常微分方程平衡點及穩(wěn)定性研究

1、摘 要本文給出了微分方程穩(wěn)定性的概念,并舉了一些例子來說明不同穩(wěn)定性定義之間的區(qū)別和聯(lián)系。這些例子都是通過求出方程解析解的方法來討論零解是否穩(wěn)定。在實際問題中提出的微分方程往往是很復雜的,無法求出其解析解,這就需要我們從方程本身來判斷零解的穩(wěn)定性。所以我們討論了通過穩(wěn)定性定理來判斷自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性，并用類似的方法討論了非自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性。在此基礎上，討論了一階和二階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性，這對其研究數(shù)學建模的穩(wěn)定性模型起到很大的作用,并且利用相關的差分方程的全局吸引性研究了具時滯的單種群模型的平衡點的全局吸引性,所獲結(jié)果改進了文獻中相關的結(jié)論。關鍵詞：自治系統(tǒng) 平衡點 穩(wěn)定性 全局

2、吸引性AbstractIn this paper,we gived the conceptions of differential equationstability.Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability

3、of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability o

4、f zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive

5、 equilibrium of the following delay single population model is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability

6、;global attractivity目 錄摘要IAbstractII目錄I第1章引言1第2章微分方程平衡點及穩(wěn)定性分析32.1 平衡點及穩(wěn)定性定義32.2 自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性42.2.1 函數(shù)42.2.2 穩(wěn)定性定理52.3 非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性82.3.1 函數(shù)和類函數(shù)82.3.2 零解的穩(wěn)定性102.4 判定一階微分方程平衡點穩(wěn)定性的方法142.4.1 相關定義142.4.2 判定平衡點穩(wěn)定性的方法142.5 判定二階微分方程平衡點穩(wěn)定性的方法152.5.1 相關定義152.5.2 判定平衡點穩(wěn)定性的方法15第3章一類時滯微分方程平衡點的全局吸引性173.1 差分方程(3-7)的全局漸

7、近穩(wěn)定性173.2 微分方程(3-1)的全局吸引性19第4章常微分方程穩(wěn)定性的一個應用23第5章結(jié)論25參考文獻27致謝29第1章 引言20世紀以來，隨著大量的邊緣科學諸如電磁流體力學、化學流體力學、動力氣象學、海洋動力學、地下水動力學等等的產(chǎn)生和發(fā)展，在自然科學（如物理 化學 生物 天文）和社會科學（如工程 經(jīng)濟 軍事）中的大量問題都可以用微分方程來描述，尤其當我們描述實際對象的某些特性隨時間（空間）而演變的過程，分析它的變化規(guī)律，預測它的未來形態(tài)時，要建立對象的動態(tài)模型，通常要用到微分方程模型，而穩(wěn)定性模型的對象仍是動態(tài)過程，而建模的目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢、平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定

8、。穩(wěn)定性模型不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。20世紀5060年代，在美國貝爾曼(RBellman)、萊夫謝茨(SLefschetz)及拉薩爾(JPLaSalle)等的大力介紹和推動下，穩(wěn)定理論在世界范圍內(nèi)迅速發(fā)展起來。在中國，則在秦元勛、張學銘、許淞慶等的大力提倡下，形成一支可觀的研究隊伍。葉魯金等研究李雅普諾夫第1方法中一次近似系統(tǒng)特征數(shù)與穩(wěn)定性保持問題的關系，并進一步探討特征數(shù)的性質(zhì)與計算等。50年代馬爾金提出特征數(shù)的穩(wěn)定性問題，貝洛夫等則研究了最大、最小特征數(shù)的上、下穩(wěn)定性和特征數(shù)的重合等問題。對于李雅普諾夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普諾夫穩(wěn)定性條件。提出

