實數(shù)的概念及開平方

1、第一講 實數(shù)的概念與數(shù)的開方教學(xué)目標(biāo)1. 理解實數(shù),無理數(shù)，有理數(shù)等的概念，掌握其分類，明確什么樣的數(shù)是無理數(shù),什么樣的數(shù)是有理數(shù)2. 理解平方根,算術(shù)平方根,立方根的概念,掌握平方根,立方根的性質(zhì),及被開方數(shù)有意義的條件,會求常見數(shù)的平方根與立方根 3. 理解n次方根的意義,根據(jù)平方根，立方根的性質(zhì)理解掌握n次方根的性質(zhì)4. 理解開平方與平方，開立方與立方是互逆的運算，根據(jù)性質(zhì)會解決相關(guān)題目的推理，化簡與計算教學(xué)重點1. 實數(shù)的分類，無理數(shù)的常見形式2. 平方根，算術(shù)平方根，立方根，n次方根的概念與性質(zhì)3. 運用概念和性質(zhì)，通過典型題目，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力教學(xué)難點1. 讓學(xué)生深刻

2、理解知識并能熟練應(yīng)用知識2. 提高學(xué)生分析問題解決問題的能力教學(xué)方法建議總結(jié)歸納，啟發(fā)透導(dǎo),講練結(jié)合,鞏固優(yōu)化知識梳理一 實數(shù)的概念 1無理數(shù)定義:無限不循環(huán)的小數(shù)叫做無理數(shù)。分類:可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)。說明:無理數(shù)應(yīng)同時滿足三個條件:(1)是小數(shù);(2)是無限小數(shù);(3)不循環(huán).常見三種表現(xiàn)形式：（1）帶根號但開方開不盡的數(shù)，如等，但就不是無理數(shù)； （2）特定意義的數(shù),如類，等都是無理數(shù)； 無理數(shù)和有理數(shù)的區(qū)別:任何一個有理數(shù)都可以寫成的形式,其中a,b都是整數(shù)，且b0，而無理數(shù)不能寫成這種形式。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)與的形式可以互化，因而它們都是有理數(shù)。2.實數(shù)的定義 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)

3、稱為實數(shù)3.實數(shù)的分類 根據(jù)實數(shù)的定義分類：實數(shù) 根據(jù)實數(shù)的符號分類： 實數(shù)4實數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng) 數(shù)軸：規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線。 對應(yīng)關(guān)系：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。說明：（1）直線是可以向兩方無限延伸的，故不存在最大實數(shù)，也不存在最小實數(shù)；（2）線成點，在一條直線上不同的兩個點之間還有無數(shù)個點，所以兩個不同整數(shù)或無理數(shù)之間有無數(shù)個實數(shù)。（3）數(shù)和點的對應(yīng)可看作是最簡單的數(shù)形結(jié)合。5絕對值，相反數(shù)，倒數(shù)絕對值：一個實數(shù)的絕對值就是指數(shù)軸上表示這個實數(shù)的點到原點的距離，距離是非負(fù)的，因而絕對值是非負(fù)數(shù)。即具體表示為：說明：（1）兩個正數(shù)中，絕對值大的數(shù)則大，兩個負(fù)數(shù)中絕對值大的數(shù)反

4、而??； （2）絕對值是非負(fù)的，但它可能等于-a（當(dāng)a<0時），帶負(fù)號不一定是負(fù)數(shù)。相反數(shù)：如果兩實數(shù)a,b滿足a+b=0，那么a與b互為相反數(shù)，反之亦然?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)絕對值相等 .倒數(shù)：如果兩個實數(shù)a和b滿足a.b=1，那么a與b互為倒數(shù)，零沒有倒數(shù)。注意：相反數(shù)是它本身的數(shù)是0；倒數(shù)是它本身的數(shù)是±1；絕對值是它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。二 數(shù)的開方1開平方（1）平方根定義:如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根(或二次方根),即如果,x2=a那么x就叫做a的平方根.注意:(1)一個實數(shù)的平方都是非負(fù)的,所以a0,即被開方數(shù)0.(2)a的平方根記作±,其中根

5、指數(shù)2是省略的，表示a的正的平方根又叫做算術(shù)平方根,表示a的負(fù)的平方根。(3)一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù);0有一個平方根,是它本身;負(fù)數(shù)沒有平方根.（4）9的平方根和的平方根是不一樣的（2）平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別平方根算術(shù)平方根定義如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，零的算術(shù)平方根是零表示±（a0）(a0)區(qū)別正數(shù)的平方根是一對相反數(shù)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個正數(shù)聯(lián)系±中a的取值范圍為非負(fù)數(shù)；正數(shù)a的正的平方根就是a的算術(shù)平方根，正數(shù)a的負(fù)的平方根是a的算術(shù)平方根的相反數(shù)；0的平方根是0中a的取值范圍為非負(fù)數(shù)；正數(shù)a的

