機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波復(fù)習(xí)(答案)

1、 機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波復(fù)習(xí)振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1 1  簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程振幅A：取決于振動(dòng)的能量（初始條件）。角頻率w：取決于振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)。初相位f：取決于初始時(shí)刻的選擇。2 2  振動(dòng)相位wt+f：表示振動(dòng)物體在t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。f：初相位，即t=0時(shí)刻的相位。3 3  簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程彈性力或準(zhǔn)彈性力 角頻率：， A與f由初始條件決定： ， 4 4  簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量， ， 5 5  同一直線上兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合振幅： 同相： ， 反相： ， 重點(diǎn)：1 1  簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)，以及簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程中各物理量振幅A，角頻率

2、w，初相位f，相位（wt+f）的意義；2 2  簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法；3 3  由已知初始條件建立簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，以及由已知簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程確定物體的位置、速度、加速度的方法；4 4  在同一直線上兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成規(guī)律。 難點(diǎn)：1 1  相位，初始相位的理解和求解；2 2  建立簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程, 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成；3 3  拍和拍頻。 機(jī)械波  知識(shí)點(diǎn)：1 1  機(jī)械波產(chǎn)生的條件：波源和媒質(zhì)。通過(guò)各質(zhì)元的彈性聯(lián)系形成波。2 2  波的傳播是振動(dòng)相位的傳播，沿波的傳播方向，各質(zhì)元振動(dòng)的相位依次落

3、后。3 3  波速u，波的周期T及波長(zhǎng)l的關(guān)系， 4 4  平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式（設(shè)座標(biāo)原點(diǎn)O的振動(dòng)初相位為f）5 5  波的傳播是能量的傳播平均能量密度 平均能流密度即波的強(qiáng)度 6 6  波的干涉干涉現(xiàn)象：幾列波疊加時(shí)合成強(qiáng)度在空間有一穩(wěn)定分布的現(xiàn)象。波的相干條件：頻率相同，振動(dòng)方向相同，相位差恒定。干涉加強(qiáng)條件： 干涉減弱條件： 7 7  駐波：兩列振幅相同的相干波，在同一直線上沿相反方向傳播時(shí)形成駐波。波節(jié)：振幅恒為零的各點(diǎn)。波腹：振幅最大的各點(diǎn)。相鄰兩波節(jié)之間各點(diǎn)振動(dòng)相位相同，同一波節(jié)兩側(cè)半波長(zhǎng)范圍內(nèi)，相位相差p，即反相。駐波的波形不前進(jìn)

4、，能量也不向前傳播。只是動(dòng)能與勢(shì)能交替地在波腹與波節(jié)附近不斷地轉(zhuǎn)換。8 8  半波損失：波從波疏媒質(zhì)（ru較小）傳向波密媒質(zhì)（ru較大），而在波密媒質(zhì)面上反射時(shí)，反射波的相位有p的突變，稱為半波損失，計(jì)算波程時(shí)要附加±l/2。  重點(diǎn)：1 1  機(jī)械波產(chǎn)生的條件及波傳播的物理圖像。2 2  描述波動(dòng)的物理量：波長(zhǎng)、波速、頻率的物理意義及其相互關(guān)系。3 3  相位傳播的概念，并利用它寫出平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程（平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式）。理解波形曲線的意義，并能熟練畫出。4 4  已知給定點(diǎn)的振動(dòng)寫出平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式；已知波的表達(dá)式

5、寫出空間各點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；計(jì)算A、T、n、l、u及波線上任意兩點(diǎn)的相位差。5 5  波的能量密度、能流、能流密度（即波的強(qiáng)度）等概念。6 6  波的疊加原理，相干波的條件。干涉現(xiàn)象中加強(qiáng)、減弱條件，并運(yùn)用來(lái)計(jì)算合振幅最大、最小的位置。  難點(diǎn)：1 1  波動(dòng)和振動(dòng)方程及其曲線的聯(lián)系和差異2 2  相位比較法求波動(dòng)方程3 3  多普勒效應(yīng)及其應(yīng)用4 4  駐波的概念，駐波形成的條件；波腹、波節(jié)的意義及位置；各質(zhì)元振動(dòng)相位的關(guān)系。5 5  半波損失的意義。典型題型（一）振動(dòng)部分1原長(zhǎng)為的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的

