一元高次方程數(shù)值解法C程序?qū)崿F(xiàn)探討

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一元高次方程數(shù)值解法C程序?qū)崿F(xiàn)探討摘要   一元高次方程作為方程的一部分，對我們后續(xù)的學習起著相當重要的作用。求解一元高次方程的根在計算數(shù)學方面既是難點也是重點。關(guān)于一元高次方程，我們在中學階段，已經(jīng)掌握了一元二次方程的公式解法；一元三次方程和一元四次方稱有一般解法，但是比較復雜，且超過了一般的知識范圍；5次以及5次以上的代數(shù)方程，沒有一般的公式解法。本文我們在了解了系數(shù)在有理數(shù)域且只有有理根的一元高次方程的解法技巧的基礎(chǔ)上，通過回憶我們學過的一元二次方程根式解的方法，推敲了一元三次、四次方程的根式解；最后介紹了兩種解高次方程數(shù)值解通用的兩種方法：二分法、牛

2、頓法。要求我們在了解一元二次方程的同時掌握一元三次及四次方程的根式解意義，理解用二分法及牛頓法解一元高次方程數(shù)值解法的思想及意義關(guān)鍵詞: 高次方程， 二分法， 二分法，迭代Polynomial equations C program discussAbstractPolynomial equations as part of the equation, for our subsequent learning plays a very important role. Solving a polynomial equation root in computational mathematics i

3、s a difficult and key point.On polynomial equations, we in the stage of middle school, have mastered the two once basic quadratic equation formula solution; three once basic quadratic equation and a four power said that general solutions, but are more complex, and more than the general scope of know

4、ledge; the 5and more than 5algebraic equation, no general formula solution,In this paper we understand the coefficients in the field of rational numbers and only the rational root of polynomial equations based on techniques, Through the memories we learned two once basic quadratic equation root solu

5、tion method, the study of one dollar three times, four times radical solution; finally introduced two kinds of solution of equation of higher degree numerical solution of general by two methods: the dichotomy, the Newton-Raphson method. We know two once basic quadratic equation while master of one d

6、ollar three times and four times the radical solution of equation of meaning, understand the use of dichotomy and Newtons method for solving polynomial equations numerical solution of the thought and meaningKey words: Equation of higher degree, Dichotomy, Newton method, Iterative目錄摘要1 緒論2 選題分析 2.1選題

7、的研究現(xiàn)狀 2.2選題的意義2.3論文的主要內(nèi)容3 解方程 3.1 一元三次方程的根式解法3.3 二分法解一元高次方程3.4 牛頓法解一元高次方程參考文獻致謝1.緒論整式方程未知數(shù)次數(shù)最高項次數(shù)高于2次的方程，稱為高次方程。高次方程解法思想是通過適當?shù)姆椒ǎ迅叽畏匠袒癁榇螖?shù)較低的方程求解。對于5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數(shù)解法和求根公式(即通過各項系數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和乘方和開方運算無法求解)，這稱為阿貝爾定理。 換句話說，只有三次和四次的高次方程可用根式求解。人類很早就掌握了的解法，但是對一元三次方程的研究，則是進展緩慢。、希臘和等地的數(shù)學家，都曾努力研究過一元三次方程，但是他們

8、所發(fā)明的幾種解法，都僅僅能夠解決特殊形式的三次方程，對一般形式的三次方程就不適用了。在十六世紀的歐洲，隨著數(shù)學的發(fā)展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多數(shù)學文獻上，把三次方程的求根公式稱為“卡爾丹公式”。歷史事實并不是這樣，數(shù)學史上最早發(fā)現(xiàn)一元三次方程通式解的人，是十六世紀意大利的另一位數(shù)學家尼柯洛·馮塔納。馮塔納出身貧寒，少年喪父，家中也沒有條件供他念書，但是他通過艱苦的努力，終于自學成才，成為十六世紀意大利最有成就的學者之一。由于馮塔納患有“口吃”癥，所以當時的人們昵稱他為“”， 也就是語中“結(jié)巴”的意思。后來的很多數(shù)學書中，都直接用“塔爾塔里亞”來稱呼馮塔納。經(jīng)過多年的探

9、索和研究，馮塔納利用十分巧妙的方法，找到了一般形式的求根方法。這個成就，使他在幾次公開的數(shù)學較量中大獲全勝，從此名揚。但是馮塔納不愿意將他的這個重要發(fā)現(xiàn)公之于世，因為那個年代意大利盛行打數(shù)學，馮塔納把他解三次方程的作為，是他獲得比賽的勝利的寶劍。 當時的另一位意大利數(shù)學家兼醫(yī)生卡爾丹，對馮塔納的發(fā)現(xiàn)非常感興趣。他幾次誠懇地登門請教，希望獲得馮塔納的求根公式?？墒邱T塔納始終守口如瓶，滴水不漏。雖然卡爾丹諾屢次受挫，但他極為執(zhí)著，軟磨硬泡地向馮塔納“挖秘訣”。后來，馮塔納終于用一種隱晦得如同咒語般的語言，把三次方程的解法“透露”給了卡爾丹。馮塔納認為卡爾丹諾很難破解他的“咒語”，可是卡爾丹的悟性太

