數(shù)列通項公式的求法(較全)

1、常見數(shù)列通項公式的求法公式：”等差額列的定義乙修一=d（冷士工）等差額列的通項公式4=岡-5-1艮等差數(shù)列'等差蚣列的求和公式工=算-凡）=呼+小；1小等差數(shù)列的性質(zhì)-4=口.+口+昨=p+G等比數(shù)列的圭文工三且5之冷等比數(shù)列的選項公式4=%?"-士一盤：M二-；：'J,事j等比數(shù)列的求和公式=一鼻鼻用“.髀皿孝=1）等比數(shù)列的性所=affam+k=j?+）1、定義法若數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,求通公式項時,只需求出a1與d或a1與q,再代入公式ana1n1d或anaqn1中即可.例1、成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列b

2、n的b3241b5,求數(shù)列bn的的通項公式.、“一.、.*.練習(xí)：數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，數(shù)列cn中對于任何nN都有,八127cnanbn,c10,c2,c3,c4一，分力1J求出此二個數(shù)列的通項公式69542、累加法形如an1anfn已知a1型的的遞推公式均可用累加法求通項公式.(1) 當(dāng)fnd為常數(shù)時，an為等差數(shù)列，則ana1n1d；(2) 當(dāng)fn為n的函數(shù)時，用累加法.方法如下：由an1anfn得當(dāng)n2時，anan1fn1,an1an2fn2+*a3a2f2a2alf1，以上n1個等式累加得ana1fn1+fn2|f2f1ana1fn1+fn2|f2f1(3)已知a1,

3、an1anfn,其中fn可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項.若fn可以是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；若fn可以是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和；若fn可以是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；若fn可以是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和求和.例2、數(shù)列an中已知a11,an1an2n3,求an的通項公式.練習(xí)1：已知數(shù)列 an滿足an 1an 3n2且a12,求an.練習(xí)2：已知數(shù)列an 中，a1 1,an 1 an3n 2n ,求an的通項公式.1練習(xí)3：已知數(shù)列an滿足a1-,an 121an -，求求an的通項公式n n3、累乘

4、法an 1形如anf n已知a1型的的遞推公式均可用累乘法求通項公式給遞推公式an 1f n , n N 中的n依次取1,2,3 ,n 1,可得到下面n 1個式子:an辿f1,%f2,包f3,|,凡fn1.aa?a3an1利用公式an©亙a3亙“I旦，an0,nN可得:aa2a3r1an1ana1f1f2f3|fn1.2n、例3、已知數(shù)列an滿足a1-,an1an求an.3n1，an2練習(xí)1：數(shù)列an中已知a11,求an的通項公式ann2nan an 1an 0 ,求 an的通項公式練習(xí)2：設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列，且(n1)a214、奇偶分析法(1)對于形如an1anfn型的遞推

5、公式求通項公式當(dāng)an1andd為常數(shù)時，則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2,其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論.當(dāng)fn為n的函數(shù)時，由an1anfn,anan1fn1兩式相減，得到an+1an1fnfn1,分奇偶項來求通項.例4、數(shù)列an滿足a11,an1an4,求an的通項公式.練習(xí)：數(shù)列an 滿足a16, an 1an6 ，求an 的通項公式例5、數(shù)列an滿足a10,an1an2n，求an的通項公式練習(xí)1:數(shù)列an滿足a11,an1ann1，求an的通項公式練習(xí)2：數(shù)列an滿足a12,an1an3n1，求an的通項公式（2）對于形如an1anfn型的遞推公式求通項公式當(dāng)an1and

6、d為常數(shù)時，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2,其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論.afn.當(dāng)fn為n的函數(shù)時，由an1anfn,anan1fn1兩式相除，得到1,分奇偶項an1fn1來求通項.例6、已知數(shù)列斗滿足a12,an1an4,求an的通項公式.2練習(xí)：已知數(shù)列斗滿足a1?an1an2,求斗的通項公式.例7、已知數(shù)列滿足a13,an 1 an1n,求2an的通項公式.練習(xí)1：數(shù)列an滿足a2,anian3n，求an的通項公式練習(xí)2：數(shù)列an滿足ai1,anian2n，求an的通項公式5、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）若給出條件直接求an較難，可通過整理變形等從中構(gòu)造出一個等差或等比數(shù)列，