6、物體，當(dāng)物體靜止時(shí)，彈簧長(zhǎng)為現(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長(zhǎng)，然后放手，以放手時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，取豎直向下為正向，寫出振動(dòng)式。（g取9.8）解：振動(dòng)方程：，在本題中，所以； 。取豎直向下為x正向，彈簧伸長(zhǎng)為0.1m時(shí)為物體的平衡位置，所以如果使彈簧的初狀態(tài)為原長(zhǎng)，那么：A=0.1m， 當(dāng)t=0時(shí)，x=-A，那么就可以知道物體的初相位為。所以： 即：。2有一單擺，擺長(zhǎng)，小球質(zhì)量，時(shí)，小球正好經(jīng)過(guò)處，并以角速度向平衡位置運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球的運(yùn)動(dòng)可看作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，試求：（1）角頻率、頻率、周期；（2）用余弦函數(shù)形式寫出小球的振動(dòng)式。（g取9.8）解：振動(dòng)方程： 我們只要按照題意找到對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)就行了。（1）角頻率：，

7、頻率： ，周期：；（2）振動(dòng)方程可表示為：，根據(jù)初始條件，時(shí)：，可解得：，所以得到振動(dòng)方程： 。3. 一豎直懸掛的彈簧下端掛一物體，最初用手將物體在彈簧原長(zhǎng)處托住，然后放手，此系統(tǒng)便上下振動(dòng)起來(lái)，已知物體最低位置是初始位置下方處，求：（1）振動(dòng)頻率；（2）物體在初始位置下方處的速度大小。解：（1）由題知2A=10cm，所以A=0.05m，選彈簧原長(zhǎng)下方0.05m處為平衡位置； 由，知， ，振動(dòng)頻率：；（2）物體在初始位置下方處，對(duì)應(yīng)著是x=0.03m的位置，所以：，由，有：，而，那么速度的大小為： 。4一質(zhì)點(diǎn)沿軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為，周期為。當(dāng)時(shí)，位移為，且向軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）振動(dòng)表達(dá)式；

8、（2）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；（3）如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于，且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：（1）由題已知 A=0.12m，T=2 s ， 又t=0時(shí)，由旋轉(zhuǎn)矢量圖，可知：故振動(dòng)方程為：； （2）將t=0.5 s代入得：，方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿x軸負(fù)向；（3）由題知，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于，且向軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，如圖示，質(zhì)點(diǎn)從位置回到平衡位置處需要走，建立比例式：，有： 。5兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在 處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位相差。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在 處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，相位為，而質(zhì)點(diǎn)2在 處，

9、且向右運(yùn)動(dòng)，相位為。所以它們的相位差為。6. 質(zhì)量為的密度計(jì)，放在密度為的液體中。已知密度計(jì)圓管的直徑為。試證明，密度計(jì)推動(dòng)后，在豎直方向的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。并計(jì)算周期。解：平衡位置：當(dāng)時(shí)，平衡點(diǎn)為C處。設(shè)此時(shí)進(jìn)入水中的深度為a：可知浸入水中為a處為平衡位置。 以水面作為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以向上為x軸，質(zhì)心的位置為x，分析受力：不管它處在什么位置，其浸沒(méi)水中的部分都可以用來(lái)表示，所以力，利用牛頓定律：，再令：，可得：，可見(jiàn)它是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)；周期為： 。7兩小球懸于同樣長(zhǎng)度l的線上將第一球沿豎直方向上舉到懸點(diǎn)，而將第二球從平衡位置移開(kāi)，使懸線和豎直線成一微小角度a ，如圖現(xiàn)將二球同時(shí)放開(kāi)，則何者先到達(dá)最

10、低位置？解：第一球自由落下通過(guò)路程l需時(shí)間而第二球返回平衡（即最低）位置需時(shí).，故第一球先到。8當(dāng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的多少？物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半？解：由，有：，（1）當(dāng)時(shí)，由，有：，；（2）當(dāng)時(shí)，有：，。9兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線(如圖所示) （1）求合振動(dòng)的振幅。（2）求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。解：通過(guò)旋轉(zhuǎn)矢量圖做最為簡(jiǎn)單。由圖可知，兩個(gè)振動(dòng)同頻率，且初相：，初相：，表明兩者處于反相狀態(tài)，（反相，），合成振動(dòng)的振幅： ；合成振動(dòng)的相位： ；合成振動(dòng)的方程： 。10兩個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為，與第一個(gè)振動(dòng)的位相差為。若第