10、棒了，他通過解三次方程的對比實踐，很快就徹底破譯了馮塔納的秘密。卡爾丹把馮塔納的三次方程求根公式，寫進了自己的學術(shù)著作大法中，但并未提到馮塔納的名字。隨著大法在歐洲的出版發(fā)行，人們才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一個發(fā)表三次方程求根公式的人確實是卡爾丹，因此后人就把這種求解方法稱為“”，有的資料也稱為“”。卡爾丹他人的學術(shù)成果，并且據(jù)為已有，這一行為在人類數(shù)學史上留下了不甚光彩的一頁。這個結(jié)果，對于付出艱辛勞動的馮塔納當然是不公平的。但是，馮塔納堅持不公開他的研究成果，也不能算是正確的做法，起碼對于人類科學發(fā)展而言，是一種不負責任的態(tài)度。 卡爾丹是第一個把負數(shù)寫在二次內(nèi)的數(shù)學家，并由此引

11、進了的概念，后來經(jīng)過許多數(shù)學家的努力，發(fā)展成了的理論。從這個意義上，卡爾丹公式對數(shù)學的發(fā)展作出了巨大貢獻，史稱卡爾丹公式是偉大的公式。 解一元三次方程問題是世界數(shù)學史上較著名且較為復雜而又有趣味的問題，虛數(shù)概念的引進、復數(shù)理論的建立，就是于解三次方程問題。一元三次方程應(yīng)用廣泛，如電力工程、水利工程、建筑工程、機械工程、動力工程、數(shù)學教學及其他領(lǐng)域等。用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，并有相應(yīng)的判別法，但是使用卡爾丹公式解題比較復雜，缺乏性。80年代，中國的一名中學數(shù)學教師范盛金對解一元三次方程問題進行了深入的研究和探索，發(fā)明了比卡爾丹公式更實用的新求根公式盛金公式，并建立了簡明的、

12、直觀的、實用的新判別法盛金判別法，同時提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑問題，且很有趣味。盛金公式的特點是由最簡重根判別式A=b23ac；B=bc9ad；C=c23bd和總判別式=B24AC來構(gòu)成，體現(xiàn)了數(shù)學的有序、對稱、和諧與簡潔美，簡明易記、解題直觀、準確高效，特別是當=B24AC=0時，盛金公式：X=b/a+K；X=X=K/2，其中K=B/A，(A0)，其表達式非常漂亮，不存在開方（此時的卡爾丹公式仍存在），手算解題效率高。盛金公式被稱為超級簡便的公式。盛金公式與判別法及定理形成了一套完整的、簡明的、實用的、具有數(shù)學美的解三次方程的理論，范盛金創(chuàng)造出的這套萬能的系統(tǒng)方法

13、，對研究解問題及提高解三次方程的效率作出了貢獻。對于5次及以上的一元高次方程沒有通用的解法和求根公式(即通過各項系數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和乘方和開方運算無法求解)，這稱為阿貝爾定理。2選題分析2.1 選題的研究現(xiàn)狀整式方程中，如果未知數(shù)的最高次數(shù)高于2次，那么這種方程成為高次方程。一元三次方程和一元四次方稱有一般解法，但是比較復雜，且超過了一般的知識范圍。5次以及5次以上的代數(shù)方程，沒有一般的公式解法，這已經(jīng)有挪威青年數(shù)學家阿貝爾于1824年做出了證明。2.2 選題的意義一元高次方程作為方程的一部分，對我們后續(xù)的學習起著相當重要的作用。求解一元高次方程的根在計算數(shù)學方面既是難點也是重點。2.3

14、論文的主要內(nèi)容一元高次方程作為方程的一部分，對我們后續(xù)的學習起著相當重要的作用。求解一元高次方程的根在計算數(shù)學方面既是難點也是重點，該論文我們通過回憶一元二次方程的根式解法來推敲一元三次、一元四次方程的根式解法，并在推敲后驗證了得出來的根式解。繼而我們探討了二分法及牛頓法（切線法）解一元高次方程的思路，熟練掌握這兩種方法的解題思想。 首先了解了系數(shù)在有理數(shù)域且只有有理根的一元高次方程的解法技巧；其次在一元二次方程根式解的基礎(chǔ)上推敲了一元三次、四次方程的根式解；最后介紹了兩種解高次方程數(shù)值解通用的兩種方法：二分法、牛頓法。要求我們在了解一元二次方程的同時掌握一元三次及四次方程的根式解意義，理解用

