二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

1、第七節(jié) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性方程的一般形式為 (8.1)根據(jù)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理可知，要求方程(8.1)的通解，只要求出它的一個(gè)特解和其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，兩個(gè)解相加就得到了方程(8.1)的通解. 上節(jié)我們已經(jīng)解決了求其對(duì)應(yīng)齊次方程的通解的方法，因此，本節(jié)要解決的問(wèn)題是如何求得方程(8.1)的一個(gè)特解.方程(8.1)的特解的形式與右端的自由項(xiàng)有關(guān)，如果要對(duì)的一般情形來(lái)求方程(8.1)的特解仍是非常困難的，這里只就的兩種常見的情形進(jìn)行討論.1.,其中是常數(shù),是的一個(gè)次多項(xiàng)式:；2. 或，其中，是常數(shù)，是的一個(gè)次多項(xiàng)式.分布圖示 二階常系數(shù)非齊次線性方程的求解問(wèn)

2、題 型 例1 例2 例3 例4 例5 例6 或型 例7 例8 例9 例 10 例 11 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題8-7內(nèi)容要點(diǎn)： 一、型當(dāng)時(shí)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(8.1)具有形如 (8.4)的特解，其中是與同次（次）的多項(xiàng)式，而按是不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程，但要注意(8.4)式中的k是特征方程的根的重?cái)?shù)（即若不是特征方程的根，取0；若是特征方程的重根，取為）. 二、或型即要求形如 (8.7) (8.8)兩種方程的特解.由歐拉公式知道，和分別是 的實(shí)部和虛部.我們先考慮方程. (8.9)這個(gè)方程的

3、特解的求法在上一段中已經(jīng)討論過(guò). 假定已經(jīng)求出方程(8.9)的一個(gè)特解，則根據(jù)第六節(jié)的定理5知道，方程(8.9)的特解的實(shí)部就是方程(8.7)的特解，而方程(8.9)的特解的虛部就是方程(8.8)的特解.方程(8.9)的指數(shù)函數(shù)中的()是復(fù)數(shù)，特征方程是實(shí)系數(shù)的二次方程，所以只有兩種可能的情形：或者不是特征根，或者是特征方程的單根. 因此方程(8.9)具有形如 (8.10)的特解，其中是與同次（次）的多項(xiàng)式，而按是不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1.上述結(jié)論可推廣到階常系數(shù)非齊次線性微分方程，但要注意(8.10)式中的k是特征方程含根的重復(fù)次數(shù).例題選講： 型例1（E01）下列方程

4、具有什么樣形式的特解?(1) (2) (3) 解 (1) 因不是特征方程的根,故方程具有特解形式：(2) 因是特征方程的單根,故方程具有特解形式:(3) 因是特征方程的二重根，所以方程具有特解形式：例2（E02）求方程的一個(gè)特解.解 題設(shè)方程右端的自由項(xiàng)為型，其中對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 特征根為由于不是特征方程的根，所以就設(shè)特解為把它代入題設(shè)方程,得 比較系數(shù)得解得于是，所求特解為例3（E03）求方程的通解.解 題設(shè)方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為特征根為于是，該齊次方程的通解為因是特征方程的單根，故可設(shè)題設(shè)方程的特解：代入題設(shè)方程,得比較等式兩端同次冪的系數(shù),得于是，求得題沒(méi)方程的一個(gè)特解

5、從而，所求題設(shè)方程的通解為例4 求微分方程的通解.解 特征方程為特征根為故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 觀察可得, 的一個(gè)特解為的一個(gè)特解為例5求方程的特解.解 其對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為解得特征根為由第六節(jié)定理4知,題設(shè)方程的特解是下列兩個(gè)方程的特解的和: (1) (2)因特征方程有重根所以設(shè)方程(1)的特解 將其代入方程并消去整理后得即于是得特解又因特征方程有重根所以設(shè)方程(2)的特解為 求導(dǎo)后代入方程，解出得特解 所以題設(shè)方程的特解為：例6求方程的通解.解 對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為特征根所求齊次方程的通解由于不是特征方程的根，因此方程的特解形式可設(shè)為代入題設(shè)方程易解得故所求方程的通解為例7 求

6、方程的通解.解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程的特征根為故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解作輔助方程是單根,故設(shè)代入上式得取虛部得所求非齊次方程特解為從而題設(shè)方程的通解為 或型例8（E04）求方程的通解.解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程的特征根為故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解作輔助方程不是特征方程的根，故設(shè)代入輔助方程得取實(shí)部得到所求非齊次方程的一個(gè)特解:所求非齊次方程的通解為例9設(shè)函數(shù)滿足求.解 將方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得微分方程 即特征方程為特征根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為注意到方程的右端且不是特征根，根據(jù)非齊次方程解的疊加原理，可設(shè)特解代入方程定出從而原方程的通解為又在原方程的兩端令得又在原方程的兩端令得定出從而所求函數(shù)為例10求以(其中為任意常數(shù))為通解的線性微分方程.解法1 (1) (2)由式(1)知代入(2)式得所求方程為解法2 因由解的結(jié)構(gòu)知所求方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，對(duì)應(yīng)齊次線性方程有兩個(gè)特解故有二重特征根于是特征方程為即對(duì)應(yīng)齊次線性方程為令該方程為因?yàn)槠浣?故從而所求方程為 例11 已知函數(shù)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解, 試確定常數(shù)與及該方程的通解.解法1 將代入原方程得比較兩邊同類項(xiàng)系數(shù)，得方程組 解此方程組,得于是原方程為其通解為解法2 將已知方程的特解改寫為因?qū)?yīng)齊次方程的解應(yīng)是型的,如是對(duì)應(yīng)齊次方程的解, 也可能是，因原方程的自由項(xiàng)是而或是原非齊次方程的解,故也是