數(shù)列型不等式放縮技巧八法

1、數(shù)列型不等式放縮技巧八法證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種:利用重要不等式放縮1.均值不等式法例1設(shè)Sn<r2Jn(n1).求證解析此數(shù)列的通項(xiàng)為k.k(k1)akk.k(k1),k即n(n1)SI°n22n(n1)21,2(n1)21,2,nkk1n(n1)2,n.Sn(n1)22Sn(kk1注：應(yīng)注意把握

2、放縮的“度”.茄a(bǔ)_b，若放成Jk(k1)k22:上述不等式右邊放縮用的是均值不等式1則得nSn(k1)k12(n1)(n3)(nD,就放過“度”了！根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里a1其中，22na1ana1anVna1an1nnann2,3等的各式及其變式公式均可供選用。已知函數(shù)f(x)2bx，若f.一一,1土且f(x)在0,1上的最小值為-,求證:f(1)f(2)f(n)簡析f(x)4x1(12)222(1例3已知a,b為正數(shù),1141211F712?2x1n(141一.(02年全國聯(lián)賽山東預(yù)賽題)2(x0)f(1)f(n)(1六)(ab)na一,1簡析由1aaba

3、b4,bn122na2n1.1得abb而(a令f(n)(ab)nb)nna因?yàn)镃nc；i,倒序相加得1n12f(n)=Cn(ababn1)12n1)12n11，試證：對(duì)每一個(gè)b(88年全國聯(lián)賽題)C0anbn,則一11、八又(ab)()2ac1n1,Cnab1n1f(n)=C1an1br/nCn(arbrC；anabrbrr)C；anrbr11n1ab,n1nCn(ab而an1bab12f(n)=(C；(2n2)2n(ab)nan1,bnCn所以rnrabn1rnn)(ababnrabr)(22.anb2)(arbnan22br)n1,則f(n)(2n2)2n,即對(duì)每一個(gè)22n2n1例4求證C

4、；C2C3Cnn22(n1,nN).簡析不等式左邊C1Cn2Cn3Cn2n112222n1n1nnnTT”=n2丁，原結(jié)論成立.2.利用有用結(jié)論例5求證（11）（11）（11）（1_）J2門352n1簡析本題可以利用的有用結(jié)論主要有：法1利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)bbm(baam2462n3572n11彳352n12462n2a0,m0)可得352n10(2n462n（1-2)22n1即(11)(1-)(1-)(12n1352n1)-)2n1.1法2利用貝努利不等式(1x)n1nx(nN,n2,x1,x0）的一個(gè)特例（11，)212，(此處n2,x')得2k12k12k112k1n1)n2k

5、12k12k1k12k1k1，2k1,2n1.注：例5是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國高考文科試題；進(jìn)行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是：1證明(11)(1)(14例6已知函數(shù)f(x)117)(13n212x3xig）313n1.（可考慮用貝努利不等式n3的特例）xx(n1_a-,0a1,給定nN,n2.n求證:f（2x）2f（x）（x0）對(duì)任意nN且n2恒成立。（90年全國卷壓軸題）簡析本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運(yùn)用柯西（Cauchy)nnn222不等式(aibi)aibi的簡捷證法：i1i1i12xc2x2

6、x2xf(2x)2f(x)IgU3(nJ土nxxxx2123(n1)ann?1xx1232lg22x32x而由Cauchy不等式得(1112x(1212)?122x32xn?122x32x(n1)2x例7已知a11,an1(1下L)annnxx131(n1)2x22x.(n1)an(x2xan(0a1),1.(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明2nxx(n1)ann2x2xi(n1)anx2an)0時(shí)取等號(hào))得證！an2(n2)；（II）又ln（1x）x對(duì)x0都成立，證明ane2（無理數(shù)e2.7182&）（05年遼寧卷第22題）解析（II）結(jié)合第（I）問結(jié)論及所給題設(shè)條件ln（1、，一一11放縮心路

7、：an1（12號(hào)同Inan1nn211Inan-n。于是Inan1Inannn2x）x（x0）的結(jié)構(gòu)特征，可得ln(1n1-2nnn12n3)Inan2nn1(lnai1i1Inai)即lnanlna12注：題目所給條件放縮方向的作用；當(dāng)然,1、an1(1n(n1)anln(1ln(an11)ln(ann1ln(ai11)i2即ln(an1)1x)x(X本題還可用結(jié)論)an1n(nlnanlna110）為一有用結(jié)論,2n1)ln(1ln(aiIn3例8已知不等式121n11(2)一an1)1n(nn1n(n1)(n1可以起到提醒思路與探索2）來放縮：1)n(n1)一)(an1)1)an133e