15、二分法及牛頓法解一元高次方程數(shù)值解法的思想及意3解方程3.1 一元三次方程的根式解法 首先，我們對一元二次方程進行新的解答，從新的解答中，我們受到啟發(fā)，在對一元三次方程及一元四次方稱求解。一、 一元二次方程的解對于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)變形得 x2 + x + =0.令 y= x+； y- =x 代入上式，得+( y- )+=0整理得: -+ =0 （無一次項）.故有 y= .于是得 x= ().二、 一元三次方程的解 對于一元三次方程 （）， 變形得 令 y=x+ ， x= y- 代入上式 . 整理得 +py + q=0 (1 ) 其中 p =， q=.若令 y= u+

16、v ；= (2)將（1）式 和）（2）式 對照可得： 根據(jù)韋達定理可求出 及 即可以求得u 和v 也就求得此方程的解x. 例：解方程 解：令x=y -=y+1 代入原方程 化簡得: p=3 , q= 又令y=u+v； 令 = ，= ; 構(gòu)成了一元二次方程的兩個根。解得：=2=， =-= = =U = = =U =其中 U=- +i又uv = -=-1 （實數(shù)） 將， ， ，進行配對得: 由此類推，對于實系數(shù)的一元四次方程 令x=y- 代入原方程進行求解 此解法對于一元五次方程沒有效果，法國數(shù)學家伽羅瓦已經(jīng)證明一元五次方程無根式解。 從上面例子可以看出，現(xiàn)代數(shù)學的很多知識可以通過初等數(shù)學中的某些

17、簡單的知識演變轉(zhuǎn)化得到，他們之間有著密切的聯(lián)系。3.2 二分法解一元高次方程二分法求解一元高次方程的基本思想是利用中間值理，即對于實系數(shù)一元次方程（x），如果a時，有f（a）·（b），則在區(qū)間（a，b）中，至少有方程（a）的一個根存在。具體做法是：先輸入范圍a，b的值，再求出（）和（），若（）·（），則重新輸人，的值，直到（）*（）為止。然后求出和的中點（）及（）。若（），則即為方程的根，否則此時要判斷（）*（）的符號：若，f（）*f（），則方程的根應(yīng)在，中，用代替，（）代替f（）；若（）*f（），則方程的根應(yīng)在，中，用代替，f（）代替f()。在新的區(qū)間,重復上述過程，由此

18、得到一列區(qū)間，,其中后一區(qū)間都是前一區(qū)間長度的一半，區(qū)間的長度為，當n足夠大的時候，使得足夠小，我們即可取=作為方程f(x)=0的近似根。因為若設(shè)c為方程f(x)=0的近似根，則顯然有，故成立，所以f()f(c)=0(n),由此推得二分法的可行性。如下圖所示二分法是求實根的近似計算中行之有效的最簡單的辦法，它只要求函數(shù)是連續(xù)的即可，使用范圍很廣，且便于在計算機上實現(xiàn)。但是它不能求重根，也不能求虛根。下面給出用二分法求一元三次方程近似根的C語言程序。#include<math.h>main() float a,b,c,d；float ，；printf(“請輸入方程系數(shù)a，b，c，d；

19、”)；scanf(“%f，%f，%f，%f”，&a，&b，&c，&d)；doprintf(“請輸入變量的有效范圍，；”)；scanf（“%f，%f”，&，&）；=a*+b*+c*+d；if(=0)=；goto loop;=a*+b*+c*+d；if(=0)=；goto loopwhile(*>0)；do=a*+b*+c*+d；if（=0） break；if(*<0)=；=else=；=；while(fabs()>=le-5)；loop：printf(“x=%fn”， )；下面運行程序看一下：請輸入方程系數(shù)a,b,c,d：2，5，

20、8，23請輸入變量的有效范圍，：-5，5方程的根x=-2.再運行一次：請輸入方程系數(shù)a，b，c，d：3，5，9，1請輸入變量的有效范圍，：-4，5方程的根x=-0.下面運行程序求一下方程的根。根據(jù)一元三次方程根的判別式，此方程有三個不等的實根，我們從-4，4逐個取整數(shù)作為初值來試一下。請輸入方程系數(shù)a，b，c，d：2，0，-24，18請輸入變量的有效范圍，：-4，4方程的根x=-3.再運行一次：請輸入方程系數(shù)a，b，c，d：2，0，-24，18請輸入變量的有效范圍，：-3，4由于f（-3）*f（4）>0,故重新取值請輸入變量的有效范圍，：-2，4請輸入變量的有效范圍，：-1，4請輸入變量

