非線性薛定諤方程的孤子微擾理論及應(yīng)用

1、湖南師范大學(xué)碩士學(xué)位論文非線性薛定諤方程的孤子微擾理論及應(yīng)用姓名：俞慧友申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：碩士專(zhuān)業(yè)：理論物理指導(dǎo)教師：顏家壬20050301摘要孤子理論是非線性科學(xué)中的一個(gè)十分重要的分支，它在物理學(xué)的許多領(lǐng)域中有著日益廣泛的應(yīng)用。而孤子的微擾又是孤子理論中最有實(shí)用價(jià)值的重要內(nèi)容之一它大體可以分為兩大類(lèi)一是建立在逆散射變換基礎(chǔ)上的孤子微擾理論。它在理論上有著重要的學(xué)術(shù)價(jià)值，但其思路較迂回曲折，數(shù)學(xué)計(jì)算較繁另一種直接微擾論較為系統(tǒng)的方法是將孤子方程線性化后再按函數(shù)的平方作微擾展開(kāi)。這兩種方法均只適用于可積系統(tǒng)。顏家壬教授近年來(lái)發(fā)展了一種基于分離變量法的孤子微擾理論法，它適用于可積和非可積系統(tǒng)，而且思路

2、和計(jì)算較為簡(jiǎn)便本人首先用此方法處理了自散焦非線性薛定諤方程的孤子微擾問(wèn)題一方面是由于問(wèn)題的重要性，另一方面也是為豐富顏教授所發(fā)展的孤子微擾理論的內(nèi)容，為它提供一個(gè)重要的實(shí)例其次我們還用此方法處理了玻色一愛(ài)因斯坦凝聚中的亮孤子穩(wěn)定性問(wèn)題全文共分為五章第一章簡(jiǎn)要介紹孤子的發(fā)展史以及孤子微擾問(wèn)題的幾種常用的方法，并指出這些方法存在的些缺點(diǎn)，同時(shí)也敘述了我們方法的大致思路和主要特征第二章給出了關(guān)于非線性薛定諤方程的微擾理論，并通過(guò)具體工作來(lái)說(shuō)明我們的基于直接微擾理論的兩種不同的思路方法第三章簡(jiǎn)單的介紹和回顧理論的產(chǎn)生發(fā)展及實(shí)驗(yàn)研究過(guò)程，推導(dǎo)出了凝聚體宏觀波函數(shù)滿(mǎn)足的方程然后討論了中暗孤子和亮孤子的實(shí)驗(yàn)

3、情況和理論研究現(xiàn)狀第四章本人基于直接微擾理論研究了中亮孤子的穩(wěn)定性問(wèn)題。第五章為總結(jié)和展望關(guān)鍵詞：非線性薛定諤方程，孤子，微擾，玻色一愛(ài)因斯坦凝聚（），癆啦轉(zhuǎn)錙爭(zhēng)冀魏髓啦。，（蛾，曲。：，第一章引宙人類(lèi)的發(fā)展史表昵科學(xué)的理論總是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，從粗糙到精確，一步步逐漸深化的因此，以數(shù)學(xué)為工具，以物理學(xué)開(kāi)路的嚴(yán)密自然科學(xué)在初期階段總是力圖把描述對(duì)象簡(jiǎn)單化、近似化，在數(shù)學(xué)方面采取的一個(gè)重要辦法就是線性化。但是，隨著科學(xué)的發(fā)展和人類(lèi)向更完美的目標(biāo)的持續(xù)追求，復(fù)雜的自然界不斷促使我們逐漸地把一個(gè)個(gè)線性理論發(fā)展為非線性理論。非線性化是科學(xué)發(fā)展的必由之路一些學(xué)者已將非線性科學(xué)譽(yù)為上世紀(jì)繼相對(duì)論

4、和量子力學(xué)之后自然科學(xué)的“第三次大革命”。正如一位物理學(xué)家所說(shuō)“相對(duì)論的建立排除了對(duì)絕對(duì)空間和時(shí)間的牛頓幻覺(jué)；量子力學(xué)的建立則排除了對(duì)可控測(cè)量過(guò)程的牛頓迷夢(mèng)；非線性科學(xué)的建立排除了拉普拉斯決定論的可預(yù)見(jiàn)性的狂想”。非線性科學(xué)的建立是研究非線性現(xiàn)象共性的一門(mén)學(xué)問(wèn)，它的研究主體是混沌、分形和孤立子，而且這三者彼此互相聯(lián)系在本文中，我們將研究其中的孤子問(wèn)題。最早對(duì)孤立子這種非線性現(xiàn)象的描述可能是年，英國(guó)科學(xué)家、蘇格蘭海軍工程師羅素在對(duì)英國(guó)科學(xué)協(xié)會(huì)作題為波動(dòng)論的報(bào)告中，記載了他在年曾一次偶然的機(jī)會(huì)在運(yùn)河中觀察到一種奇特的現(xiàn)象：“我看到兩匹駿馬拉著一條船沿運(yùn)河迅速前進(jìn)。當(dāng)船突然停止時(shí)，隨船一起運(yùn)動(dòng)的船頭

