般都會仿照加、減、乘法的豎式寫法來寫“除法豎式”。如果我們非要學(xué)生再創(chuàng)造一種新的豎式寫法，那么除法豎式只能成為教師一廂情愿硬塞給學(xué)生的東西，體現(xiàn)不出除法豎式的優(yōu)勢。教學(xué)不應(yīng)該是學(xué)生適應(yīng)

21、教師，而應(yīng)該以學(xué)定教。為了讓學(xué)生體驗到筆算除法的必要性，我在教學(xué)這節(jié)課時，改變了教材的呈現(xiàn)順序，把二年級下冊的有余數(shù)的筆算除法提前，也就是先教學(xué)有余數(shù)除法的豎式，再教學(xué)沒有余數(shù)的。教學(xué)過程是這樣設(shè)計的：1.分糖葫蘆活動，把13串糖葫蘆平均分給4個同學(xué)，每個同學(xué)分到幾串，還剩幾串？2.用小棒代替糖葫蘆分一分。3.列橫式計算：13÷4=3（串）1（串）。4.加、減、乘法都有豎式，除法也能用豎式計算，讓學(xué)生嘗試寫出來，結(jié)果多數(shù)同學(xué)不知怎樣寫，而我班李景渤這樣創(chuàng)造：13÷ 4=31這時，我寫出正確的除法豎式讓學(xué)生對比兩者的不同，學(xué)生發(fā)現(xiàn)正確的寫法能清楚的看出哪些是要分的，哪些是已經(jīng)

22、分的，哪些是剩余的，能更好的體現(xiàn)出分的過程。接著結(jié)合分小棒的過程來介紹除法豎式的寫法。關(guān)于除法豎式的書寫順序，教材和教師用書都沒有說明，我嘗試按被除數(shù)、除號、除數(shù)、等于號、商的順序來書寫，這種書寫過程與橫式書寫順序一樣，這樣可以避免學(xué)生把除號里面的被除數(shù)和外面的除數(shù)位置搞錯。5.學(xué)生嘗試練習除法豎式：21÷5、20÷6、15÷3。從有余數(shù)到無余數(shù)，從一般到特殊，學(xué)生順利理解在15÷3的豎式中，被除數(shù)下面要再寫一個15，是表示分掉了15個。這節(jié)課先教學(xué)有余數(shù)的除法豎式，讓學(xué)生產(chǎn)生用加、減法的豎式書寫，余數(shù)沒辦法處理的矛盾，從而產(chǎn)生學(xué)習除法豎式的內(nèi)心需求，同

23、時也有助于學(xué)生理解除法豎式中各部分的意義。案例三：圖形語言是形象思維的主要載體，運用“數(shù)形結(jié)合”辦法解決問題就是把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來進行思維。例如，小朋友排隊，小雨從前往后數(shù)，他自己是第8個。又從后往前數(shù)，他是第5個。這隊共有多少個小朋友？一部分學(xué)生一時難以解決，教師要引導(dǎo)學(xué)生畫示意圖解決，用圖表示為：前后，得到：7+1+4=12（人）或8+4=12（人），化抽象為直觀，使問題的數(shù)量關(guān)系更容易理解，找到簡捷地解決問題的辦法。（二）精心組織數(shù)學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生初步的推理能力推理是由一個或幾個已知判斷得出新判斷的思維過程。根據(jù)小學(xué)生的年齡特征，小學(xué)生的推理能力應(yīng)以合情推理為主。偉