9、了一致穩(wěn)定性等概念，建立了著名的切塔也夫不穩(wěn)定定理。同時研究了李雅普諾夫穩(wěn)定性條件的必要性。通過分類并應用微分方程的解構(gòu)造V函數(shù)，基本上解決了各種穩(wěn)定性定理的逆問題。關于穩(wěn)定性定理條件的研究，除了個別條件的削弱，例如定號性的減弱等條件之外，最有名的是向量李雅普諾夫函數(shù)和微分不等式比較方法的引入。60年代貝爾曼和馬特洛索夫通過向量V函數(shù)將微分方程穩(wěn)定性的研究轉(zhuǎn)化為以V函數(shù)為自變量的另一微分方程的正解的穩(wěn)定性的研究。李雅普諾夫定義的穩(wěn)定性原是局部性質(zhì)的概念，在實際應用中往往要考慮全相空間的情形。50年代初巴爾巴辛和克拉索夫斯基引進了無限大函數(shù)的概念把李雅普諾夫定理推廣到全空間，建立了全局穩(wěn)定性理論

10、。其結(jié)果后來廣泛應用于自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)、電力系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)中。早在60年代，拉薩爾便應用拓樸動力系統(tǒng)的極限集概念建立了“不變性原理”。用李雅普諾夫函數(shù)刻劃微分方程解的極限集位置。70年代以來，不變性原理用于全局穩(wěn)定性的各種研究。從力學問題中還提出了部分變元穩(wěn)定性概念。通過對V函數(shù)條件的改進也得到了部分變元穩(wěn)定性的有關定理。70年代以來，穩(wěn)定性理論得到了進一步的發(fā)展。除了5060年代發(fā)展起來的控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性、臨界情形穩(wěn)定性、向量李雅普諾夫函數(shù)和比較方法等繼續(xù)得到發(fā)展外，在科學技術(shù)發(fā)展的推動下還提出了若干新的問題和方法。同時，穩(wěn)定性理論與方法，已廣泛地滲透到其他學科中去。李雅普諾夫方法已不限于研

11、究穩(wěn)定性問題，也可應用于研究解的有界性、振動性等。吉澤太郎(TYoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的穩(wěn)定性、有界性。同時，利用李雅普諾夫函數(shù)研究周期解、概周期解的存在性。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論與方法已滲透到各類學科中去。對動力系統(tǒng)、泛函微分方程、隨機微分方程、微分積分方程、含脈沖系統(tǒng)及偏微分方程建立了相應的穩(wěn)定性理論。李雅普諾夫特征數(shù)在渾沌(Chaos)和分形(Fractals)研究中也起著重要作用。今后，穩(wěn)定性理論將繼續(xù)在新技術(shù)的應用中發(fā)揮作用，并在控制理論、偏微分方程、微分積分方程等學科中得到發(fā)展。同時，動力系統(tǒng)理論、非線性科學的發(fā)展和電子計算機的應用將為穩(wěn)定性理論的發(fā)展開拓新的方向

12、。第2章 微分方程平衡點及穩(wěn)定性分析2.1 平衡點及穩(wěn)定性定義初始值的微小變化對不同系統(tǒng)的影響不同。例如初始值問題，(2-1)的解為.是(2-1)的一個解，我們稱它為零解。當時，無論多小，只要，當時，總有，即初始值的微小變化會導致解的誤差任意大；而當時，與零解的誤差不會超過初始誤差，且隨著的增加很快就會消失，所以當很小時，與零解的誤差也很小。這個例子表明時(2-1)的零解是“不穩(wěn)定的”，而當時(2-1)的零解是“穩(wěn)定”的。下面我們就給出微分方程零解穩(wěn)定的嚴格定義。設微分方程，(2-2)滿足解的存在惟一性定理的條件，其解的存在區(qū)間是，還滿足條件(2-3)(2-3)保證是(2-2)的解，我們稱它為

13、零解。定義2.1 若對任意給定的，都能找到，使得當時(2-2)的解滿足，(2-4)則稱(2-2)的零解是穩(wěn)定的，否則稱(2-2)的零解是不穩(wěn)定的。注1(2-2)零解穩(wěn)定的意義是對任意給定的半徑，總能在中找到一個以原點為中心、半徑為的開球，使得(2-2)在時刻從出發(fā)的解曲線當時總停留在半徑為的開球內(nèi)。注2 (2-2)的零解不穩(wěn)定的數(shù)學描述是至少存在一個，使得對任意的，在開球內(nèi)至少有一個點和一個時刻，使得注3 對(2-2)的任何一個解都可以定義穩(wěn)定性。事實上，若是(2-2)的一個解，為了考察其他解和它的接近程度，我們就可以令，帶入(2-2)得 (2-5)這樣一來，(2-2)解的穩(wěn)定性就轉(zhuǎn)化為(2-