8、ln(an1)2e.1)ln(a21)11,log2n,n2,n2.log2n表示不超過log2n的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列an滿足：a1b(b0),annan1,n2.nan1求證an2bc,n3.blog2n簡析2時(shí)ann（05年湖北卷第（22）題）anan1于是當(dāng)n3時(shí)有nan1an1(ak1an注：本題涉及的和式an12ak1-)1nan1an1n1k2kan1以利用所給題設(shè)結(jié)論12a1131n1log2n22b2blog2n1為調(diào)和級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可n1log2n來進(jìn)行有效地放縮;引入有用結(jié)論在解題中即時(shí)應(yīng)用，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個(gè)顯著特點(diǎn),有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與

9、創(chuàng)新意識(shí)。1c例9設(shè)an（1-）nn解析引入一個(gè)結(jié)論：若整理上式得an1以a1,bn1即an單調(diào)遞增。,求證：數(shù)列an單調(diào)遞增且an4.ba0則bn1an1(n1)bn(bbn(n1)anb.()1。代入()式得(1，)n1(nn1a）（證略）-)n.n以a1,b1,代入()式得1(1)“(1'-)2n4.2n2n22n此式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有（11一)n4,又因?yàn)閿?shù)列an單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)n有（11）n4。n、.一.1c,.注：上述不等式可加強(qiáng)為2(1-)n3.簡證如下:n利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮:只取前兩項(xiàng)有an-c：-nf11nn1Ck_nkIInk!n

10、n故有a：11142221、n11a：(1)1Cnnn2,對(duì)通項(xiàng)作如下放縮：nk1111：k!1222k1,n11211(1/2)*211/2C2_1C：2nCn,3,上述數(shù)列a：的極限存在，為無理數(shù)e；同時(shí)是下述試題的背景:已知i,m,n是正整數(shù)，且1imn.(1)證明niAmmiA：；(2)證明(1m)n(1n)m.(01年全國卷理科第20題)簡析對(duì)第(2)問：用1/n代替n得數(shù)列bn：bn1結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列(1n)n遞減，且1i(1即(1m)n(1n)m。當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種，如使用上述例貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問題”決！詳見文1。部分放縮例10設(shè)an解析

11、a：11n尸是遞減數(shù)列；借鑒此11n,故(1m”(1n)%5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解又k211a2k112a3a1,a2.求證:anan2.k(k1)11了3ak1k132k(k1k11an1),k112222322(只將其中一個(gè)k變成1,進(jìn)行部分放縮)，例11設(shè)數(shù)列an滿足2nan1(12an12nan有(i)a：解析當(dāng)ncO1n2；(h)；-1a1(i)用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)11a21(21113)n1anN1一21(n-I，當(dāng)a13時(shí)證明對(duì)所有(02年全國高考題)n1時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng)nk時(shí)成立即ak1n1,k1時(shí)(ii)禾1Jak1用上ak(akk)述部

12、分放1ak(k縮的結(jié)k)ak12(ak1)ak2k1(a11)2k1(k2)2ak1142kakk通2,則成立?？傻胊k12k1.11ai12i11(1)n2112注：上述證明(i)用到部分放縮,當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：ak1(k2)(k2k)1k3；證明(ii)就直接使用了部分放縮的結(jié)論ak12ak1。添減項(xiàng)放縮上述例5之法2就是利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行減項(xiàng)放縮的例子。例12設(shè)n1,nN,求證(2)n一3(n81)(n2)簡析2n觀祭（一）的結(jié)構(gòu)，注息到3(|)n(11.n一）,展開得2(12)n1121CnC22C3nn(n1)28(n1)(n2)65即（i(n1)(n2),得證.8

13、例13設(shè)數(shù)列4滿足&2,an19n1,2,).(I)證明anJ2n1一切正整數(shù)n成立；（n）令bnan/、,n(n1,2,）,判定bn與bn1的大小，并說明理由04年重慶卷理科第（22）題）簡析本題有多種放縮證明方法，這里我們對(duì)（I）進(jìn)行減項(xiàng)放縮，有用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）2ak1ak2k122(k1)2an12ana2a22,k1,2,n1.則a2a；2(n1)a22n2nan利用單調(diào)性放縮1.構(gòu)造數(shù)列如對(duì)上述例1,令TnSn(n1)22則Tn1Tn.(n1)(n2)2n3TnTn1,Tn遞減，有TnT1,220,故Sn(n1)22再如例5,令1(11)(13)(115)2n2n