5、處的水堆并沒(méi)有停止下來(lái)。它激烈地在船頭翻動(dòng)起來(lái)，隨即突然離開(kāi)船頭，并以巨大的速度向前推進(jìn)一個(gè)輪廓清晰又光滑的水堆，猶如一個(gè)大鼓包，沿著運(yùn)河一直向前推進(jìn)。在行進(jìn)過(guò)程中其形狀與速度沒(méi)有明顯變化。我騎馬跟蹤注視，發(fā)現(xiàn)它保持著起始時(shí)約英尺長(zhǎng)，英尺高的浪頭，約以每小時(shí)英里的速度前進(jìn)，后來(lái)在運(yùn)河的拐彎處消失了”。什么力量使水堆沒(méi)有依托的情況下竟然能運(yùn)動(dòng)那么遠(yuǎn)的距離而形狀基本保持不變？這是個(gè)令人深思的奇怪現(xiàn)象。為了探究上述的水波鼓包到底是一種什么樣的現(xiàn)象，隨后，羅素在水槽的一端用一重錘垂落入水中，對(duì)重錘激起的水浪的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行了反復(fù)的觀察他發(fā)現(xiàn)這種水浪與運(yùn)河中出現(xiàn)的奇特水波基本相同。通過(guò)實(shí)驗(yàn)，他還總結(jié)出承渡

6、漿移動(dòng)速度、農(nóng)翡深度及泰波接疫之闋豹關(guān)系：滬口（十），）為比例常數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明，水波的運(yùn)動(dòng)速度與波幅的潞度有關(guān)，渡疆蘧懿速囊鞍快，盈渡睡懿寬囊麓高度之滋瞧攘靖較肇，然莛羅素逛年未能從流體力學(xué)出發(fā)給孤立波以合理的理論解釋?zhuān)虼藳](méi)有引起人們的充分重視?，F(xiàn)在我們寒分別考察魚(yú)散秘翡線性效波懿影響。首先考察一個(gè)單縫翡色散逮程，波韻方程懿形筑為妒妒￥將方撩瓣鰓展斑乎瓣波仇（，）。蝌）】將（）代入（），褥列一（，）（）不難肴出，式（）所描述的波動(dòng)系統(tǒng)是由一暴列沿正軸傳播的單色平藤波纛臺(tái)兩形成的渡包。由于各個(gè)分波鸚波矢量僚不麗，其待搖遺發(fā)氌各苓幫等霹趣，鬻使耪戇露裁務(wù)個(gè)分渡鰉念戲結(jié)象震波包狀，以后也會(huì)黼為各

7、個(gè)波速的不等而最終導(dǎo)致波包的彌散和消失。其次，考察一個(gè)翠鰱鰓線悛過(guò)程，設(shè)它露毽下囂辨囂線性方程忱一（）來(lái)描寫(xiě)，最然它具有如下形式髀妒然妒（石巷妒）。（）它表承沿負(fù)軸傳播的一列非線性波，其傳播速度”妒與質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的距離的大小成正比。這性質(zhì)鼴菲線性振動(dòng)糨非線慳渡瑗褥蠢戇，琵是窀馨致了凌魁在贊舞時(shí)發(fā)燕形變；棗予壤煮穰離平衡位置距離較大處波的傳播速度大于其前方質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置距離較小處的波的傳播速度，因而在傳播過(guò)程中，前者將逐漸趕上后者，而使波包前半部的波形變陡，即使它的前半部分凝聚變窄。如果同時(shí)存在色散和非線性效應(yīng)，方程變?yōu)槎室欢识省６黍t（，）這就是年，兩位荷蘭科學(xué)家科特維格（）與德弗雷斯（）

8、對(duì)淺水槽中單向運(yùn)動(dòng)的奇特波動(dòng)現(xiàn)象用一波動(dòng)方程進(jìn)行理論分析，在長(zhǎng)波近似和小振幅的假定下，建立的單項(xiàng)運(yùn)動(dòng)淺水波的非線性淺水波方程，即著名的（）方程。其中妒一是彌散項(xiàng)，使初始局部脈沖脈沖擴(kuò)展開(kāi)來(lái)，并隨著波的行進(jìn)使波形變矮變寬；而非線性項(xiàng)妒的作用恰恰相反，它使波形前傾同時(shí)使波形變窄變尖。在特定的條件下（特定的波形和傳播速度）這兩種現(xiàn)象互相平衡和抵消，形成了穩(wěn)定的孤立波。所以說(shuō)孤立波是色散和非線性現(xiàn)象平衡的產(chǎn)物。但是此后孤立波現(xiàn)象的研究與方程又被默默地遺忘了幾十年掀起這一領(lǐng)域研究熱潮的應(yīng)歸功于鳥(niǎo)萊姆（）。年，在烏萊姆領(lǐng)導(dǎo)的美國(guó)阿爾莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，著名物理學(xué)家費(fèi)米（，）、帕斯塔（）和烏萊姆數(shù)值計(jì)算了用非線

9、性彈簧聯(lián)結(jié)的個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的弦的振動(dòng)，習(xí)的是從數(shù)值實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的能量均分定理他們對(duì)少數(shù)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行激發(fā)，按照能量均分原理，由于弱的非線陛相互作用，經(jīng)長(zhǎng)時(shí)聞以后，初始的激發(fā)能量應(yīng)有漲落地均衡的分布到每個(gè)質(zhì)點(diǎn)然而計(jì)算結(jié)果令人意外，長(zhǎng)時(shí)間以后能量幾乎全部回到了初始集中在少數(shù)質(zhì)點(diǎn)上的狀態(tài)。這個(gè)結(jié)果預(yù)示著這個(gè)非線性系統(tǒng)可以出現(xiàn)孤立波這就是著名的同題。年，美國(guó)數(shù)學(xué)家采布斯基（）與克魯思卡爾（），把的非線性振子系統(tǒng)的能量不均分問(wèn)題與方程聯(lián)系了起來(lái)他們還是采用數(shù)值模擬的方法，用計(jì)算機(jī)又計(jì)算了兩個(gè)具有不同速度孤立波前后追逐中發(fā)生的現(xiàn)象設(shè)有同向行進(jìn)兩個(gè)孤立波，波幅較高在后的孤立波，逐漸趕上前面幅度較低的孤立波，于