14、2)零解的穩(wěn)定性。所以在本文的討論中，我們僅研究(2-2)零解的穩(wěn)定性。定義2.2設是中包含原點的一個開區(qū)域，對所有和任意給定的，總能找到一個，使得當時，有成立，我們就稱是(2-2)零解的一個吸引域，這時稱(2-2)的零解是吸引的。是(2-2)零解的一個吸引域，更簡單的描述是對所有，均有.即從中出發(fā)的解趨于。定義2.3 若(2-2)的解釋穩(wěn)定的，又是吸引的，則稱(2-2)的零解是漸近穩(wěn)定的；如果(2-2)的零解的吸引域是整個，則稱(2-2)的零解是全局漸近穩(wěn)定的。定義2.4 若定義2.1中的與無關，則稱(2-2)的零解是一致穩(wěn)定的；若定義2.2中的與和無關，則稱(2-2)的零解是一致吸引的；若

15、(2-2)的零解是一致穩(wěn)定和一致吸引的，則稱(2-2)的零解是一致漸近穩(wěn)定的。定義2.5 若有正數(shù)，對任意給定的，有，使得當時有則稱(2-2)的零解是指數(shù)漸近穩(wěn)定的。2.2 自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性前面給出了微分方程穩(wěn)定性的概念，并舉了一些例子來說明不同穩(wěn)定性定義之間的區(qū)別和聯(lián)系。這些例子都是通過求出方程解析解的方法來討論零解是否穩(wěn)定。在實際問題中提出的微分方程往往是很復雜的，無法求出其解析解，這就需要我們從方程本身來判斷零解的穩(wěn)定性，直接方法就是解決這一問題的有效途徑。這一節(jié)中我們先引入函數(shù)的定義，然后再給出穩(wěn)定性定理。函數(shù)設函數(shù)在中原點的某鄰域中有定義，在中連續(xù)可微，且滿足。定義2.6 若除原

16、點外對所有均有，則稱為正定函數(shù)(負定函數(shù))；若對所有均有，則稱為半正定函數(shù)或常正函數(shù)(半負定函數(shù)或常負函數(shù))；若中原點的任一鄰域內(nèi) 既可取正值，也可取負值，則稱為變號函數(shù)。例如，是中的正定函數(shù)，是中的半正定函數(shù)，而是中的變號函數(shù)。由定義2.6看出，正定時必是半正定的。另外正定和半正定與空間的維數(shù)和鄰域的大小有關。例如是中的正定函數(shù)，而它在中僅是半正定的。利用化為極坐標的方法可以看出，函數(shù)在中的區(qū)域中是正定函數(shù)，而在中卻不是正定函數(shù)。最常用的函數(shù)是二次型，因為二次型的表達式簡單，其符號類型可以利用線性代數(shù)中有關的特征值理論來判定，且一些復雜的函數(shù)往往可以通過對二次型的修改得到。一般函數(shù)的符號判斷

17、十分困難，通常是把在原點展開為級數(shù)其中，分別是的次、次齊次函數(shù)，根據(jù)展開式中的最低次項，在許多情況下就可以確定在原點鄰域內(nèi)的符號。對正定函數(shù)，容易證明當充分小時，是中包圍原點的閉曲面，且隨著趨于零，縮向坐標原點。事實上，由正定函數(shù)的定義可知，在內(nèi)的閉曲面上，有正的下界，當時，在連接原點與任一點的任一條連續(xù)曲線的線段上至少有一點，使，所以是包圍原點的閉曲面。穩(wěn)定性定理設維自治微分方程(2-6)的解為。為了研究(2-6)解的穩(wěn)定性，考察隨時間變化時的變化情況。將視為的復合函數(shù)，關于求導得(2-7)(2-7)為函數(shù)沿著(2-7)軌線的全導數(shù)。定理2.1 若有原點的鄰域和一個正定(負定)函數(shù)，使得是半

