數(shù)列的通項(xiàng)與求和

1、數(shù)列的通項(xiàng)與求和一求數(shù)列的通項(xiàng)的一般方法、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫(xiě)出通項(xiàng)。、二、公式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。例2已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式，求的通項(xiàng)公式.（1）. （2）點(diǎn)評(píng)：利用公式求解時(shí)，要注意對(duì)n分類討論，但若能合寫(xiě)時(shí)一定要合并、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有

2、時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例3. 已知數(shù)列滿足，求。類型2 遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4. 已知數(shù)列滿足，求。變式：已知， ，求。類型3 遞推式：解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來(lái)的差異類型 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。類型 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)）解法：該類型較類型要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型的

3、方法解決。例5數(shù)列a滿足a=1，a=a+1（n2），求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。變式：數(shù)列a滿足a=1，,求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。例6. 已知數(shù)列中，,，求。變式：已知數(shù)列滿足， ，求點(diǎn)評(píng)：遞推式為（p、q為常數(shù)）時(shí)，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型取倒數(shù)法有些關(guān)于通項(xiàng)的遞推關(guān)系式變形后含有項(xiàng)，直接求相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出。例7、已知數(shù)列，= ， ，求變式、已知數(shù)列滿足，且（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、數(shù)列求和的方法（1）公式法：等差數(shù)列：；等比數(shù)列：； （2）錯(cuò)位相減法:這是推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式時(shí)所使用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前項(xiàng)

4、和，其中分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。（3）倒序相加法將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排序，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。（4）分組求和法數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列時(shí)，但它可以通過(guò)適當(dāng)拆分，分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，即能分別求和，然后再合并。（5）裂項(xiàng)法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，其實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的某些項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。常見(jiàn)的裂項(xiàng)法有：數(shù)列是等差數(shù)列，（6）其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法，并項(xiàng)求和法等1分組與公式法求和：例1已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x13，通項(xiàng)xn2npnq(nN*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求：(1)p，q的值；(2)數(shù)列xn前n項(xiàng)和Sn的公式2錯(cuò)位相減法求和例2.(2013·唐山統(tǒng)考)在等比數(shù)列an中，a2a332，a532.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，求S12S2nSn.3.裂項(xiàng)相消法求和例3。已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Snnann(n1)(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.本例