10、是兩個(gè)孤立波相遇了。令人驚奇的是兩個(gè)孤立波相退后，又能很好地分離開(kāi)來(lái)繼續(xù)前進(jìn)，而原來(lái)的波包形狀沒(méi)有發(fā)生大的變化即兩個(gè)在空間傳播的孤立波具鴦磁攮特牲，說(shuō)驥：）孤立波囂謄懿穩(wěn)定；）象一個(gè)物愛(ài)粒子。人們將具有碰撞特性酶孤立波稱(chēng)為“孤立子，”，簡(jiǎn)稱(chēng)“孤子”此后人們發(fā)現(xiàn)，在許多物聯(lián)體系中都存在方程，說(shuō)明孤立波懸一種普遍存在的物理現(xiàn)象。于是方程被看作為數(shù)學(xué)物理懿一拿麓本方程。藤寒天疑又遴一步發(fā)凌，狳方程黔，其它酶一些偏微分方程也葫孤立波解，從此一個(gè)廣大的孤立波研究領(lǐng)域展開(kāi)來(lái)了孤立子是由非線性場(chǎng)所激發(fā)的、髓量不彌數(shù)戇、形態(tài)上穩(wěn)定懿準(zhǔn)粒子。這耱灌粒子其有一弼栽予輯具有豹特性，熱麓繁、凄耋、質(zhì)量、電荷、自旋等等

11、，它們也遵循一般的自然規(guī)律，如能量、動(dòng)量、質(zhì)嫩守恒定律另一方面，它又有自身的特征一波動(dòng)性，在一切可以出現(xiàn)波動(dòng)黲分質(zhì)里，在一寢條孛孛下都霹存在。除上霹分纓懿淺承袋多，在永娶深楚、囂俸奔凌、電磁場(chǎng)、等離子舔、生物體、激及微觀糧子的波動(dòng)性中都可能宥孤立波存在它是一種行波，它既可以以速度在空間傳播，又可以處于靜止?fàn)顟B(tài)，成為非傳播的孤粒子。每鬟子力學(xué)所擐述的徽溉靛予相比，孤立予遵循經(jīng)典運(yùn)動(dòng)規(guī)稼，鞭放牟驥運(yùn)費(fèi)方程或啥密鑲逅蘸方程。掰輟甄立子愚一釋薪螫的準(zhǔn)粒乎，它是本燃紀(jì)物理學(xué)中提出的一個(gè)黧饔的新概念盡臀從年月司各特羅素觀察到河藤上穩(wěn)定的孤峰兀立懿承液，年穗褥維格蠢德舞燕導(dǎo)窶方程及其羧子薅隧來(lái)已經(jīng)許多年了，

12、但孳超人們對(duì)它的普遍關(guān)注幫還是本世紀(jì)六七十攀代的事對(duì)此，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有了很多綜述和糟千專(zhuān)著柱短短的二十年中，從天文學(xué)到“基本”粒子，從淺水波傳播、流體力學(xué)到晶格毽淪、囂線瞧斃學(xué)、簿棗子饞翰壤、霆髂鐫瑗、凝聚態(tài)毯璞、怒導(dǎo)穆理、彈憔力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、聲子，工程學(xué)、毒料科學(xué)、氣象學(xué)、海洋學(xué)、高分子理論。分子生物學(xué)，甚愿氣功、經(jīng)絡(luò)等等，孤子這一新的概念礙剃了極其廣濺地應(yīng)用【？，翹入鐫廣泛逮磷究了奚騫囂子察瓣務(wù)靜窮弦：窮程及冀贛廣；磁豫一戈登（）方程；非線性薛定諤方程；廣田（）方程；碼布西尼斯（）方程，非線性格點(diǎn)方程；玻恩一莫費(fèi)爾德方程；自透射方程；囂線餓嬲網(wǎng)終方筏等，井將這糖方程應(yīng)鬻子各耱領(lǐng)蠛。久懿采爰了

13、鍪耱數(shù)學(xué)理論，盔籍鼗麓反演方法，無(wú)窮多個(gè)守恒律，貝殼蘭得（）變換等。方程的解也從孤子推廣為反孤子、呼吸予、碰撞解及撾結(jié)解、渦旋解、瞬子解、磁單極子解等。旎期，大家僅限予研究經(jīng)漿翡孤子理論。年，弗量德穩(wěn)絡(luò)和李撮道把它推廣為量子的，弗得到結(jié)論對(duì)任何一種玻色子場(chǎng)系統(tǒng)，只要經(jīng)典孤子存在，則總桴在相應(yīng)的鬣子孤子解，蕊少在弱耦合懿情形時(shí)是熱她。德程】把魘蠢孤子解分為囂大類(lèi)；搬撲樓孤子秣菲事囂孛往孤子。愁丁等麓袋橫登就怒基于妒一弱方程酌孤子解，并由此討論了夸克的禁閉黼題粒子物理中為什么可以應(yīng)用孤子？我們認(rèn)為一方麗瞢遍存在的粒子系統(tǒng)撼相互作用耦合的，其場(chǎng)方程一般是非線鑲螅。這些努稷的一類(lèi)有意義翦緦就爨孤子解。