7、從而根據(jù)等差或者等比數(shù)列的定義求出通項.常見的有：an1panqp,q為常數(shù)anitpant，構(gòu)造ant為等比數(shù)列.anaton1td為常數(shù)兩邊同時除以pn1包a_tgan1pantpt,pyj也刈n1ntpp-、an1pantqn1t,p,q為常數(shù)兩邊同時除以pn1引衛(wèi)3t,再參考類型1qqqan1panqnrp,q,r是常數(shù)an1n1pannan2pan1+qanan2tHn1pHn1tHn，構(gòu)造等比數(shù)列Hn1tHn1.練習(xí)：已數(shù)列an中，ai1且ani-an1,則an.2例9、已知數(shù)列an中，a13,an13an3n1,求4的通項公式練習(xí)1：已知數(shù)列an中，a13,an2an12n,則a

8、n.2n練習(xí)2：已知數(shù)列an中，a1-,an13an43,求an的通項公式3例10、已知數(shù)列an滿足an16an2n1,a11,求an.5練習(xí)2：已知數(shù)列an中，a1-,an13an，求 an.6例11、數(shù)列an中已知a1 1,an 1 2an3n,求an的通項公式.練習(xí)3：已知數(shù)列annN的滿足：a1n1113k,an4n13an1n2,k,k4n(1)判斷數(shù)列an是否成等比數(shù)列;7(2)求數(shù)列an的通項公式練習(xí)1：數(shù)an中已知a12,an13ann2,求an的通項公式練習(xí)2：數(shù)an中已知a12,an123an2nn2,求an的通項公式2an 1+3an 2 n 3 ，求 求 an 的通項公

9、式例12、已知數(shù)an中，a15,a22,an練習(xí)1：已知數(shù)列an中，a11,a22,an+22二an+131+-an,求求an的通項公式.3練習(xí)2：在數(shù)列an中，a1 1, a235an2一an,令bnan1ano3(1)求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列，并求bn。(2)求數(shù)列an的通項公式。6、利用an與Sn的關(guān)系a1n1如果給出條件例13、已知數(shù)列強(qiáng)an與Sn的關(guān)系式,可利用an求解.SnSni,n2an的前n項和為Snn22n3,求an的通項公式練習(xí)1:已知數(shù)列12八,一y一、an的刖n項和為Sn-nn3,求an的通項公式4練習(xí)2:若數(shù)列的前n項和為Sn3an3,求an的通項公式2練習(xí)3:已知數(shù)

10、列an前n項和Sn41n-2,求an的通項公式.2n7、倒數(shù)法(1) an 1pan1qanp=1q,構(gòu)造p1qanpan1panananpan1qant=t1qqantan1panpanpan1是等差數(shù)列例14、已知數(shù)列an滿足ai=1,an2an3anan的通項公式.練習(xí)：已知數(shù)列an中,a13,an1an12an，則an例15、已知數(shù)列an滿足a1二1,an2an13an1an的通項公式.練習(xí)：已知數(shù)列an中，a12anan，則an8、an1panp0,an0兩邊取對數(shù)lgan1lgprlgan,轉(zhuǎn)化為an1panq型例16、已知數(shù)列an中，ai100自110a2,求an3練習(xí)：已知數(shù)列an中，ai2,ani225求2門9、其他例17、已數(shù)列an中，a11,an1anan1an,則數(shù)列通項ani，例18、在數(shù)列an中，a1=1,n>2時，an、Sn、S成等比數(shù)列2(1)求a2,a3,a4；(2)求數(shù)列an的通項公式.例19、已知在等比數(shù)列an中，a11,且a2是&和a31的等差中項(1)求數(shù)列