18、負定(半正定)的，則系統(tǒng)(2-6)的零解是穩(wěn)定的；且使得負定(正定)時，(2-6)的零解是漸近穩(wěn)定的。定理2.1的幾何意義是函數(shù)正定時，是包圍原點的閉曲面族，且隨著的減少而縮向原點。當全導數(shù)半負定時，在時過的軌線上，的值不會增加，(2-6)的軌線只能停留在內(nèi)，所以原點是穩(wěn)定的。當負定時，原點鄰域內(nèi)(2-6)的軌線不斷跑向閉曲面族中更小的一個閉曲面，最終趨于原點，所以(2-6)的零解是漸近穩(wěn)定的。該幾何意義也正是我們證明定理2.1的基本思想。證 設正定，對任意給定的(不妨假設閉球在中)，取，則當時，的點必全部位于原點的鄰域內(nèi)。由的連續(xù)性知，必有，使得當時。由于，當時，對一切有，所以，當時，。這就

19、說明了半負定時，(2-6)的零解時穩(wěn)定的。當負定時，(2-6)的零解穩(wěn)定，只要，即可證明(2-6)的零解漸近穩(wěn)定。利用反證法，設(2-6)的零解不是漸近穩(wěn)定的，則至少有一個從上述原點的鄰域內(nèi)某點出發(fā)的解，使得。由于負定，故單調(diào)下降，從而由的正定性知必有，且時。由的連續(xù)性知，必存在，使得時。又由于是負定的，必有，在區(qū)域內(nèi)，由(2-7)式得，(2-8)對(2-8)式兩邊積分得 (2-9)(2-9)表明，這與矛盾。故(2-6)的零解是漸近穩(wěn)定的。例2.1 討論系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性解令，將該方程化為等價的微分方程組(2-10)令，顯然是正定函數(shù)，容易求得沿(2-10)軌線的全導數(shù)為，它是負定函數(shù)，由定理2

20、.1知該系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的。應當注意，如果取，那么，所求得的，是半負定的，由定理2.1只能得到(2-10)的零解穩(wěn)定這一結(jié)論，得不到漸近穩(wěn)定性。這表明構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)是非常重要的。當一個系統(tǒng)的零解事實上是漸近穩(wěn)定時，我們有可能構(gòu)造出函數(shù)用定理2.1來證明零解是漸近穩(wěn)定的。也可能所構(gòu)造出函數(shù)僅能證明零解是穩(wěn)定的，也可能構(gòu)造不出函數(shù)，連零解的穩(wěn)定性也無法得到。例2.1也提示我們在證明零解漸近穩(wěn)定時，負定這一條件有可能再補充其他條件后削弱為半負定，這就是下面的定理2.2，它降低了負定這一條件，給出了判定漸近穩(wěn)定性的又一結(jié)果。定理2.2 設在原點的鄰域內(nèi)存在正定函數(shù)1，它沿著(2-6)軌線的全導數(shù)是

21、半負定的，如果集合內(nèi)除原點外，不在包含系統(tǒng)的其他軌線，則(2-6)的零解是漸近穩(wěn)定的。證 由定理2.1知，在定理2.2的條件下(2-6)的零解是穩(wěn)定的。于是對給定的(不妨假設含在內(nèi))，可以找到，使得時，(2-6)滿足的解；當時滿，且由易見是的單調(diào)非增有界函數(shù)，故必有極限，令由于的正半軌有界，故它的極限非空，若，則，.這表明，從而有。由于是由(2-6)的整條軌線組成，而在中除外不再包含(2-6)的其他軌線，故有。于是有。零解的漸近穩(wěn)定性得證。例2.2 討論非線性振動系統(tǒng)(2-11)零解的漸近穩(wěn)定性。其中和都是連續(xù)函數(shù)，且滿足下列條件(1) ，(2) 解 選取，由條件(1)知，是正定函數(shù)。計算沿著