24、大的科學(xué)家牛頓認為：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”數(shù)學(xué)猜想是合情推理發(fā)展的基礎(chǔ)?！安孪腧炞C”是一種重要的推理策略。在教學(xué)“圓錐的體積”時，老師要求學(xué)生把圓柱形的胡蘿卜削成等高的圓錐，并猜測圓錐的體積與圓柱體積的關(guān)系。有的認為是圓柱的1/2,有人認為是1/3,也有人認為介于1/2和1/3之間。在上述案例中，學(xué)生借助觀察與實驗進行了大膽猜想；我們也可以運用類比提出猜想，如根據(jù)“長方體的體積=底面積×高”，可以類比推斷出“圓柱的體積=底面積×高”。由于合情推理的結(jié)果具有不確定性，所以我們要采用實例法和演繹法對結(jié)論進行論證，并以實例驗證為主。實例驗證，主要是通過舉例的方法

25、進行，可以舉反例，推翻原來的結(jié)論或猜想。也可以舉出正例，運用不完全歸納法驗證猜想使原來的結(jié)論更加可靠。下面我們來看學(xué)生是怎樣驗證“3的倍數(shù)的特征”的。當學(xué)生根據(jù)2、5的倍數(shù)的特征猜測：個位上是3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)后，學(xué)生就用反例進行了驗證：生1：個位上是3、6、9的數(shù)不一定是3的倍數(shù)，如13、16、19都不是3的倍數(shù)。生2：像60、12、27等個位上不是3、6、9，但這些數(shù)都是3的倍數(shù)。通過探索初步得出：“一個數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)”這一結(jié)論后，學(xué)生又用“舉例歸納”的方法進行了驗證：如有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)“在1100的自然數(shù)中，是3的倍數(shù)的，各位數(shù)位的數(shù)字和都是3的倍數(shù)

26、。110、145各數(shù)位數(shù)字之和不是3的倍數(shù)，這些數(shù)就不是3的倍數(shù)。”最后，教師還引導(dǎo)學(xué)生利用3根小棒在數(shù)位表中擺數(shù)，用“操作歸納”的方法進一步驗證了結(jié)論。隨著年級的升高，我們應(yīng)該結(jié)合課堂上的學(xué)習內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習一些有效的演繹推理方法。如，17世紀著名的數(shù)學(xué)家萊布尼茲就一絲不茍地利用數(shù)學(xué)的演繹法論證了“2×2=4”，2×2=2×（1+1）=2+2=2+（1+1）=（2+1）+1=3+1=4，這里運用了自然數(shù)的意義、乘法分配律、加法結(jié)合律等知識進行論證。小學(xué)生的推理能力往往不是靠“傳授”得來的，而是在自主參與的推理活動中“領(lǐng)悟”出來的。數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)并不僅局限于

27、課堂，一些有效的課外活動及游戲方式同樣是培養(yǎng)推理能力的良好途徑。（三）把握整體，突破常規(guī)，培養(yǎng)直覺思維能力愛因斯坦說：“真正可貴的思維是直覺思維。”直覺思維是人腦對事物、問題、現(xiàn)象的某種直接的領(lǐng)悟和洞察的一種思維形式。在教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力。首先，要提高學(xué)生整體把握知識的能力。如小明今年8歲，他媽媽今年36歲，再過6年，媽媽比小明大幾歲？按一般的思維方式，此題列式是“（36+6）-（8+6）”，但具有良好的直覺思維的學(xué)生就會簡化信息與問題間的距離，直接列式為“36-8”.其次，要選擇合適的問題和形式，訓(xùn)練學(xué)生的直覺思維。如問題1：計算（1+3+5+2007）-（2+4+6+2006

28、），教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)特點，從而產(chǎn)生直覺預(yù)見，去掉括號，將算式重組為1+（3-2）+（5-4）+（2007-2006）=1004。問題2：下面時間中，與你的年齡最接近的是（）。600時 b 600日 c 600周 d 600月 本題是一道選擇題，只要求從四個選項中挑選一個合理的答案，省略了解題過程，允許學(xué)生運用合理的猜想，有利于直覺思維的發(fā)展。最后一個方面:用數(shù)學(xué)的方法解決問題解決問題能力的培養(yǎng)。記得匈牙利著名數(shù)學(xué)家羅莎曾做過一個比喻：假如在一群專家面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，要想燒開水，應(yīng)當怎么做？大家都認為應(yīng)先灌水，再點燃煤氣灶，然后放到火上燒，這是共同的認識。但如果壺中已經(jīng)灌