6、算術(shù)平方根是a的一個平方根（正的平方根）；0的算術(shù)平方根是0（2）開平方及其與平方的關(guān)系求一個數(shù)的平方根的運算,叫做開平方;平方與開平方互為逆運算。注意:當(dāng)a0時, a 的平方是a2 a的平方根是± a的算術(shù)平方根是的平方根是± 看清題目問的是什么。2開立方立方根 定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根，也叫做三次方根，記作，讀作三次根號a，其中a叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù)。注意：（1）任何實數(shù)都有唯一確定的立方根；（2）正數(shù)的立方根是一個正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是一個負(fù)數(shù)；0的立方根是0。（2）開立方與立方的關(guān)系求一個數(shù)的立方根的運算,叫做開立方;立方與開立方互

7、為逆運算。3 立方根與平方根的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：（1）開平方時根指數(shù)2可以省略不寫，但對于開立方，根指數(shù)3是不能省的。（2）一個正數(shù)的平方根有兩個，但立方根卻只有一個；負(fù)數(shù)沒有平方根，卻有立方根，任何實數(shù)都有一唯一的一個立方根。相同：0的平方根和立方根都是0本身。4 n次方根 定義：如果一個數(shù)的n次方（n是大于1的整數(shù)）等于a，這個數(shù)就叫做a的n次方根，當(dāng)n為奇數(shù)時，這個數(shù)為a的奇次方根；當(dāng)n為偶數(shù)時，這個數(shù)為a的偶次方根。注意：（1）正數(shù)的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù)；正數(shù)的奇次方根有一個且只有一個，是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根有一個且只有一個，是負(fù)數(shù)；零的n次方根仍是零。（2）n為偶數(shù)時性質(zhì)類似

8、平方根，n為奇數(shù)時性質(zhì)類似立方根。三 例題精講例1 1.414, ，,0.020020002,0.20302, 中哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？ 選題意圖：本題主要考察無理數(shù)的概念，同時復(fù)習(xí)有理數(shù)的概念。解析：判斷一個數(shù)是無理數(shù)還是無理數(shù)必須按定義來分，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，知道它的常見表現(xiàn)形式，抓住它的本質(zhì)，無限小數(shù)，帶根號的不一定是無理數(shù)，；有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，但有分?jǐn)?shù)線的也不一定是分?jǐn)?shù)。答案：有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)，都是開方開得盡得數(shù)，所以1.414,0.20302, 都是有理數(shù)；，所以它們都是無理數(shù)。針對訓(xùn)練 在，0.1213141516中，

9、無理數(shù)是_.例2 下列命題中正確的個數(shù)有( )實數(shù)不是無理數(shù)就是有理數(shù)（2）不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)（3）無理數(shù)數(shù)可以分為正 無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)（4）有理數(shù)可以分為正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)（5）無理數(shù)一定是無限不循環(huán) 小數(shù)A 2 B 3 C 4 D 5出題意圖：考查實數(shù)，有理數(shù)，無理數(shù)的分類解析：實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，故（1）對；不帶根號，但其為無理數(shù)，故（2）錯；按符號分（3）對，（4）不對，0是有理數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；據(jù)定義（5）對。故選B。答案：B針對訓(xùn)練 下列語句錯誤的是（ ）（A）正整數(shù)，0，負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（B）整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（C）開方開不盡的數(shù)和統(tǒng)稱為無理數(shù)（D）有理數(shù)

10、，無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)例3求下列各式的值（1）1.69的平方根 (2) (3) (4)的算術(shù)平方根選題意圖：考查平方根，算術(shù)平方根的概念及常見數(shù)的平方。解析：（1）最好記住120各整數(shù)的平方，這樣才能熟練求出一些特殊數(shù)的平方根（2）看清題問的是什么，算術(shù)平方根還是平方根，a的還是的（3）對于正的平方根,被開數(shù)擴(kuò)大100倍,平方根就擴(kuò)大10倍,反之縮小100,平方根就 縮小10倍.答案：解：（1）因為(±1.3)2=1.69,所以1.69的平方根是±1.3。(2)因為122=144，112=121，所以=(3)因為（0.04）2=0.0016,所以=±004(4),3的

11、算術(shù)平方根是，所以的算術(shù)平方根是3。針對訓(xùn)練 求（1）256的平方根（2）的算術(shù)平方根例4 若與互為相反數(shù)，求的值。選題意圖：該題既考查了相反數(shù)與絕對值的性質(zhì)，又通過非負(fù)數(shù)相加和為零，每一項都為零這一結(jié)論增強(qiáng)了學(xué)生思維能力。解析：由互為相反數(shù)可知其和為0，又因為兩數(shù)都大于等于0，所以只有同時都為零，才能使其和為0。解：與互為相反數(shù)+=0又x=1000,y=1003答案：-1002針對訓(xùn)練 已知，求的平方根。例5 已知x,y是實數(shù)，且， 求的值。選題意圖：考查被開方數(shù)必須大于0的性質(zhì).解析：要求x-3y的值，必須知道x,y的值，一個等式求兩正個未知數(shù)的值，不可能,肯定還有隱含條件?？吹胶凶帜傅?/p>