22、(2-11)的軌線的全導數(shù)得.由(2)知是半負定的。又因為集合由(2-11)可見時，滿足方程組的解必有，從而集合內(nèi)除外不再包含(2-11)的其他軌線，所以(2-11)的零解是漸近穩(wěn)定的。2.3 非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性這一節(jié)研究非自治系統(tǒng)(2-12)零解的穩(wěn)定性問題，將建立與上一節(jié)類似的定理。函數(shù)和類函數(shù)設，是中包含閉球的一個鄰域，是上定義的連續(xù)可微函數(shù)，是上定義的連續(xù)可微函數(shù)。定義2.7 若有正定(負定)函數(shù)，使得在上成立，且，則稱是上的正定(負定)函數(shù)。若，則稱是半正定函數(shù)(半負定函數(shù))。注:分析定理2.1的證明過程，不難發(fā)現(xiàn)，正定(負定)函數(shù)下述性質(zhì)是證明的關鍵所在，即時， (時)。對于而言，

23、若僅要求，則上述性質(zhì)不一定能保持。例如。這就是為什么要通過的正定性來定義正定的原因。例如是的正定函數(shù)，而僅是半正定函數(shù)。定義2.8 若是的正定函數(shù)，且，則稱是上的無窮大正定函數(shù)。定義2.9 若有正定函數(shù)，使得，則稱具有無窮小上界；若有無窮大正定函數(shù)，使得，則稱具有無窮大下界。例如對，可以取，所以有，即是具有無窮小上界和無窮大下界的函數(shù)。函數(shù)具有無窮小上界的特征是當時，必有正數(shù)，使得，即充分小時，可以充分小。當時，這就等價于，連續(xù)。由此不難理解引入無窮小上界的原因。而具有無窮大下界的特征是當充分大時，可以任意大。定義2.10 設是的連續(xù)函數(shù)，且，嚴格單調(diào)遞增，則稱是類函數(shù)，記為。若還滿足，則稱為

24、無窮大類函數(shù)。類函數(shù)與正定函數(shù)、有無窮小上界的函數(shù)和有無窮大下界函數(shù)之間有著十分密切的關系。引理2.1 (1)是正定函數(shù)的充分必要條件是有，使得 (2-13)(2)若有，使得，則必是正定函數(shù)，反之亦真；(3) 若有，使得，則具有無窮小下界，反之亦真；(4)若有無窮大類函數(shù)，使得，則是具有無窮大下界的函數(shù)，反之亦真。證 由于引理2.1的(2)(4)又可以從定義和引理2.1的(1)直接推出，故在此僅證明(1)。若有，使得(2-13)成立，則顯然有和，故為正定函數(shù)，充分性得證。反過來，若是正定函數(shù)，則可以定義函數(shù)，由的正定性和連續(xù)性知，連續(xù)，且時，.又當時，當時，這表明是嚴格單調(diào)遞增的函數(shù)，且滿足.

25、同理可定義.按前面類似的過程可以驗證是滿足的類函數(shù)。所以(2-13)式成立，必要性得證。 零解的穩(wěn)定性設是上定義的連續(xù)可微函數(shù)，是(2-12)的解。定義沿著(2-12)解的全導數(shù)為利用前面給出的一些定義，可以得到下面關于零解穩(wěn)定性的定理。定理2.5 (1)若有正定函數(shù)，使得半負定，則(2-12)的零解穩(wěn)定；(2)若正定且有無窮小上界，半負定，則(2-12)的零解一致漸近穩(wěn)定。證 定理2.5證明思路是利用類函數(shù)的性質(zhì):當時必定有.其證明過程就是利用類函數(shù)的這些性質(zhì)對任意給出的尋找滿足相應穩(wěn)定性定義的，而給出時要反復利用引理3.1中函數(shù)與類函數(shù)的關系。(1)由于是正定函數(shù)，由引理2.1得，有類函數(shù)

