分式方程1名師教案人教版八年級上冊數(shù)學(xué)

1、第十五章 分式15.3分式方程 第1課時(shí)（劉翔）一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解分式方程的概念2會用去分母的方法解可化為一元一次方程的簡單的分式方程，體會化歸思想和程序化思想3了解解分式方程根需要進(jìn)行檢驗(yàn)的原因（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn) 解分式方程的基本思路和解法（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn) 解分式方程過程中產(chǎn)生增根的原因及如何驗(yàn)根.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1預(yù)習(xí)任務(wù)（1）分母中含_未知數(shù)_的方程叫做分式方程（2）解分式方程的基本思路：利用“_去分母_”法將分式方程化為整式方程2預(yù)習(xí)自測（1）在下列方程中，關(guān)于x的分式方程有()3， 1， (m，n為非零常數(shù))， 1(m，n為非零常數(shù)) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)

2、【知識點(diǎn)】分式方程的定義【解題過程】解：分母中沒有未知數(shù)，不是分式方程；不是等式，所以不是分式方程；是方式方程故選B【思路點(diǎn)撥】分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程【答案】B（2）若x3是分式方程0的根，則a的值是()A5 B5 C3 D3【知識點(diǎn)】分式方程的有關(guān)概念【解題過程】解：把x3代入分式方程求得a=5故選A【思路點(diǎn)撥】利用分式方程的解求a【答案】A（3）把分式方程 轉(zhuǎn)化為一元一次方程時(shí)，方程兩邊需同乘()Ax B2x Cx4 Dx(x4)【知識點(diǎn)】分式方程的解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過程】解：方程兩邊同乘以x(x4)，可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程故選D【思路點(diǎn)撥】方程兩邊同乘以最簡公分母【

3、答案】D（4） 方程0的解是()Ax1或1 Bx1 Cx0 Dx1 【知識點(diǎn)】分式方程的解法【解題過程】解：左邊約分可得x-1=0，則x1，經(jīng)檢驗(yàn)x1是原分式方程的解.【思路點(diǎn)撥】先去分母，化為整式求解.【答案】D（二）課堂設(shè)計(jì)1知識回顧（1）一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程叫做一元一次方程（2）解一元一次方程的步驟：去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1如何解一元一次方程：.解： 去分母，得18x2(2x1)183(x1)去括號，得18x4x2183x3移項(xiàng)，得18x4x3x1832.合并同類項(xiàng)，得25x17.系數(shù)化為1，得x.2問題探究探究一 分式方

4、程的概念.活動(dòng) 整合舊知，探究分式方程的概念.問題1：一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行100千米所用的時(shí)間與以最大航速逆流航行60千米所用的時(shí)間相等，江水的流速為多少？分析：設(shè)水流的速度為v千米/時(shí).(1)輪船順流航行速度為_千米/時(shí)，逆流航行速度為_千米/時(shí)；(2)順流航行100千米的時(shí)間為_小時(shí)；逆流航行60千米的時(shí)間為_小時(shí)；(3)根據(jù)題意可列方程為_.師生活動(dòng): (1) 20+v 20-v ；(2) ；(3) =追問1：所列方程與方程相比有什么不同？ 歸納：像這樣分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.追問2：分式方程與整式方程的區(qū)別在哪里？通過觀察發(fā)現(xiàn)這兩

5、種方程的區(qū)別在于未知數(shù)是否在分母上.未知數(shù)在_的方程是分式方程.未知數(shù)不在分母的方程是_方程.師生活動(dòng)：分母、整式.追問3：你能再寫出幾個(gè)分式方程嗎？【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在觀察和思考的過程中，發(fā)現(xiàn)并概括出分式方程的本質(zhì)特征，了解分式方程的概念，認(rèn)識其本質(zhì)屬性分母中含有未知數(shù).探究二 探索分式方程的解法. 活動(dòng) 大膽操作，探究新知識問題2：你能嘗試解分式方程： 嗎？ 師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，并嘗試解這個(gè)方程，全班交流分式方程的解法【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，嘗試解分式方程活動(dòng) 集思廣益，得出分式方程的解法 問題3：這些解法有什么共同特點(diǎn)？師生活動(dòng)：學(xué)生討論之后，教師總結(jié)，上述解法依據(jù)