29、好水了，其它條件都不變，又該怎樣做？這時，多數(shù)專家會直接點燃煤氣灶，然后放在火上燒，而唯有數(shù)學(xué)家會把水倒掉，因為數(shù)學(xué)家這時會用數(shù)學(xué)思維化歸思想來思考問題，把后一情形化歸為前面已經(jīng)熟悉的情形。比喻雖有點夸張，但它的確能說明：與其他應(yīng)用科學(xué)家相比，數(shù)學(xué)家更善于用數(shù)學(xué)的思維方式來思考問題。能否用數(shù)學(xué)的思想、方法、策略等去解決數(shù)學(xué)問題或日常問題是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)高低的一個重要標志。（一）讓運用策略成為學(xué)生的一種思維習慣生活中的問題形式多樣、變化多端，我們不可能把所有問題讓學(xué)生一一嘗試解決。因此，“解決問題”的學(xué)習價值在于使學(xué)生積淀解決問題的基本思路和常用方法，積累解決問題的經(jīng)驗，形成解決問題的基本策略。根

30、據(jù)小學(xué)生的年齡特點，應(yīng)把畫圖、列表、猜想與驗證、動手操作等作為常用策略在教學(xué)中加以指導(dǎo)。很多問題都可以通過用“圖”解決或找到思路?！爱媹D”包括畫線段圖、示意圖等。線段圖是一種常見的圖式表征的形式，在一年級學(xué)習求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾的問題時，我就引導(dǎo)學(xué)生用線段圖來揭示數(shù)量關(guān)系：一班：二班： 使問題變的直觀易解。畫示意圖是指用圖來模擬具體情境或事物運動變化的過程，如這樣一個問題：小船最初在南岸，從南岸駛向北岸，再從北岸駛回南岸，不斷往返。小船擺渡21次后，船在南岸還是北岸？為什么？在教師的引導(dǎo)下學(xué)生畫出了示意圖。通過觀察得出結(jié)論：擺渡奇數(shù)次后，船在北岸；擺渡偶數(shù)次后，船在南岸。因為21是奇數(shù)

31、，所以船在北岸。畫圖直觀、明了，學(xué)生容易找到解題思路。列表也是一種重要的解決問題策略。列表可以幫助學(xué)生整理信息，并利用表格進行分析推理；也可以幫助學(xué)生分析數(shù)量之間的關(guān)系、尋找規(guī)律。對于古代數(shù)學(xué)名題“雞兔同籠”：雞兔同籠，有20個頭，54條腿，雞、兔各有多少只？我們可以引導(dǎo)學(xué)生列表：頭（個）雞（只）兔（只）腿（條）201 197820515702010106020155502014652這么多腿？一定是兔子太多了還多，兔子還應(yīng)減少比54少了，兔子數(shù)應(yīng)該在5和10之間然后用“猜想與嘗試”的策略找到解決問題的答案。其實“雞兔同籠”問題我們的關(guān)注點不是數(shù)學(xué)問題本身，而是要用“雞兔同籠”這個問題為載體讓

32、學(xué)生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過程，從中體會解決問題的一般策略?！皠邮植僮鳌辈呗允抢脤嵨锊僮骰騽討B(tài)模擬幫助學(xué)生思考問題。在各個學(xué)習領(lǐng)域都可以應(yīng)用動手操作策略幫助學(xué)生理解知識、解決問題。如利用擺小棒理解算理、利用圖形剪拼探索組合圖形面積的計算方法等。當遇到如“小軍去游泳池游泳，他在泳道內(nèi)游了兩個來回，共游了100米，這個游泳池的泳道有多長？”這樣的問題，可以讓學(xué)生用手在桌面上模擬一下真實情境，理解“兩個來回”實際上就是4個泳道的長。另外，在指導(dǎo)學(xué)生掌握和運用這些方法和策略的同時，還應(yīng)結(jié)合適當?shù)牟牧蠞B透一些基本的數(shù)學(xué)思想，如剛才提到的化歸思想，數(shù)學(xué)問題解決的最基本的形式就是化歸：把未知的問題化歸