14、男一方瑟粒子是穩(wěn)定鵑或平穩(wěn)定靜，邃歪好楣應(yīng)于孤子。第三方瑟，由平釃波疊加得到的波包必然騷擴(kuò)散，這是鼉子力學(xué)中的老問(wèn)題。所以如果波粒二象性始終成或，粒子也只能是孤子。由此推廣，我】穩(wěn)傣勢(shì)羲畝，掰嵩存在糍纛佟用的俸系，只要其中農(nóng)輾對(duì)穩(wěn)定懿客體，孤子理論都大有用武之縫困詫?zhuān)伦蛹捌鋽?shù)學(xué)方法磐褥遴一步發(fā)展，也將蓖加深入地皮用到各個(gè)領(lǐng)域。猩孤子理論中有一類(lèi)重要闋題一一孤子的微擾問(wèn)題。因?yàn)閷?dǎo)出檬臻線蛙方器豹模蘩往徒麓賽發(fā)瑾憨詫煞，瑟實(shí)繇鞠疆孛，考慮到菜題實(shí)際因素，如阻恧、外加驅(qū)動(dòng)等，錢(qián)往要討論包含修正項(xiàng)的對(duì)應(yīng)方程這時(shí)嚴(yán)格求勰一般是不可能的，然而把修派項(xiàng)（即實(shí)際的系統(tǒng)和這些理想化酶模塑之聞往往存在的一些細(xì)微

15、藏異，我們稱(chēng)之凳徽撬）羲箏奎囊蔻毽，蔫徽糖理淪遘褥磷窕是寢有效鶼。瞧歪蘧因?yàn)槲_的存在輿有普遍幢，隨此研究徽抗對(duì)菲線性演化方程的孤子解的影響具有更為實(shí)際的意義微擾可以分為兩類(lèi)一類(lèi)是哈密頓微擾（），另一類(lèi)是耗散微擾（蠛癆主玨）。孤子微擾理論種類(lèi)繁多，內(nèi)容豐富例如；修正守憾律（）徽擾理論，喻密頓微擾瑗論，拉格朗日徽擾理論；基予逆散射變換（）徽挽理論；蕊手妻接法鶼徽挽理論；毒點(diǎn)微攘理淪；緩?fù)芑战堇碚?；基予方法戇微魏瑾論等等。繼較為普遍的是建立在逆散射理論基確生豹微撓理論這種方法是由【，和提出洙的，并在隨后的一些工作中得以擴(kuò)充，】，朔】對(duì)大量這方面的工作骰了較巍詳盡瓣憨纓。滾方法燕寵在遂教射嶷換的蓑麓

16、上，要求來(lái)受檄攬彩噙酶方程熊夠用逆敲射法求解。辮褥只適用于可積系統(tǒng)。此理論處理孤子微擾問(wèn)題的能力很強(qiáng)，能成功的處理很多的孤子微擾問(wèn)題，但思路迂潮曲折且對(duì)于那些不懂得法的人來(lái)說(shuō)想運(yùn)愛(ài)戴毽淪是菲豢蓬滾瓣。勢(shì)了發(fā)褒一套蔑逶矮予霹積系統(tǒng)又適薅予菲可秘系統(tǒng)的孤子窮程的鐓挽聯(lián)論，首先撼出了所謂的“宣接法”，這種方法的基本思路是首先將禽微擾豹非線性方程線性化，然后用微擾展開(kāi)法來(lái)求備緩（一般是一級(jí)）近似方程其中較秀系統(tǒng)戇徽法冕選取薅瓣警方終為鍰挽震囂基，墓霾耨又是用邀散射法求孤子解時(shí)遇薊的菜一輔助方綴的基本解因此該直接法井來(lái)擺脫對(duì)逆激射法的依賴(lài)，它在實(shí)際撩作過(guò)程中巧妙的運(yùn)用了一些邀散射理論的結(jié)論，故同樣只適用

17、于塒積系統(tǒng)簇家至數(shù)授在罄天懿騷究麓麓上，發(fā)晟了一套基予分離變量法的孤子徽擾論直接汝在一般情況下，各級(jí)近似方程是可以分離變量（或近似分離變激）的問(wèn)題的關(guān)鍵是求解各級(jí)近似方程中所含線性微分算子及其菸轆算子的本援函數(shù)，并耀它們來(lái)梅造歪交歸一完釜熬徽撬蓑囂基。該方法鷯掩贏莛無(wú)論本鬣饉麓題穩(wěn)求解逐是正交完備性的證明在方法上是自成體系的它不依賴(lài)于前人的工作，因而完企擺脫了對(duì)翹妻散射法的依賴(lài)故此法不僅適用于可積系統(tǒng)，也適耀乎囂可積系統(tǒng)。其男一特點(diǎn)是思路耋接，容易瑾瓣冪拜接受。越靜，在效學(xué)詩(shī)葬上也薅顯院箕趣方法籬單。邃秘方法姓溪了十余種非線性方程的孤子微擾同趣繳近又用它成功地解決了暗孤子微擾這一世界難題柱蒎下

18、寒我第二章中，我冬溪過(guò)建菲線縫萍定諤方獠靜援績(jī)疆子解放亮孤子薅骰強(qiáng)子微擾，進(jìn)一步詳盡的鶿述我們的贏接法及其改進(jìn)方法在第三鐓中將磚玻色愛(ài)因斯堪凝聚中的孤子的研究現(xiàn)狀進(jìn)行綜述，并予第四章中我零用顏教授的贏接法所得出來(lái)的關(guān)于菲線豫薄定諤方纛戇賽孤子擻撬瓣戚暴采聚突襲色愛(ài)溪蘩拯凝聚中的亮孤子穩(wěn)定性問(wèn)題，對(duì)這部分工作進(jìn)行了具體的介紹。最后在第五章中進(jìn)行總結(jié)和展望第二章非線性薛定諤方程的微擾理論§前言非線性薛定諤（）方程模型是現(xiàn)代科學(xué)中最重要也是最普遍的非線性模型之一。作為描述波包在弱非線性色散介質(zhì)中傳播的普遍方程，它出現(xiàn)在物理和應(yīng)用數(shù)學(xué)的許多分支中，包括非線性量子場(chǎng)理論，凝聚態(tài)物質(zhì)和等離子體物

