絕對(duì)值在高考題中

1、湯念輝 絕對(duì)值在高考題中一、定義在初中代數(shù)課程中，我們知道，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)完全確定的實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，反之，每一個(gè)實(shí)數(shù)有數(shù)軸上的唯一點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，因此實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離，叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值. 并且規(guī)定了：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零.二、性質(zhì)絕對(duì)值具有下列運(yùn)算性質(zhì)（1）|a| + |b|a+b| .兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和，不小于這兩個(gè)數(shù)的和的絕對(duì)值 .（2）| a | - | b | | a-b | . 兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的差，不大于這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值.（3） | a |·| b | = | a&

2、#183;b | . 兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的積，等于這兩個(gè)數(shù)的積的絕對(duì)值 . （4） 兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的商，等于這兩個(gè)數(shù)的商的絕對(duì)值 .三、算術(shù)根與絕對(duì)值我們知道，如果x的n次方等于a ， 那么x就叫做a的n次方根 . a的n方根記，其中a是被開方數(shù)，n是根指數(shù) .為了運(yùn)算的需要，我們規(guī)定：正數(shù)的正的方根叫做算術(shù)根，零的算術(shù)根是零，并且用符號(hào)來(lái)表示 .根據(jù)算術(shù)根的定義，一般地有： （n是自然數(shù)）四、高考中的絕對(duì)值1、解含有絕對(duì)值的方程【例1】（2004年全國(guó)卷第18題） 解方程4x+|1-2x|=11.解答：當(dāng)x0時(shí), 有：4x+1-2x=11化簡(jiǎn)得：(2x)2-2x-10=0解之得：或(舍去).又x

3、0得2x1, 故不可能，應(yīng)舍去.【注意】：應(yīng)舍去，因?yàn)槲覀兪窃诩僭O(shè)2x1的條件下，對(duì)原方程進(jìn)行變形的，但是>1，所以它與假設(shè)相矛盾，必須舍去.【續(xù)解】：當(dāng)x<0時(shí), 有：4x-1+2x=11化簡(jiǎn)得：(2x)2+2x-12=0解之得：2x=3或2x= -4(舍去)2x=3 x=log23綜上可得原方程的解為x=log23.【點(diǎn)評(píng)】：解這類方程的基本思想是去掉絕對(duì)值符號(hào)，把它化為不含絕對(duì)值符號(hào)的方程來(lái)解. 為了去掉絕對(duì)值符號(hào)，我們可以根據(jù)未知數(shù)取值范圍的不同情況討論絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)代數(shù)式的正、負(fù)；得出方程的解以后，還要檢驗(yàn)這些解是否在所討論的取值范圍內(nèi)，如果不在未知數(shù)假設(shè)的取值范圍內(nèi)，就應(yīng)

4、該把它舍去.2、解含有絕對(duì)值的不等式解含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式與解含有絕對(duì)值符號(hào)的方程相類似，基本想是設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào)，把它化為不含絕對(duì)值符號(hào)的一般不等式去解.我們看下面的一個(gè)例子：【例2】（2004年全國(guó)卷第8題）不等式的解集為（ ）A. B. C. D.解答：D -4<x<-2或0<x<2.【點(diǎn)評(píng)】：一般地，上述不等式的解的情況可以列成下表：a>0aa a>0a = 0a<0|x|<a-a<x<a無(wú)解無(wú)解|x|>ax<-a, x>ax0的一切實(shí)數(shù)一切實(shí)數(shù)3、含有絕對(duì)值不等式的證明含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的證明和不含

5、有絕對(duì)值符號(hào)的不等式的證明一樣，需要運(yùn)用不等式的性質(zhì)和基本不等式來(lái)進(jìn)行 . 但它又是一種特殊的不等式，含有絕對(duì)值符號(hào)，證明時(shí)還必須考慮運(yùn)用絕對(duì)值的定義和性質(zhì). 證明的方法和證明不含絕對(duì)值符號(hào)不等式的方法相仿，一般可以采用比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法和反證法等. 這里先簡(jiǎn)略地介紹一下什么是比較法、分析法和綜合法，然后通過(guò)例題介紹絕對(duì)值不等式的證明 .【例3】如果|a|<1 , |b|<1 , 求證： 證 法 一 比較法： 分 析 要證明 就是要證也就是只需證明 即可. 證 明 . 由|a|<1, 可得a<1， a -1<0 ; 由|b|<1, 可得b&l