11、一個(gè)振動(dòng)的振幅為。則（1）第二個(gè)振動(dòng)的振幅為多少？（2）兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差為多少？解：如圖，可利用余弦定理：由圖知 =0.01 mA=0.1 m ，再利用正弦定理：，有：，。說(shuō)明A與A間夾角為/2，即兩振動(dòng)的位相差為/2 。（二）機(jī)械波部分1沿一平面簡(jiǎn)諧波的波線上，有相距的兩質(zhì)點(diǎn)與，點(diǎn)振動(dòng)相位比點(diǎn)落后，已知振動(dòng)周期為，求波長(zhǎng)和波速。解：根據(jù)題意，對(duì)于A、B兩點(diǎn)，而，2已知一平面波沿軸正向傳播，距坐標(biāo)原點(diǎn)為處點(diǎn)的振動(dòng)式為，波速為，求：（1）平面波的波動(dòng)式；（2）若波沿軸負(fù)向傳播，波動(dòng)式又如何?解：（1）設(shè)平面波的波動(dòng)式為，則點(diǎn)的振動(dòng)式為：，與題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：，平面波的波動(dòng)式為：；（2）若

12、波沿軸負(fù)向傳播，同理，設(shè)平面波的波動(dòng)式為：，則點(diǎn)的振動(dòng)式為：，與題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：，平面波的波動(dòng)式為：。3一平面簡(jiǎn)諧波在空間傳播，如圖所示，已知點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律為，試寫出：（1）該平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式；（2）點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式（點(diǎn)位于點(diǎn)右方處）。解：（1）仿照上題的思路，根據(jù)題意，設(shè)以點(diǎn)為原點(diǎn)平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式為：，則點(diǎn)的振動(dòng)式：題設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)式比較，有：，該平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式為：（2）B點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式可直接將坐標(biāo)，代入波動(dòng)方程：4已知一沿正方向傳播的平面余弦波，時(shí)的波形如圖所示，且周期為。（1）寫出點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2）寫出該波的波動(dòng)表達(dá)式；（3）寫出點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（4）寫出點(diǎn)離點(diǎn)的距離。解：由

13、圖可知：，而，則：，波動(dòng)方程為：點(diǎn)的振動(dòng)方程可寫成：由圖形可知：時(shí)：，有：考慮到此時(shí)，（舍去）那么：（1）點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：；（2）波動(dòng)方程為：；（3）設(shè)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為：由圖形可知：時(shí)：，有：考慮到此時(shí)，（或）A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：，或；（4）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入波動(dòng)方程，可得到A的振動(dòng)方程為：，與（3）求得的A點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式比較，有：，所以： 。5一平面簡(jiǎn)諧波以速度沿軸負(fù)方向傳播。已知原點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。試寫出：（1）原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2）波動(dòng)表達(dá)式；（3）同一時(shí)刻相距的兩點(diǎn)之間的位相差。解：這是一個(gè)振動(dòng)圖像！由圖可知A=0.5cm，設(shè)原點(diǎn)處的振動(dòng)方程為：。（1）當(dāng)時(shí)，考慮到：，有：，當(dāng)時(shí)，考

14、慮到：，有：，原點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：；（2）沿軸負(fù)方向傳播，設(shè)波動(dòng)表達(dá)式：而，；（3）位相差： 。6一正弦形式空氣波沿直徑為的圓柱形管行進(jìn)，波的平均強(qiáng)度為，頻率為，波速為。問(wèn)波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每?jī)蓚€(gè)相鄰?fù)嗝骈g的波段中含有多少能量？解：（1）已知波的平均強(qiáng)度為：，由 有：；（2）由， 。7一彈性波在媒質(zhì)中傳播的速度，振幅，頻率。若該媒質(zhì)的密度為，求：（1）該波的平均能流密度；（2）1分鐘內(nèi)垂直通過(guò)面積的總能量。解：（1）由：，有：；（2）1分鐘為60秒，通過(guò)面積的總能量為： 。8與為左、右兩個(gè)振幅相等相干平面簡(jiǎn)諧波源，它們的間距為，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)比超前，設(shè)的振動(dòng)方程為，且媒質(zhì)無(wú)吸收，（1）寫出與之間的合成波動(dòng)方程；（2）分別寫出與左、右側(cè)的合成波動(dòng)方程。解：（1）如圖，以為原點(diǎn)，有振動(dòng)方程：，則波源在右側(cè)產(chǎn)生的行波方程為：，由于質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)比超前，的振動(dòng)方程為，設(shè)以為原點(diǎn)，波源在其左側(cè)產(chǎn)生的行波方程為：，由于波源的坐標(biāo)為，代入可得振動(dòng)方程：，與比較，有：?？梢?jiàn)，在與之間的任一點(diǎn)處，相當(dāng)于兩列沿相反方向傳播的波的疊加，合成波為：，為駐波；（2）波源在左側(cè)產(chǎn)生的行波方程