19、理，非線性光學(xué)和量子電子學(xué)，流體物理，微擾和相變理論，生物物理等。非線性薛定諤方程最著名的解是孤立波或孤子解。孤子的典型特征是以一個(gè)局域波的形式在與另外一個(gè)孤子相互作用的時(shí)候，保持了類(lèi)粒子的性質(zhì)。非線性薛定諤方程孤子理論最初是在年，由和發(fā)展的多年以后，對(duì)于方程的孤子理論的發(fā)展出現(xiàn)了不少重大的貢獻(xiàn)【，。今天，在預(yù)言孤子存在的可能性【】，以及，和的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)之后，方程的光孤子被認(rèn)為是自然數(shù)據(jù)比特和超高速光學(xué)通訊系統(tǒng)的新生代重要選擇。在宴際應(yīng)用中，諸如非線性薛定諤孤子的牛頓粒子行為、靜孤子現(xiàn)象、以及弱周期外力驅(qū)動(dòng)下出現(xiàn)的分形等【】，各種各樣的微擾對(duì)孤子行為的影響引起了研究者的廣泛興趣【】。在研究非線性

20、薛定諤方程受阻尼影響時(shí)，通過(guò)將包含微擾的動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)換到散射空間，首先建立了該方程的微擾理論隨后，和使用的格林函數(shù)法【】，以及研究波包受非線性阻尼影響時(shí)采用的“絕熱近似法”都對(duì)該方程的微擾理論作出了重要的貢獻(xiàn)其中和利用雙重尺度技巧和格林函數(shù)建立了一套形式上獨(dú)立于逆散射理論的直接法微擾理論。但我們明顯的可以看出展開(kāi)基矢是依靠逆散射理論來(lái)求得的。后來(lái)的工作【，】、以及發(fā)展的直接法微擾理論【】也存在著同樣的問(wèn)題，它們實(shí)際是類(lèi)似的使用的展開(kāi)基矢是利用算子的本征函數(shù)和逆散射理論里面的函數(shù)的關(guān)系，以及的工作作為基礎(chǔ)來(lái)構(gòu)造的這些基矢的構(gòu)造包含了相當(dāng)復(fù)雜的推導(dǎo)。本章按照我們所發(fā)展的直接法，通過(guò)一個(gè)非線性薛定諤

21、方程的扭結(jié)孤子熊佟鴦其體豹鍘子，來(lái)建立菲線性驀邀灣方程豹微燒理論。并討論微擾對(duì)孤子晦影響對(duì)于我們酶改進(jìn)的直接法，我們也在文章中饗予了描述通過(guò)兩種方濃我們所得到的結(jié)果是一致的。我將在文巾具體予以說(shuō)明§微擾的非線性薛定諤方程的線性化我們考慮微找瓣囂線性薛定諤方程鰩醬避形式饑一；牡丑兩，（）這里，為衡量微擾強(qiáng)弱的小讖（），表示微擾具體形式的璞為，玨聾，囂。的知函數(shù)纛沒(méi)有微擾彩嗨的情況下，囂戴，方覆）靛變?yōu)榇圄澉揖c瞧薅定譜方程“一札。十拙：（）它具有熟下形式粒攀孤子解，”±融和一；挑）】（）醌，（）這里的。，鼴四個(gè)實(shí)參數(shù)，它】決定糟孤子的高度（寬度），孤子黲漣度，初始餓置穰初貽像

22、耀。本章我】考慮的是檄挽對(duì)菲線毪辭寵海方程荸孤子解懿影璃，囂魏方程）灌是酶翻始條串蠢，）士和恤一）（袖）方程綴黻純首先我們?nèi)枞胍豢M秘時(shí)閨“黌”變量“”，一，（）現(xiàn)在我鏹裁曩多重囂壹闋足塞法（凳嘲寒?huà)芑涨宿俗鹁€鑲薅定諤（）撮據(jù)求姆法則，對(duì)時(shí)聞酶鏞譬熬稠痙戇晨幫舞島島，魏，（）與此間時(shí)，我們將和展彈為如下的漸進(jìn)級(jí)數(shù)堪矬秘（黿擊秘÷，】（鈞【】兄（【（，（一，（）將展開(kāi)式（）一（）帶入到微擾方程（），同時(shí)令的相同冪的系數(shù)為零，我們可以得到如下的各級(jí)近似方程：一嬰叩（）（）一罌阻】（）（）（】一“？（）初始條件相應(yīng)的重新寫(xiě)為（印，）（）】（），（，），（）零級(jí)近似方程（）為標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤

23、方程，它的單孤子解由（）式給出，我們將其重新寫(xiě)為如下形式（，）士（口）；，其中十），氏，（）：皇文甌：。（）由于微擾的影響，此時(shí)孤子參數(shù)，和都依賴(lài)于時(shí)間“慢”變量，一另外，不依賴(lài)于，而和依賴(lài)于，其函數(shù)關(guān)系由（）和（）的后兩式給出。由方程（）一（）可以得出罌士唧）口（）口矗。（）為了方便起見(jiàn)，我們引入了一個(gè)新的空間變量（在與孤子一起運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系內(nèi)的空間變基）來(lái)代替原實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系內(nèi)的空間變量，即釓一；，以一口晚。這樣，一級(jí)近似方程（）和相應(yīng)的初始條件（）式變?yōu)椋ǎ┮?#168;粵（）（）？（）。千（）“（）?；椤浚ǎǎ?duì)方程（）我們引進(jìn)如下變換（）（日）（）（）（】（）這里，（）和（）為兩個(gè)實(shí)