33、為已知的問題，把非典型的問題化歸為典型的問題，把非常規(guī)的問題化歸為常規(guī)問題。還有函數(shù)思想、集合思想等。（二）有效實現(xiàn)解決問題過程的兩次轉(zhuǎn)化周玉仁教授認為：“在解決實際問題的過程中，小學(xué)生實際上完成了兩個轉(zhuǎn)化。從紛亂的實際問題中獲取有用的信息，抽象成數(shù)學(xué)問題，這是第一個轉(zhuǎn)化。然后分析其間的數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)方法求解或近似解，并在實際中檢驗，這是第二個轉(zhuǎn)化。”因此，我們要加強對學(xué)生解決問題過程的指導(dǎo)，促進學(xué)生較好地完成這“兩次轉(zhuǎn)化”，提高他們解決問題的能力。1.注重“問題表征”方法與策略的指導(dǎo)，促進“問題情境”向“數(shù)學(xué)問題”的轉(zhuǎn)化表征問題的方式一般分為內(nèi)部表征和外部表征兩種。內(nèi)部表征（也稱心理表征）

34、，是指在頭腦中表征問題，對于信息少、數(shù)量關(guān)系簡單的問題，學(xué)生一般用內(nèi)部表征就能解決。外部表征是指把有關(guān)信息與問題用圖形、表格等方式表示出來。外部表征的形式很多，像信息摘錄、畫圖呈現(xiàn)等。根據(jù)小學(xué)生的特點，教學(xué)中要加強外部表征方式的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生讀懂問題情境，摘錄下有用信息，實現(xiàn)“問題情境”向“數(shù)學(xué)問題”的轉(zhuǎn)化。心理表征有兩種基本的策略直接轉(zhuǎn)換策略和問題模型策略。使用直接轉(zhuǎn)換策略的學(xué)生只對題中的表面內(nèi)容進行理解，比如看到“一共”就用加法，看到“少”就用減法；而使用問題模型策略的學(xué)生是對每個信息都進行表征，理解各信息之間的關(guān)系，再進行情境模型建構(gòu)。如這樣一個問題：學(xué)校體育室共有30個籃球，四（1）班

35、借了20個籃球，又還回來8個，四（1）班還有幾個籃球沒有還？如果學(xué)生認為“ 共有30個籃球，借走20個，算式是30-20，又還回來8個，所以算式是30-20+8”這說明他使用的是直接轉(zhuǎn)換策略；如果學(xué)生認為“借走20個，又還回來8個，所以沒有還的籃球數(shù)是20-8，30在這個問題中是多余信息”，這個學(xué)生使用的就是問題模型策略。教學(xué)中，教師要有針對性的指導(dǎo)，提高學(xué)生運用“問題模型策略”表征問題的能力。2.注重數(shù)量關(guān)系分析的指導(dǎo)，促進從“數(shù)學(xué)問題”到“用數(shù)學(xué)方法解決”的轉(zhuǎn)化解決問題時，分析數(shù)量關(guān)系是從“數(shù)學(xué)問題”到“用數(shù)學(xué)方法解決”的“橋梁”。數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)要結(jié)合具體的問題情境，除了“速度、時間、路程