6、雖不同，但解分式方程的基本思想是一致的，即將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程教師再次提問：思考：（1）如何把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程呢？（2）怎樣去分母？（3）在方程兩邊乘以什么樣的式子才能把每一個(gè)分母都約去呢？（4）這樣做的依據(jù)是什么？學(xué)生思考后總結(jié)：（1）分母中含有未知數(shù)的方程，通過去分母就化為整式方程了；（2）利用等式的性質(zhì)2可以在方程兩邊都乘同一個(gè)式子各分母的最簡公分母【設(shè)計(jì)意圖】通過探究活動(dòng)，學(xué)生探索出解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，并知道解決問題的關(guān)鍵是去分母.活動(dòng) 追問 你得到的解v=5 是分式方程的解嗎？【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生知道檢驗(yàn)分式方程的解的方法-將未知數(shù)的值代入原分式方程

7、的兩邊，看左右兩邊的值是否相等.探究三 分析增根產(chǎn)生的原因 活動(dòng) 增根產(chǎn)生的原因 例1 解分式方程：【知識點(diǎn)】 分式方程的解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】兩邊都乘以最簡公分母（x+5）(x-5)，轉(zhuǎn)化為整式方程【解題過程】解：兩邊都乘以最簡公分母（x+5）(x-5)得x5 10解得x5，問題：x=5是原分式方程的解嗎？該如何驗(yàn)證呢？小結(jié)：x5 是原分式方程變形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解，是增根產(chǎn)生的原因：在去分母的過程中，對原分式方程進(jìn)行了變形，而這種變形是否引起分式方程解的變化，主要取決于所乘的最簡公分母是否為0檢驗(yàn)的方法主要有兩種：（1）將整式方程的解代入原分式方程，看左右

8、兩邊是否相等；（2）將整式方程的解代入最簡公分母，看是否為0檢驗(yàn)：當(dāng)x5時(shí)，(x5)(x5)0，因此x5不是原分式方程的解，原分式方程無解師生總結(jié)：基本思路：將分式方程化為整式方程一般步驟：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）檢驗(yàn)注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要檢驗(yàn)練習(xí)：解分式方程：【知識點(diǎn)】 分式方程的解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】兩邊都乘以最簡公分母x(x3)轉(zhuǎn)化為整式方程，解整式方程得解，再檢驗(yàn)【解題過程】解：兩邊都乘x(x3)，得2x3x9解得x9檢驗(yàn)：當(dāng)x9時(shí)，x(x3)0.所以，原分式方程的解為x9【答案】x9【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生了解分式方

9、程增根的原因，明白解分式方程必須檢驗(yàn).活動(dòng)2 例2 解分式方程：【知識點(diǎn)】 分式方程的解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】兩邊都乘以最簡公分母(x1)(x2)轉(zhuǎn)化為整式方程，解整式方程得解，再檢驗(yàn)【解題過程】解：方程兩邊乘(x1)(x2)，得x(x2)(x1)(x2)3. 解得x1，檢驗(yàn)：當(dāng)x1時(shí)，(x1)(x2)0，因此x1不是原分式方程的解所以，原分式方程無解.【答案】無解練習(xí)：解方程： 【知識點(diǎn)】 分式方程的解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】去分母，把分式方程化為整式方程，再解這個(gè)整式方程，結(jié)果要檢驗(yàn)【解題過程】解： 方程的兩邊同乘x24，得(x2)24x24，解得x3.檢驗(yàn)：當(dāng)x3時(shí)