24、函數(shù)，它們分別為復(fù)變函數(shù)口（）的實(shí)部和虛部通過(guò)以上變換，我們可將方程（）的求解轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)實(shí)變函數(shù)的聯(lián)立方程問(wèn)題的求解。掣“，。”？（塒）恐。鼬。十融）千。洶士（口。蜒“）、。一嬲一厶（，（】（一），相應(yīng)的初始條件變?yōu)椋福?，），（）這里我們定義兩個(gè)算子為“墨十槲，他們是線性自共軛的厶嘉（）§正交完備化基矢的構(gòu)造方程（）的求解現(xiàn)在實(shí)際上已經(jīng)轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程（）的求解我們通過(guò)對(duì)方程（）所對(duì)應(yīng)的齊次方程分離變量，或直接對(duì)其施行拉普拉斯變換求解的過(guò)程中，會(huì)遇到下面的耦合方程本征值問(wèn)題二妒蘭，咖柳（）（拳麗簍子瘍穆囂手方程（）懿上式，佟溪予方程。）懿下式，我們可將方程（）轉(zhuǎn)換為下面等價(jià)的形式

25、曲吵，（）（）諍×）雌由于。和。都是線性自共軛算子，所以，算子厶厶和，互為共軛箕子，因此，本征函數(shù)鬃好瑚互為共軛本征函數(shù)系。下面我粕采求懲主述零薤僮瑟瑟戇連續(xù)譜。對(duì)于方程（），當(dāng)。一士。時(shí)，我們有，島一。一，于是，方程（）的本征值問(wèn)題寫(xiě)為溉三麓妒叫“婦出，奠幣（，）一叭，）將（，）霞入（）串，毒江。，由方程（）很容易得出，當(dāng)士。，西和妒的漸進(jìn)行為為齜弱霹，我】褥裂一妒，一一（女）。瓣攏，我鼴裁設(shè)、倦一塒卅。鬣蘭口一女仃，篙麗口（）將耩曩?lài)虨榭诶隗记?。囂繁毪磊擊黼，。、口如耐。如耋馨己，。齟。瓦爨潦鼉將）代入（）孛，斃較冪級(jí)數(shù)懿系數(shù)，褥出的一芷雩疊，。依，齜：，鼯，。代入（）中有（譬“

26、羽），口一（譬；）曩磁、。瓣鴦“。而（§）。妒一仕。（譬），。（）其審為常數(shù)。我稍可濰蘧過(guò)蔗交穗麓證磅來(lái)確定常數(shù)。即通遺下式（島女）硒，）艫（女）毒，），一，一（）可淤褥離。瓦磊；蠢灞函魏，我髓可浚繕?lè)B續(xù)譜靜本征函數(shù)眵（：，囂：！：；密臻。）（。）（），眵冬，罅了囂；幫固攀臻）（。（）。）該本征值聞駐罨存在一組對(duì)嗷于本征值一的分立譜，他們是在證明連續(xù)譜本征暇數(shù)完備性曲（，女）每（，）和一）（）是否成藏時(shí)，發(fā)現(xiàn)必須加入鼴個(gè)分立譜馳本攝函數(shù)方姥使寵備往成立，鬻憩囂繕凄戇它靛是批）歷州壚去鼬（）這墓，我稻要搔蹬靜是譴稍并不滿(mǎn)跫聯(lián)巍方程（）實(shí)際上弦容易檢虢出他們滿(mǎn)足的關(guān)系是諺（），）本攝函

27、數(shù)系甜一（五月），鋇（）和幣（，張妒（）構(gòu)成了一組磁交完備的基矢下蠢我爨善籠繪蠢蒸矢靜寢靜懿鬟突瞧證霹。邃曩我愛(ài)終為示例給出連續(xù)譜的正交性的證明。直接考慮如下的正交性積分上。烈毛砷縱互）一贏習(xí)壽意麗麗。出“（；十。）一而舞頁(yè)麗上。出“扣（：、（十艫）（研）一。、）然后我們利用到下列用留數(shù)定理得出來(lái)的公式（求的具體過(guò)程省略）竹）仁秒。雨（）如）。礦如聹州”焉，。，”兒，（）砸）一仁擴(kuò)豢咖（參，。厶（）二”（）一（）（）孫）仁沙豪”吣啪）擲）仁砂。纛出（塒）”（”，（）（。）上。嘲王。（）嘞”。何）（）仁擴(kuò)。榮出（一”）（）一”（）（）擲）仁一。砒如一撕）鋤（）器江）我們可以證明連續(xù)譜的正交性。連

28、續(xù)譜和分立譜的正交性可以用同樣的方法證明分立譜和分立譜的正交性證明可以直接由函數(shù)的奇偶性得出至此，我們可以給出正交性的總結(jié)如下：，。毋（：，）妒（，）妒（，女）妒（，）（一），（）一。，。妒（，）市（。）妒（，）孑（。），（），。妒（）幣（）（）。接下來(lái)我們進(jìn)行關(guān)于基矢奶和仰）的完備性證明。我們直接從下面的積分出發(fā)上?？Вǎ?。）市（，。）幽磊萬(wàn)萬(wàn)再可上。幽訂。（）（。）蕊盯廁上。（。蚴執(zhí)血一）（）注意到磊熙（。一）（），以及利用留數(shù)定理，我們可以得蛩毋，）每（盈，）一）一幣（）巧（動(dòng)）（）“這個(gè)實(shí)際上就是我們所求得的完備性關(guān)系我們可以看出，要使完備性關(guān)系成立，除了連續(xù)譜外，還必須加入兩個(gè)分立譜

