共漸近線的兩個(gè)雙曲線系的解題功能

1、共漸近線的兩個(gè)雙曲線系的解題功能甘肅彭長軍本文首先給出關(guān)于共漸近線的雙曲線系方程的兩個(gè)命題，然后就其解題功能作一點(diǎn)探討，供同學(xué)們參考。命題1：與雙曲線=1（a0,b0）有共同漸近線的雙曲線系方程為=(0) (*)證明：（1） 當(dāng)0時(shí)，方程(*)可變形為=1, 0.表示中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，其漸近線方程為y=x=，與雙曲線=1的漸近線相同。（2）當(dāng)0.。表示中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，其漸近線方程為y=x=，與雙曲線=1的漸近線相同。由（1）（2）可知，原命題成立。同理，與雙曲線=1（a0,b0）有共同漸近線的雙曲線系方程為=(0)。命題2:以直線AxBy=0為漸近線的雙曲線系

2、方程為(Ax+By)(Ax-By)=(0)，即Ax-By=(0)。證明過程請(qǐng)讀者自己完成，這里不在贅述。推論:以兩條相交直線l:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0為漸近線的雙曲線系方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=(0)。運(yùn)用上述結(jié)論，在求某些特殊情形下的雙曲線方程時(shí)，可有效地避開分類討論，收到事半功倍的效果。下面舉例說明。例1已知對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的漸近線方程為y=x(a0,b0)，若雙曲線上有一點(diǎn)M(x,y)，使ba，則雙曲線的焦點(diǎn)（）A.當(dāng)ab時(shí)在x軸上 B.當(dāng)a0, 雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,故選C.例2.求與雙曲線=1有共同的漸近線，且經(jīng)過

3、點(diǎn)A（-3，2）的雙曲線方程。解：設(shè)所求雙曲線方程為=(0)。將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得=，故所求雙曲線方程為=，即=1例3雙曲線中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，若一條漸近線方程為3x+2y=0，且經(jīng)過點(diǎn)P(8,6)，則其方程是_。解：由對(duì)稱性可知，雙曲線的另一條漸近線方程為3x-2y=0。因此，所求雙曲線方程可表示為(3x+2y)(3x-2y) =，即=(0)。將P點(diǎn)坐標(biāo)代入，得=144，故所求雙曲線方程為=144，即=1。例4.以橢圓=64的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，一條漸近線方程x+y=0的雙曲線方程是_。解：由=1，得c2=48，設(shè)所求雙曲線方程為=(0)，即=1。由已知知=c2=48，故所求雙曲線方程為=1。

4、例5.以雙曲線=64的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，一條漸近線方程是x+y=0的雙曲線方程是_。解： 由=1，得c2=80。設(shè)所求雙曲線方程為=(0)，即=1。由已知，得+=80，=60,故所求雙曲線方程為=1。例6.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是F(-4,0)，一條漸近線的方程是3x-2y=0，求此雙曲線的方程。解：設(shè)所求雙曲線方程為=(0)，即=1,則+=(-4)2=16,=。故所求雙曲線方程為=1。例7.已知雙曲線的兩條漸近線方程分別為2x+y-8=0和2x-y-4=0,且以拋物線（y-2）2=-4(x-2)的焦點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)，求此雙曲線的方程。解：由已知可得雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）。設(shè)所求雙

5、曲線的方程為（2x+y-8）（2x-y-4）=(0)。將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入，得=16。故所求雙曲線方程為（2x+y-8）（2x-y-4）=16。化簡整理，得=1。例8. 求以3x-4y-2=0和3x+4y-10=0為漸近線，以5y+4=0為一條準(zhǔn)線的雙曲線方程。解：由5y+4=0即y=-為雙曲線的一條準(zhǔn)線可知雙曲線的焦點(diǎn)在平行于y軸的直線上。設(shè)所求雙曲線的方程為(3x-4y-2)(3x+4y-10)=(0)，即=1,c2=,從而有=1+,即,=-144,故所雙曲線方程為：=1.例9求過點(diǎn)P(2,-1)且漸近線方程分別為2x+y-8=0和x-3y+4=0的雙曲線方程。解：設(shè)所求雙曲線的方程為(2x+4y-8)( x-3y+4)=(0)，