14、即TnTn1,Tn遞增，有TnT1得證!Tn注：由此可得例5的加強(qiáng)命題（11)(1i)(1造成為探索性問題:求對(duì)任意n1使（1i）（i1）（11）3512n1(1-2n2封,27.并可改3）k、2n1恒成立的正整數(shù)k的最大值;2.構(gòu)造函數(shù)同理可得理科姊妹題的加強(qiáng)命題及其探索性結(jié)論,讀者不妨一試!例14已知函數(shù)f(x)ax32-x的最大值不大于二，又當(dāng)x6117*(x)/I)求a的值；（n）設(shè)0a11一,an2f(an),nN,證明an解析(I)a=1；(n)由an1f(an),得an1an1n1322an（04年遼寧卷第3,1.2二(an二)2321題）且an0.用數(shù)學(xué)歸納法（只看第二步）：a

15、k1f（ak）在ak（0,工）是增函數(shù),k1則得akif(ajf(-)3()2.k1k12k1k21a例15數(shù)列Xn由下列條件確te：整a0,xn1xn,n2Xn證明：對(duì)n 2總有Xn 點(diǎn);題)解析構(gòu)造函數(shù)f (x)-2一， 1當(dāng) n k 1 時(shí) xk 1 21X(II)有 xnxn 12(II)證明：對(duì)n 2總有xn ax a ,易知 f(x)在Ja, xxk 在Va,)遞增故 xkxn ，構(gòu)造函數(shù)f (x) xxn 1 (02年北京卷第(19)是增函數(shù)。xk 1f (. a) . a.-x a ,它在ja,)上2 x是增函數(shù)，故有xn xn 11a-xn 一2xnf(v'a) 0,

16、得證。注：本題有著深厚的科學(xué)背景：是計(jì)算機(jī)開平方設(shè)計(jì)迭代程序的根據(jù)；同時(shí)有).著高等數(shù)學(xué)背景一數(shù)列xn單調(diào)遞減有下界因而有極限：anJa(nf(x)1xa是遞推數(shù)列xn.1xn的母函數(shù)，研究其單調(diào)性n1n2x2xn對(duì)此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。五換元放縮例16求證1&'n1.；2(nN,n2).,n1簡析令anVn1hn,這里hn0(n1),則有n(1hn)nn(n1)hn20hn，2(n1),從而有1an1hn12n1,n1注：通過換元化為哥的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。例17設(shè)a1,n2,nN,求證ann(a1).4簡析令ab1

17、,則b0,a1b,應(yīng)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行部分放縮有an(b1)nC0bnC；bn1Cnbn2CnnC：bn2nb2，注意到22.22n2nN,則n(n1)b21b-(證明從略)，因此ann(aD244六遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例11中利用(i)部分放縮所得結(jié)論ak12ak111一進(jìn)行遞推放縮來證明(ii),同理例7(II)中所得lnan1lnan-21和nn2n1111ln(an11)ln(an1)、例8中、例13(1)之法2所得n(n1)anan1n22ak1ak2都是進(jìn)行遞推放縮的關(guān)鍵式。七轉(zhuǎn)化為加強(qiáng)命題放縮如上述例11第(ii)問所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我

18、們可以通過從特值入手進(jìn)行歸納探索、或運(yùn)用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題:111 ai 1 a2111-r.再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強(qiáng)命題，就容易多了1an22（略）。例18設(shè)0a1,定義a1aan1a,求證：對(duì)一切正整數(shù)n有a。1.I,n1nan解析用數(shù)學(xué)歸納法推nk1時(shí)的結(jié)論an11,僅用歸納假設(shè)ak1及遞推式1ak1a是難以證出的，因?yàn)閍k出現(xiàn)在分母上！可以逆向考慮:akak 11a ak1ak1T_故將原問題轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題: .a對(duì)一切正整數(shù)n有1an，.（證明從略）1 a例19數(shù)列Xn滿足x11,xn1xn”證明X20011001.（01年中國西部數(shù)2 n2學(xué)奧林匹克試題）簡析將問題一般化：先證明其加強(qiáng)命題Xn口.用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步：22Xk1Xk粵KA（K）2k1LJ因此對(duì)一切XN有Xn工k2k22422八分項(xiàng)討論例20已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和s滿足Sn2an（1）n,n1.（I）寫出數(shù)列an的前3項(xiàng)a,a2,a3；（n）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（出）證