29、。§微挽對(duì)孤子的彩響有了上節(jié)中構(gòu)造的正交完鑄基矢，我們現(xiàn)在可以饕手解決方程（），并進(jìn)一步得到微擾引起的一級(jí)修正“（”。首先，我們利用上節(jié)懿基矢褥童（，）穗曰蹶。）分裂袋開(kāi)為（，）（，）妒（盞）（）劬（），一（，）囂（，）一“，）毋（）（±）妒（。），一將（）和（）帶入方穰（），我稻可以得到，（）（，）曲，）（）妒（）一。一擴(kuò)（島，§）一妒）妒，）一妒毋如）學(xué)疊）（。）】）（一）（）干礦），（），一秘（，凳）乎（毛）摶。）簪（）。一（，）（一）妒（，）（。顰（一諺）（圭赫，圭（菇鷥缸），襁應(yīng)的初始條件為（）。（，）（，膏）口（）雌（）（）用正交性條件（）一（），我們

30、可以融上面的方程得到展開(kāi)系數(shù)所滿(mǎn)足的常微分方程為磊（，蠡）寥南，酗妒辭妨圭、疰纛“蠡），固，（。）一甜（，女）（）。（，女）（）千、而。（）千甄（文?；椋ㄆ撸?，）（，女）一（）（）一（）：以口矗。；（）（）士、§。，）（）其中（）（）（）一（【（】）幣（一口）西（，）（唧（）西（），一。（）（）（），口（）（【（】【（一）巧（。，）一叮一一冗（冗“（一口）訪（）出假設(shè)缸（一）是獨(dú)立于目的，那么方程（）（）的右邊都是獨(dú)立于的（在與孤子一起運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系內(nèi)）對(duì)方程（）（）的積分，我們的得到的是磷）（：以。）和口”）一擴(kuò)（叮”士，以。，）瑤（”千低。）這樣的項(xiàng)，很顯然它們將隨時(shí)間的增加而

31、趨向于無(wú)窮，這就是所謂的久期項(xiàng)，為了得到具有物理意義的解，我們必須消除這種項(xiàng)因此，我們消去久期項(xiàng)，可以得到）鐘，士氧，。）（！）士雩）；怕）千酣缸）。扎鏟土去，（）（）（）”（一）“）：一，一。（）矗士志）士去仁，（卅剛）脅（山干了豪（）千芻仁州（塒）腳】）珥麗¨則最后得到了一級(jí)修正（）州副。）（）。南艄）（佰可）十瓦毒麗揪）一佰幣。北）（口）如壺即（）（伊麗以。）】一一一了！毳口”（）（，；。：孔。）曲（。，）（）§改進(jìn)的方程的直接法正如我們?cè)诘谝徽轮兴?，由于暗孤子的微擾問(wèn)題一直沒(méi)有得到很好的解決。顏家壬教授近幾年一直致力于這方面的研究。于最近終于通過(guò)對(duì)方程技巧的改進(jìn)，

32、對(duì)此問(wèn)題給出了完善的處理。此種改進(jìn)的直接法在其原來(lái)發(fā)展的直接法的基礎(chǔ)上，將微擾的非線性薛定諤方程與其復(fù)共軛方程一起研究，同時(shí)處理了方程的兩組分。這樣它能很好的處理原方法在暗孤子微擾問(wèn)題上遇到的困難，從而順利解決此問(wèn)題作為一種改進(jìn)的方法，它不僅適用于暗孤子的微擾，同樣也適用于亮孤子，扭結(jié)孤子的微擾在此，我同樣以剛才處理過(guò)的非線性薛定諤方程的扭結(jié)孤子為例，來(lái)說(shuō)明這種方法。其線性化的過(guò)程與前面所述的線性化過(guò)程相同。對(duì)于一級(jí)近似方程，我們將其與其復(fù)共軛方程一并給出，從此處開(kāi)始我們將同時(shí)處理兩分量方程札！¨一一（十坩孑面（十（）（，“（），。面面粵一一扎（）。面（）（，（：，）一（）并且設(shè)這時(shí)

33、我們可以將方程（）寫(xiě)為矩陣微分方程的形式，（，）（）在此印是泡利第三矩陣，和是兩分量的列矩陣，是×矩陣它們的定義如下（；），（；），（爭(zhēng)竺州講。槲剮）垂垂丑哪。，為了用類(lèi)似于上面講述的直接法的方法解方程（），其關(guān)鍵的一步就是解下面的兩個(gè)本征值方程（）在此，口是的伴隨算符肚（磚二蕓：州。甜糾）餌，砷我們用與上面有些不同的方法得出三和的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)于連續(xù)本征值±（）僵，一。的本征函數(shù)得出來(lái)秀不娥驗(yàn)證電（越秘皿（妨（：，奄）是方程（）的釋下掰繪出具體的耱鵑奉疆涵數(shù)懿接導(dǎo)鵑遵程農(nóng)我們改進(jìn)的方法中，妥解決兩個(gè)本蔽值問(wèn)題，即：三蛋垂，母零沁，牡志（盎二篇：鼢）礦婚，驢麗憊黟（甕囂簿端

34、孫。嘲沁，壯舞（；瓣驢沁，臚纛（卻。叭（。一。一叫）閽）。）仁（，）猩此我們先解方程（）中的第一個(gè)式子圣艟。因?yàn)楹泻袃蓚€(gè)分量，所以我們解一綴解）拳？姒。毒（硬十）如一毋毋番，）令母。礦嗡，毋。爵。代入方掇綴褥啦蝻們哳蕓“犯弘一甜卜艫聊凈一卻瓤眺越翟：鏟碗惦令三：。，黽赴；“，一齊代入上式，對(duì)比最高次韉項(xiàng)，利用非零解條件，可得，則可令篁，量一，褥次代入上式，對(duì)比的次冪，鴦可以算出系數(shù)勢(shì)曲“莘譬譬吼沁（）十）（娟了骺一），口一（、，蠆麗女）曩襻豹琴渡褥塞黠予豪，有（）咿（土箏戳一號(hào)筍）。，啦）（甲一摯）（）妒一（壽洶醴叫（伍一）。（）且有（女）士血撕麗，最臘我們得出和厶的本征函數(shù)為舀。，（嚏：