36、”和“單價、數(shù)量、總價”等常見的數(shù)學(xué)模型有必要進行概括外，其他的數(shù)量關(guān)系就沒有必要作統(tǒng)一要求了。對于比較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用畫圖、列表等表征方式進行分析。下面來看一個教學(xué)片斷：“解決角上重復(fù)計數(shù)問題”：在一個正方形的每條邊上放6個棋子，最少要用多少個棋子？教師鼓勵學(xué)生用畫圖的方式說明自己的想法。結(jié)果出現(xiàn)了：生1：6×2+（6-2）×2=20（個），我先算兩條邊的棋子數(shù)要12個，另外兩條邊只要增加4個就可以了。生2：角上4個棋子各重復(fù)了一次，我每條邊上只算一個，所以是5×4=20（個）。生3：角上的棋子重復(fù)了一次，所以是6×4-4=20(個)

37、。生4：角上的棋子可以先不算，所以是4×4+4=20(個)。反饋交流后，再呈現(xiàn)第二個問題：在一個正方形的每條邊上擺100個棋子，最少要多少個呢？讓學(xué)生先把圖畫在腦子里，嘗試列式計算，最后畫圖驗證。在上述案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方法進行思考，從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象，并把數(shù)學(xué)計算方法、圖形、數(shù)學(xué)語言說明相結(jié)合，促進了學(xué)生對方法的理解，提高了使用畫圖策略解決問題的能力。當然，解決問題的策略是多樣化的，我們要鼓勵學(xué)生根據(jù)不同的問題來選擇恰當?shù)姆椒ê筒呗?，并將解決問題的策略內(nèi)化為個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，成為思考問題的一種習慣。（三）在交流與反思中促進方法與策略的內(nèi)化解決問題經(jīng)驗的積累、方法策略

38、的內(nèi)化在很大程度上是交流與反思的結(jié)果。案例：“估計一版報紙有多少字”。老師先讓學(xué)生獨立思考后說說自己打算怎樣估計：生1：先估計一篇文章，再數(shù)出一共幾篇文章。生2：先估計一欄有多少字，再看一共有幾欄。生3：把報紙折成大小相等的幾塊，先估計一塊，再估計整版。接著讓學(xué)生在三種方法中選擇一種進行估計。估計完再進行交流。這兩次交流意義不同：第一次是交流估計的策略，通過交流使一部分還沒有想起策略的同學(xué)得到了啟發(fā)，估計時就不會茫然無序。第二次主要是交流具體的估計方法，在同學(xué)們的互相補充中來完善自己的方法。許多研究表明，學(xué)生在問題解決中之所以失敗，常常不是因為缺乏相關(guān)的知識和認知策略，而是對知識和認知策略的無

39、效運用。專家在研究問題時，會定期檢查解題過程，看看是否沿著一條正確的途徑，如果感覺沒有進展，就會毫不猶豫地停下來，選擇其他途徑。學(xué)生的評價、反思意識和水平對提高學(xué)生解決問題的能力起著重要的作用，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對解決問題的過程和方法進行反思和評價，促進“策略”的形成。總之，“解決問題”教學(xué)要變“教解法”為“策略指導(dǎo)”，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從復(fù)雜的情境中解讀數(shù)學(xué)信息，注重解決問題過程中的體驗和解決問題方法的積淀，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。記得聽過這樣一個故事：一位數(shù)學(xué)家的女兒從幼兒園放學(xué)回家，父親問她今天學(xué)到了什么？女兒高興的回答道：“我們今天學(xué)習了集合?！睌?shù)學(xué)家想，對這樣一個高度抽象的概念，到高中一年級才要學(xué)，女兒的年齡實在太小了。因此，他關(guān)切地問：“你懂嗎？”女兒肯定地回答：“懂！一點都不難。”父親還是放心不下，又追問道：“你們老師是怎樣教的？”女兒說：“老師先讓班上的男孩子站起來，然后告訴大家，這就是男孩子集合；再讓所有女孩子站起來，并說這就是女孩子集合；接下來，又是白人孩子的集合、黑人孩子的集合。老師最后問大家：是否都懂了？大家回答