21、的有效范圍，：0，4請輸入變量的有效范圍，：1，4方程的根x=3.00000在運行一次：請輸入方程系數(shù)a，b，c，d：2，0，-24，18請輸入變量的有效范圍，：2，4方程的根x=3.00000再運行一次：請輸入方程系數(shù)a，b，c，d：2，0，-24，18請輸入變量的有效范圍，：-3，2方程的根x=0.到此我們求出了方程的所有三個實根3.3 用切線法解方程 先來看用切線法求解。切線法的基本思想是把一段不長的曲線弧用這段弧上某點處的切線來近似代替，如此反復，直到切線和弧線在軸上的交點的差的絕對值小于給定的小數(shù)為止。具體墩法是：先設(shè)定一個值作為第一次近似根，由求出f()，過（，f()）點做f(x)

22、的切線，交x軸于，將其作為第二次近似根，再由求出f()，過點（，f()），做f(x)的切線，交x軸于，將其作為第三次近似根，再由求出f（）,過（，f()）點再做f(x)的切線，如此繼續(xù)下去，直到十分接近方程的根c為止，如下圖所示： 由設(shè)定的容易得到，以為點（，f()）處的切線方程是y-f()=*(x- )，令y=0,x=,即得=-。同理，計算時，即為=。所以，當知道之后，=-。上面有切線法得到的（n=1，2，3，），容易看出，他們無限逼近f(x)=0的根c(n)。事實上，由單調(diào)有界法則，故數(shù)列有極限，設(shè)其為，即(n)，顯然f(x)和都是連續(xù)函數(shù)，故由等式=-，得f()=*()，兩端分別取n時的

23、極限，當0時，即得=*(-),即=0；當=0時，顯然f()=0，即=0，所以為方程f(x)=0的實根，但由于方程的實根是c，故=c，即(n)。進一步有等式=-，得-=，而出了之多兩個值外，均不等于0，故要使f()0，只需足夠小即可，所以，切線法是可行的。 一般情況下,的值可一有經(jīng)驗給出，但是為了避免取到=0的，也可以給一個取值范圍a，b,使得f(a)*f(b)<0,且<0時，=a；>0時，=b.這樣可以放心的求出方程的一個根下面給出切線法求一元三次方程（a0）近似根的C程序#include<math.h>Main()float a，b，c，d；float ,；pr

24、intf(“a，b，c，d”)；scanf(“%f，%f,%f,%f”,&a,&b,&c,&d)；loop:scanf(“x=”)；scanf(“%f”,&)；do= ;=a*+b*+c*+d;if(=0)break;=3*a*+2*b*+c;if(=0) goto loop;=-;While(fabs(-)>=le-6;printf(“x=%fn”, );下面運行程序求一下方程的根。根據(jù)一元三次方程根的判別式，此方程有三個不等的實根，我們從-3，3逐個取整數(shù)作為初值來試一下。請輸入方程系數(shù)a，b，c，d：2，0，-24，18請輸入變量的初值x=

25、-3方程的根x=-3.再運行一次：請輸入方程系數(shù)a，b，c，d：2，0，-24，18請輸入變量的初值x= -2由于=0，取下一個x;請輸入變量的初值x= -1方程的根x=0.再運行一次：請輸入方程系數(shù)a，b，c，d：2，0，-24，18請輸入變量的初值x= 0方程的根x=0.在運行一次:請輸入方程系數(shù)a，b，c，d：2，0，-24，18請輸入變量的初值x= 1方程的根為x=0.在運行一次：請輸入方程系數(shù)a，b，c，d：2，0，-24，18請輸入變量的初值x= 2此時=0，所以取下一個變量的值，請輸入變量的初值x= 3方程的根x=3.00000到此，我們已經(jīng)求出了方程的所有的三個實根。 比較切線法和二分法的程序，各有所長和不足。切線法不需要給出變量的范圍，只要給出變量初值即可，運行速度較快，但由于要利用函數(shù)的導數(shù)，有可能使公式中分母的導數(shù)值為零，此時需要重新輸入新的變量值。而二分法只需要函數(shù)連續(xù)即可只要兩端點的函數(shù)值異號，就可求出方程的根，但由于要給出變量的范圍，故運行速度較切線法稍慢。通過觀察還可以看出，這兩種方法的程序，當多定義幾個方程中各次項的系數(shù)。改變一下函數(shù)的形式，稍加修改后，即可成為求一茹四次方程、一元五次方程，甚至一元次方程根的程序，因此有一定的代表性和實用性。 參考文獻1王濤.高次方程的解法J.湖南:長沙民政職業(yè)技術(shù)學院學報，2004