12、二次根式，就要想被開方數(shù)0，確定字母的取值范圍，由此不難得出 x2=3.解：-30,3-0=3,=± =±答案：± 針對訓(xùn)練：若，求 的立方根例6已知x是滿足不等式2的非負(fù)整數(shù),y是5-的小數(shù)部分,求(4的4次方根。選題意圖：考查絕對值，無理數(shù)的性質(zhì)，如何確定無理數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分，及n次方根。解析：要求結(jié)論必須知道x,y；由不等式確定x值；確定無理數(shù)的小數(shù)部分一般先確定其整數(shù)部分，確定整數(shù)部分把無理數(shù)平方看其介于哪兩個相鄰整數(shù)之間。解：2又又x是非負(fù)整數(shù)x=0，或1,又5-的整數(shù)部分是1y是4xy=0或4(4的4次方根是0或答案：0，針對訓(xùn)練 若x為正整數(shù)，為整

13、數(shù)，試問式子是否存在最大值，若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由。四 優(yōu)化作業(yè)基礎(chǔ)訓(xùn)練題（A）1數(shù)3.14，0.323232，中，無理數(shù)的個數(shù)為（ ）（A）2個 （B）3個 （C）4個 （D）5個2下列說法中正確的是（ ）（A）4是8的算術(shù)平方根 （B）16的平方根是4（C）是6的平方根 （D）沒有平方根3若，則（ ）（A）-0.7 （B）±0.7 （C）0.7 （D）0.494的平方根是（ ）（A）6 （B）±6 （C） （D）5一個數(shù)的平方根是它本身，則這個數(shù)的立方根是（ ）（A） 1 （B） 0 （C） -1 （D）1，-1或06的值是（ ）（A） 是正數(shù) （B

14、） 是負(fù)數(shù) （C） 是零 （D） 以上都可能7下列說法中，正確的是（ ）（）27的立方根是3，記作=3 （B）-25的算術(shù)平方根是5（C）的三次立方根是 （D）正數(shù)的算術(shù)平方根是8 下列各式中錯誤的是（ ）（A） （B）（C） （D）99的算術(shù)平方根是_，的平方根是_10若有意義，則_11當(dāng)_時，根式有意義12請你觀察、思考下列計算過程：因為，所以，同樣，因為，所以由此猜想=_13求下列各數(shù)的平方根：（1） （2） （3）14計算：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）15解方程：（1）； （2）； （3）16將半徑為12cm的鐵球融化，重新鑄造出27個半徑相同的小鐵球，如不

15、計損耗，小鐵球半徑是多少cm？（提示：球的體積公式為）提高訓(xùn)練題（B）1.平方根等于本身的數(shù)是_；算術(shù)平方根等于本身的數(shù)是_；立方根等于本身的數(shù)是_2如果_3如果0a1，化簡|a|a1|_4當(dāng)x_時，0，當(dāng)x_時，式子有意義5如果（x6）2|y2|0，那么（x1）2（y2）2（z3）2的四次方根是_6滿足x的整數(shù)x 是_7正方體的體積是216 cm3，則它的表面積是_cm2 8a，b為實數(shù)，則代數(shù)式（ab）2|a|的值（ ）（A）大于0 （B）大于或等于0 （C）小于0 （D）等于09一個正數(shù)的正的平方根是m，那么比這個正數(shù)大1的數(shù)的平方根是（ ）（A）m21 B.± （C） （D）

16、±102成立的條件是（ ）（A）n 是偶數(shù) （B）n 是大于1的自然數(shù) （C）n 是大于1奇數(shù) （D）n 是整數(shù)11已知A是a2的算術(shù)平方根，B是2b的立方根求3A2B 的立方根12已知yx2求的值綜合遷移題（C） 1若，則_2已知為ABC的三邊，則化簡_3.已知a,b為實數(shù),且,求的值優(yōu)化作業(yè)答案:針對訓(xùn)練1. 無理數(shù)有，2. C3. （1） ±16（2）0.14. ，它們的和為0，所以，所以x=-3,y=5=64,故其平方根為±85. =±2又-20=-2,=4=8，它的立方根是26. 解答：14-x0x是不大于的正整數(shù)又是整數(shù)，14-x是014間的完全平方數(shù)，它們是0，1，4，9，當(dāng)14-x取最大值9時，相應(yīng)的值也最大，即當(dāng)x=14-9=5時，相應(yīng)的=3最大。故當(dāng)x=5時，有最大值，最大值是3.基礎(chǔ)題(A)1. B ;2. C; 3. B;4. D; 5. B; 6. D; 7. D; 8. D;9.3, ;10. 1;11. ;12. 111111111;13. (1) (2) (3);14. (1)