35、；：）。，。，（，）“啪，（黑州產(chǎn)，礦汝兩（支筌：篇一曩麟展和分遙褰對(duì)應(yīng)于分囊本征僮一的本征函數(shù)曠瑚（裟囂簿叫）翅。，擴(kuò)，六（）（）（）穢）（、，蛾壚（一）。（）（。并且很容易驗(yàn)證肺（）一驢皿（）（。）由于算符和不是自共軛的，它們的本征函數(shù)并不是完備的。因此，為了構(gòu)建微擾展開(kāi)的完備基，必須增加一些函數(shù)。基于這個(gè)目的，我們找到了函數(shù)西佃。，；（二，），毋。，一（；）。，必須指出的是，方程（）中給出的函數(shù)并不是本征函數(shù)，它們滿(mǎn)足下面的方程垂（。）西（石），皿（）田（）（）到此，我們得到了兩組完備基中圣（¨（，女），由（一（，），圣。（）；：，）和毋霍（，），皿（一（。，），皿（）；，）。

36、他們滿(mǎn)足下面的完備關(guān)系、一降（。，）面（，）西（一（，）面（，）刪（）拶（）（。一）（）完備關(guān)系（）能夠由類(lèi)似于我們?cè)瓉?lái)的直接法的方法求出，就不再贅述。另外圣和滿(mǎn)足下列正交歸一關(guān)系出面糾（，）圣（±（，）：（女一，），）矽（）扣（）屯，（）”；矽硝（，）垂地）：廠矽（）垂（±（礎(chǔ)）：（）最后，我們來(lái)討論孤子的一級(jí)微擾效應(yīng)。我們用基底西）展開(kāi)（，）陋（，）中（，）膏一。州由二一）復(fù)將其找入方程（），芽豆剃翅歪交關(guān)系（）一（，；，我嬲餐到了下瑟的具有適當(dāng)初條件微分方程耐（，女）千機(jī)何孓雨（）（）（）。審件，）”拶矗瞄。（：）（）口（，），椰（）一（）（）面“（：）￥（）。哩）一

37、，（）糟（。）。（）：，。面（）（。）】，（）：（，）由久期硬條串，我疆褥出了熒予孤子參數(shù)的兩個(gè)重要公式¨利毋沁礦謝刪”】一（篇荊（嫩）弘圭去硝協(xié)“辨矽沁熱。蝴千癡一唧千嵇壓強(qiáng)越方襁（）很容易由標(biāo)準(zhǔn)方法求得，。移（一，女）。刪矗，（）將方程（）代入（。），得剝附，（篡；）小毗毋咖曲俐切，凌魏，（，；）爨籍爨丞數(shù)協(xié)蜥，棚卜，砘闞（毛刪憾）一￥艫霸：醛圣（囂，競(jìng)）垂（一，盎）。）方程（）給出了微擾的一級(jí)修正解。值得指出的是，改進(jìn)的直接微擾法能夠很好的解決暗孤子的微擾問(wèn)題。這一方法由于在技巧上進(jìn)行了改變，給我們提出了一個(gè)在思路上更加簡(jiǎn)捷明了的孤子微擾方法因?yàn)樗窃陬伣淌谠瓉?lái)的直接微擾法基礎(chǔ)

38、上改進(jìn)的，因此同樣是自成體系，易于掌握和接受。我們現(xiàn)已用它作了非線性薛定諤方程的暗孤子亮孤子和扭結(jié)子的微擾工作。§。多重足度法多藏尺度法的基本思想是將表示解的展開(kāi)淺看成是多個(gè)變量（多個(gè)尺度）的函數(shù)，麟不是單個(gè)自變量的函數(shù)可按照引進(jìn)一魑自變量我們注意到因?yàn)槭切?shù)，表示不同的時(shí)間尺度例如設(shè)，尺度的變化可以從一只表的秒針上看裂，跫嶷置懿變鈍溪懿反一哭袋懿分贊上罄戮，足塞羈麓變琵爵璦及一其表的時(shí)針點(diǎn)觀察到。逸樣而表示快變量，噩襲樂(lè)較慢的尺度，乃表示更慢的尺度，等等設(shè)形式髕為：），墨，霸，）十【馬，囂，）撕，墨，瑪，）因此，札（）就是，妁，死的多變量函數(shù)這時(shí)近似解與精確解的誤差為咒”的數(shù)量級(jí)只要足夠小，這個(gè)解在怒夠長(zhǎng)的時(shí)蠢（表，繪爨足夠穰礁鶼髂，蘧過(guò)這個(gè)蓬整裁不逶熙了。這種把解展開(kāi)成多個(gè)時(shí)閱自變量磁數(shù)的方法稱(chēng)為多重足度法這樣一來(lái)，關(guān)乎的導(dǎo)數(shù)變成了關(guān)于不同時(shí)間變量，乃疋，的偏微分方程，蔣原來(lái)是鏑微分方程，現(xiàn)在就增加了獨(dú)立的自變量個(gè)數(shù)。按多元丞數(shù)檄分浚輜，對(duì)時(shí)闋靜導(dǎo)數(shù)窩為磊懈麗西十一面。（。）豢一鑫姚鑫碑彘蒜凈泛渤，將（），（）和（）代入非線性運(yùn)動(dòng)方稷，按等號(hào)兩邊的的同次冪憋數(shù)相等的原則，得到關(guān)卡釷“¨，“。的漸進(jìn)方