10、，x240，所以x3是原方程的解【答案】x3.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生按照規(guī)范的步驟和格式解分式方程，在積累解題經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，體會化歸思想和程序化思想.活動(dòng)3 例3 當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程的解小于零【知識點(diǎn)】 分式方程的解法，不等式的解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】去分母，把分式方程化為整式方程，再解這個(gè)整式方程，又因?yàn)榉匠痰慕庑∮诹?，所以轉(zhuǎn)化為不等式，解不等式得結(jié)果. 【解題過程】解：方程兩邊都乘以(x2)(x2)，得2(x2)mx3(x2)，整理，得(1m)x10，解得x.方程的解小于零，1且m6.【答案】m1且m6.練習(xí)： 已知關(guān)于x的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是_【知識點(diǎn)】

11、分式方程的解法，不等式的解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】去分母，把分式方程化為整式方程，再解這個(gè)整式方程，又因?yàn)榉匠痰慕鉃樨?fù)數(shù) ，所以轉(zhuǎn)化為不等式，解不等式得結(jié)果. 【解題過程】解：去分母，得(x1)(xk)k(x1)x21.整理，得x12k.依題意，得 , 解得k且k1.【答案】k且k1. 【設(shè)計(jì)意圖】 解題時(shí)讓學(xué)生注意原方程分母不為零的這一隱含條件 .3. 課堂總結(jié)知識梳理（1）分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.（2）解分式方程的基本思想：把分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程，再利用整式方程的解法求解.（3）解分式方程的方法及一般步驟：去分母，方程的兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程；

12、化整解這個(gè)整式方程；解整把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去驗(yàn)根重難點(diǎn)歸納（1）解分式方程的基本思想；（2）解分式方程的方法及一般步驟；（3）解分式方程過程中產(chǎn)生增根的原因： 在去分母的過程中，對原分式方程進(jìn)行了變形，而這種變形是否引起分式方程解的變化，主要取決于所乘的最簡公分母是否為0（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型 自主突破1下列方程是分式方程的是()A. 1 B. 2x3 C. 2 D. 【知識點(diǎn)】 分式方程的定義【思路點(diǎn)撥】分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.【解題過程】解：A、B分母中沒含有未知數(shù)，不是分式方程；D不是等式，所以不是分式方程；C

13、是分式方程故選C【答案】C2解分式方程，正確的結(jié)果是（）Ax=0 Bx=1 Cx=2 D無解【知識點(diǎn)】 分式方程的解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解 【解題過程】解：去分母得：1+x1=0，解得：x=0，經(jīng)檢驗(yàn)x=0是分式方程的解，故選A【答案】A. 3將分式方程去分母，得到正確的整式方程是()A.12x3 Bx12x3 C.12x3 Dx12x3【知識點(diǎn)】 分式方程的解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】兩邊都乘以(x1) 【解題過程】解：去分母得：x12x3，故選B【答案】B. 4當(dāng)a_時(shí)，關(guān)于x的方程的解

14、為x0.【知識點(diǎn)】 分式方程的解【思路點(diǎn)撥】把x0代入分式方程可求解 【解題過程】解：把x0代入分式方程得，則a+5= -2(2a-3), 得a【答案】. 5 若式子和的值相等，則x_【知識點(diǎn)】 分式方程的解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】列分式方程，去分母，解整式方程可得 【解題過程】解：=，去分母得：2x+1=3（x-2），解得x=7，經(jīng)檢驗(yàn)x=7是原方程的解.【答案】7 6解分式方程【知識點(diǎn)】 分式方程的解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程,求出整式方程的解，再代入x(x3)進(jìn)行檢驗(yàn)即可 【解題過程】解：方程兩邊都乘以最簡公分母x(x3)得：4x(x3)=0，解

15、得：x=1，經(jīng)檢驗(yàn)：x=1是原分式方程的解故答案為：x=1 【答案】x=1能力型 師生共研7若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）Am Bm且m Cm D m 且m【知識點(diǎn)】 分式方程的解、分式方程解法.【數(shù)學(xué)思想】化歸思想.【思路點(diǎn)撥】直接解分式方程，再利用解為正數(shù)列不等式，解不等式得出x的取值范圍，進(jìn)而得出答案 【解題過程】解：去分母得：x+m3m=3x9， 整理得：2x=2m+9，解得：x= ， 關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，2m+90，解得：m，當(dāng)x=3時(shí)，x=3，解得：m=，故m的取值范圍是：m且m故選B【答案】B 8若關(guān)于x的方程無解，則m的值是_.【知識點(diǎn)】 分式方程的解、分式