26、，使得.()，由及的連續(xù)性知，必有，使得當時，.由于，故當時有由類函數(shù)的單調(diào)性知，.所以，(2-12)的零解是穩(wěn)定的。(2)當是具有無窮小上界的正定函數(shù)時，由引理2.1知，必有類函數(shù)和，使，取，當時，由得由類函數(shù)的單調(diào)性知，.故(2-12)的零解是一致穩(wěn)定的。(3)當正定，且有無窮小上界，負定時，由(2)知，(2-12)的零解一致穩(wěn)定，下面僅證明(2-12)的零解一致吸引。由引理2.1知，必有類函數(shù)，和，使得 (2-14)對任意給定的()，使得當時，對一切有.取.由于，故，且當時，所以是一個有限正數(shù)。由于對上式兩邊積分得即(2-15)再由的非負性和(2-14)，(2-15)得(2-16）所以當

27、，時，由(2-16)得(2-17)由得，再由上式得，最后由的單調(diào)性知，。是(2-13)零解的一致吸引域，故(2-13)的零解是一致漸近穩(wěn)定的。例2.3 討論方程 (2-18)零解的穩(wěn)定性。解 取沿(2-18)解的全導數(shù)為。因為，所以，是具有無限小上界的正定函數(shù)，半負定，由定理2.5知，(2-18)的零解是一致穩(wěn)定的。例2.4 討論(2-19)零解的穩(wěn)定性。解 取，顯然有。所以是具有無限小上界的正定函數(shù)，又因為即是負定的，所以由定理2.5知，(2-19)的零解是一致漸近穩(wěn)定的。例2.5 討論系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性解:根據(jù)定義平衡點為。1.間接法:用Mathematica數(shù)學軟件的Dsolve求解

28、功能解出系統(tǒng)的兩組解為:再用Mathematica數(shù)學軟件的Limit求極限討論系統(tǒng)解的變化趨勢，可以得出，當時，系統(tǒng)的解，所以為系統(tǒng)的穩(wěn)定的平衡點，為系統(tǒng)的不穩(wěn)定的平衡點2.直接法:根據(jù)上面的討論，研究系統(tǒng)在平衡點處的線性近似方程，有:在點處，系統(tǒng)的線性近似方程的系數(shù)矩陣為:故是系統(tǒng)的穩(wěn)定的平衡點；在點處，系統(tǒng)的線性近似方程的系數(shù)矩陣為:故是系統(tǒng)的穩(wěn)定的平衡點；在點處，系統(tǒng)的線性近似方程的系數(shù)矩陣為:故是系統(tǒng)的不穩(wěn)定的平衡點。2.4 判定一階微分方程平衡點穩(wěn)定性的方法 相關定義定義2.11右端不顯含自變量的微分方程稱為自治方程（自治系統(tǒng)） 在這里我們僅討論右端不顯含自變量的一階微分方程形如

29、(2-20)定義2.12 代數(shù)方程的實根稱為微分方程(2-20)的平衡點。定義2.13 從某鄰域的任意值出發(fā)，使方程(2-20)中的解滿足，則稱是漸近穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。 判定平衡點穩(wěn)定性的方法1.間接法: 從某鄰域的任意值出發(fā)，使方程(2-20)中的解滿足，則稱是漸近穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。這樣的判斷方法稱為間接法；2.直接法:不求方程式(2-20)的解的方法，成為直接法。方法:將在處作泰勒展開，只取一次項，有微分方程(2-20)可近似為 (2-21)稱為(2-20)的近似線性方程也是(2-21)的平衡點， (2-21)式的解為 (2-22)因為，所以有下列定理定理2.6 關于方程(2-

30、20)的平衡點的穩(wěn)定性，有如下結(jié)論:1.若，則稱為方程(2-21)和(2-22)的穩(wěn)定的平衡點2.若，則稱為方程(2-20)和(2-22)的不穩(wěn)定的平衡點例2.6 討論Logistic模型的平衡點的穩(wěn)定性解:1.間接法:根據(jù)定義2，Logistic模型的兩個平衡點為:，模型的解為:，則根據(jù)定義2.13，當時，總有，則平衡點是穩(wěn)定的平衡點，平衡點是不穩(wěn)定的平衡點2.直接法:，則有，則，則根據(jù)定理2.6，是不穩(wěn)定的平衡點；是穩(wěn)定的平衡點分析:從平衡點的穩(wěn)定性來看，隨著時間的推移，人口的增長在處趨于穩(wěn)定，也就是人口達到了自然資源和環(huán)境條件所容納的最大人口數(shù)量.符合Logistic模型的假設2.5判定