16、方程解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】去分母把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，再利用分式方程無解，把增根代入整式方程，進(jìn)而得出答案 【解題過程】解：去分母，得2xm2x4，即3x6m.方程無解，x2.把x2代入3x6m，得m0.【答案】0探究型 多維突破9小明解方程的過程如下： 解：方程兩邊同乘x得1(x2)1，去括號得1x21，合并同類項(xiàng)得x11，移項(xiàng)得x2，解得x2，原方程的解為x2.請指出他解答過程中的錯(cuò)誤，并寫出正確的解答過程【知識點(diǎn)】分式方程解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】按照解分式方程的步驟檢查得出答案 【解題過程】解：小明的解法有三處錯(cuò)誤：步驟去分母有誤；步驟去括號有誤；步驟前少“

17、檢驗(yàn)”步驟正確解法是：方程兩邊同乘x，得1(x2)x，去括號，得1x2x，移項(xiàng)，得xx21，合并同類項(xiàng)，得2x3，兩邊同除以2，得x.經(jīng)檢驗(yàn)，x是原方程的解所以原方程的解是x.10請你仔細(xì)觀察下述材料：方程的解為x1；方程的解為x2；方程的解為x3；.(1)請你觀察上述方程與解的特征，寫出能反映上述方程一般規(guī)律的方程，并寫出這個(gè)方程的解；(2)根據(jù)(1)中所得的結(jié)論，寫出一個(gè)解為x5的分式方程【知識點(diǎn)】分式方程解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】觀察總結(jié)規(guī)律，要從整體和部分兩個(gè)方面入手，防止片面地總結(jié)，得出錯(cuò)誤結(jié)論【解題過程】解：(1) 方法一：分式方程中的四個(gè)分母都可看作是未知數(shù)與一個(gè)整數(shù)的

18、差，這四個(gè)整數(shù)左邊兩個(gè)連續(xù)，右邊兩個(gè)連續(xù)，左右兩邊不連續(xù)，但只間隔一個(gè)整數(shù)，每個(gè)分式的分子都是1，方程的解正好是中間被省略的那個(gè)整數(shù)，即，方程的解是xn(n為整數(shù)) 方法二：第(1)問的規(guī)律方程也可以寫成：，此時(shí)，方程的解應(yīng)為xn2(n為整數(shù))(2)將x5代入上式，可得所求分式方程為.自助餐1下列關(guān)于x的方程中,是分式方程的是( )A. B. C. D. 【知識點(diǎn)】 分式方程的定義【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程判斷【解題過程】解：A.方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；B.方程分母含字母a，但它不是表示未知數(shù)，也不是分式方程；C.方程的分母中不含表示未知數(shù)

19、的字母，不是分式方程；D.方程分母中含未知數(shù)x，是分式方程.故選D.【答案】D2分式方程的解為() A3 B3 C無解 D3或3【知識點(diǎn)】 分式方程的解法【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】依據(jù)解分式方程的步驟可得【解題過程】去分母得122(x3)x3，解得x3.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x3時(shí)，x290，即x3不是原分式方程的解，故原方程無解故選C.【答案】C.3當(dāng)a_時(shí)，關(guān)于x的方程的解與方程的解相同【知識點(diǎn)】方程的解、分式方程解法.【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【思路點(diǎn)撥】先解分式方程，再把它的解代入另一個(gè)分式方程可得結(jié)果【解題過程】解：由方程得x43x，解得x2.當(dāng)x2時(shí)，x0，所以x2是方程的解又因?yàn)榉匠痰慕馀c方程的解相同，因此x2也是方程的解這時(shí)，解得a.當(dāng)a時(shí)，a10，故a 滿足條件 【答案】.4若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為_.【知識點(diǎn)】