31、二階微分方程平衡點穩(wěn)定性的方法 相關定義定義2.14右端不顯含自變量的微分方程組 (2-23)是二階自治方程（系統(tǒng)），二階方程可以表示為兩個一階方程組定義2.15代數(shù)方程組的實根組成的點稱為自治系統(tǒng)(2-23)的平衡點或奇點。定義2.16對于自治系統(tǒng)(2-23)的平衡點若以所有可能的初始條件出發(fā)的解，滿足，則稱平衡點穩(wěn)定；否則稱不穩(wěn)定。 判定平衡點穩(wěn)定性的方法為了用直接法討論系統(tǒng)(2-23)平衡點的穩(wěn)定性，要先研究線性常系數(shù)微分方程組 (2-24)的平衡點及其穩(wěn)定性。是(2-24)式的唯一的平衡點，它的特征方程是，則(2-24)式的特征根為，(2-24)式的一般解的形式為或，所以根據(jù)穩(wěn)定性的定

32、義2.16可得下列定理定理2.7:關于(2-24)的平衡點的穩(wěn)定性，有如下結(jié)論:1.若且，則(2-24)式的平衡點穩(wěn)定；2.若或，則(2-24)式的平衡點不穩(wěn)定；那么對于系統(tǒng)(2-23)式平衡點的穩(wěn)定性，也是用線性近似方法來判斷，將在點處作泰勒展開，只取一次項，得(2-23)在的線性近似方程為:(2-25)微分方程(2-25)的討論跟(2-24)是一樣的，并且有下列的結(jié)論成立 :在非臨界的情況下（即），(2-23)平衡點的穩(wěn)定性與(2-24)式平衡點的穩(wěn)定性相同，而在臨界的條件下（），二者可以不一致，比如說，線性近似方程的平衡點為中心時，要用其它的方法來判斷(2-23)平衡點的穩(wěn)定性。第3章

33、一類時滯微分方程平衡點的全局吸引性考慮單種群增長模型一階非線性時滯微分方程(3-1)及初始條件(3-2)其中(3-3)方程(3-3)詳細的生物學意義和研究該方程的實際作用。當時，方程(1)退化為下述著名的Logistic微分模型(3-4)方程(3-4)解的各種性態(tài)已被廣泛研究。Kuang，Zhang和Zhao研究了方程(3-1)和(3-2)解的有界性和全局吸引性，證明了:如果(3-5)且存在和使得(3-6)則(3-1)與(3-2)的每個整體解(存在區(qū)間為0，)趨向1。在此首先研究與方程(3-1)相關的一個差分方程 (3-7)的平衡點的全局漸近穩(wěn)定性，其中 (3-8)然后應用于方程(3-1)，獲

34、得其平衡點全局吸引(即所有解趨向1)的充分條件，該條件改進了(3-6)式。3.1 差分方程(3-7)的全局漸近穩(wěn)定性引理3.1 假設條件(3-8)成立， (3-9)則方程(3-7)有唯一平衡點。引理3.2 假設條件(3-8)和(3-9)成立，定義映射(3-10)則映射將區(qū)間映為。引理3.1、3.2容易直接驗證，詳細證明略。引理3.3 假設條件(3-8)和(3-9)成立，則方程(3-7)的平衡點是局部漸近穩(wěn)定的。證 方程(3-7)在平衡點處線性化方程為，當時，由線性化穩(wěn)定性理論知方程(3-7)的平衡點是局部漸近穩(wěn)定的，當時，g(x)在處的Schwarzian導數(shù)是漸近穩(wěn)定的，(3-7)的平衡點亦

35、是局部漸近穩(wěn)定的，證畢。引理3.4假設(i)將某個區(qū)間 I映到自身；(ii)是在上唯一不動點；(iii)在上的Schwarzian導數(shù)為負；(iv)在上單調(diào)遞減。如果差分方程 (3-11)的平衡點是局部漸近穩(wěn)定的，則也是全局漸近穩(wěn)定的。定理3.1 假設條件(3-8)和(3-9)成立，則方程(3-7)的平衡點在區(qū)間上是全局漸近穩(wěn)定的。證 設映射g如(3-10)式所令，只需驗證g在區(qū)間上的Schwarzian導數(shù)為負，事實上，對于任一，g(x)的Schwarzian導數(shù)為證畢。3.2 微分方程(3-1)的全局吸引性下面的定理2討論了(3-1)和(3-2)解的有界性定理3.2 假設條件(3-3)成立

36、且(3-12)則初值問題(3-1)和(3-2)的解滿足(3-13)證 當(3-3)成立時易證(3-1)和(3-2)的所有解。令，則(3-1)變換為 (3-14)相應的初始條件變換為 (3-15)其中，下證(3-16)如果(3-16)式不成立，由(3-15)知存在，使得因此，由(3-14)知，如果，則從到積分(3-14)式得如果，則從0到積分(3-14)式得上述兩種情況均與假設矛盾，所以(3-16)式成立，從而(3-13)式成立。證畢。最后給出(3-1)和(3-2)的平衡點全局吸引的一個充分條件。定理3.3 假設條件(3-3)和(3-5)成立，且 (3-17)則(3-1)和(3-2)的每個解趨向

37、1。證 由(3-17)式知存在，使得 (3-18)由定理2推知，令，則方程(3-1)變換為方程（3.14），且。下證即可。若非振動，則由（3.14）知最終單調(diào)，于是（3.5）和（3.14）容易證明。若振動，定義序列 (3-19)則由定理3.1，知。下面證明存在序列使得(3-20)因振動，所以可以選取序列滿足下證(3-20)式成立。令為在區(qū)間上的極值點，則由(3-14)知于是從到積分(3-14)式并利用(3-18)得上式表明，。另一方面，當時，再從到積分(3-14)式并利用(3-18)得上式表明，。因此當時(3-20)式成立。現(xiàn)假設時(3-20)式成立，即當時，因此有上式表明，另一方面，當時。因

38、此上式表明。所以當時，(3-20)式亦成立，由數(shù)學歸納法知(3-20)式對所有非負整數(shù)成立。因此，證畢。注:，所以(3-7)式改進了(3-6)式。第4章 常微分方程穩(wěn)定性的一個應用考慮在一個小生境中兩個互相競爭的生物種群的變化情況，記分別為時刻兩生物種群的總數(shù)，當種群的總數(shù)較大時，我們就可以將看做有一定光滑性的函數(shù)，描述著兩種群變化的模型為(4-1)其中都是正常數(shù)，表示第種生物的內(nèi)稟增長率，反映了第種群受食物、環(huán)境等影響的密度制約因素，和是兩者間的競爭系數(shù)，由于問題的實際背景，我們僅在內(nèi)討論問題。模型(4-1)有4個平衡點，其中,。當， (4-2)時，平衡點在的內(nèi)部。在生態(tài)學中最感興趣的問題是

39、兩個生物群體能否共存，所以我們在下面的討論中設(4-2)成立，僅討論正平衡點的穩(wěn)定性。利用，滿足的方程將模型(4-1)化為(4-3)選取函數(shù)，其中是待定的正常數(shù)，計算得所以時內(nèi)部的正定函數(shù)，且容易驗證趨于的邊界時，故時內(nèi)有無窮大下界的函數(shù)。計算沿著(4-1)解軌線的全導數(shù)得(4-4)是和的二次齊次數(shù)。當(4-5)時，是負定的。為此，將(4-5)整理、化簡為(4-6)由于，故取，此時(4-6)化為可得到如下結(jié)論:若，時，模型(4-1)有唯一的正平衡解，它是全局一致漸近穩(wěn)定的。第5章 結(jié)論從上面的分析和例子可以看出，零解的穩(wěn)定性主要通過穩(wěn)定性定理結(jié)合函數(shù)來判斷，而平衡點的穩(wěn)定性的討論方法主要有間接法和直接法兩種，間接法需要求出系統(tǒng)的解析解，對于一些簡單方程的可能很容易求出，而對于一些復雜的方程，我們是借助了數(shù)學軟件求出的方程的通解；而直