6、t;1, 1 - b>0 . ±ab|ab| = | a|·|b|<1 , 1+ab>0 ， . 由|a|<1, 可得 - a<1 , a+1>0 ,同理， b+1>0 .而1+ab>0 , . 即 . -1 ，即 【說(shuō)明】：比較法，可以從兩式的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來(lái)決定它們的大小. 它的依據(jù)是，如果A - B>0,那么A>B，如果A-B<0, 那么A<B ; 反之也然. 如果A>0, B>0, 那么當(dāng)>1時(shí)有A>B；當(dāng)<1時(shí)有A<B .證 法 二 分析法：要證明 只要證

7、明 | a+b | < | 1+ab | ,就是證明 （a+b）2 < (1+ab)2 ,即 ，就是 .而 . 由|a|<1，得a2-1<0 ; 由|b|<1 ， 得1-b2 > 0 . <0 . 因?yàn)樽C明中每一步都可逆推，所以原不等式成立.【說(shuō)明】：分析法，就是假設(shè)要證的不等式成立，然后逆求不等式能夠成立的條件，直至符合已知條件. 證 法 三 綜合法： ，即 ， （1 - a 2）（1 - b 2）>0 ,即 1+a 2b 2 - a 2 - b 2 >0 , 1+a 2b 2 > a 2 + b 2 , 1+a 2 b 2 + 2

8、ab > a 2 + b 2 + 2ab ,即 （1+ab）2 > (a+b) 2 , |1+ab| >| a+b| , .【說(shuō)明】：綜合法就是從已知條件開始，逐步推理，最后得到所求證的不等式成立 .4、含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的圖象根據(jù)絕對(duì)值的定義，有 這就是說(shuō)，當(dāng)f (x)0時(shí)，那么| f (x)| = f (x)，此時(shí)| f (x)|的圖象就是f (x)的圖象. 當(dāng)f (x)<0時(shí)，那么| f (x)|= - f (x)，此時(shí)| f (x)|的圖象是與f (x)的圖象關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的. 由此可見，只要把f (x)的圖象分成兩部分，在x軸上方的圖象保持不變，而x軸下方

9、的圖象，則作出它關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象，這樣合起來(lái)就得到了函數(shù)y=| f (x)|的圖象 .對(duì)于函數(shù)y =（f |x|），我們同樣可以根據(jù)絕對(duì)值的定義進(jìn)行討論. 因此，當(dāng)x0時(shí)，f (|x|) = f (x), y = f (|x|)的圖象就是y = f (x)（當(dāng)x0時(shí)）的圖象. 而x<0時(shí)，f (|x|) = f (-x)，所以y = f (|x|)的圖象就是與f (x)（當(dāng)x0時(shí)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象 . 【例4】作下列函數(shù)的圖象：（1）y=| x2-1 | , （2）y =1- | x | .分 析 要作出y=|x 2 - 1|的圖象，我們可以先作出y= x2 - 1的的圖象，對(duì)于x軸下方的圖象作出它關(guān)于x軸的對(duì)稱圖象. 要作出y=1- | x |的圖象，可先作y = 1-x（當(dāng)x0）的圖象，再作出它關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象. 解 （1）作f (x) = x 2 1的圖象，它是以（0 ，-1）為頂點(diǎn)，y軸為對(duì)稱軸的開口向上的拋物線. 對(duì)位于x軸下方的圖象作出它關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象，這樣就得到了f (x) = | x2-1|的圖象. （如下圖左）（2）作y =1-x（當(dāng)x0）圖象，它是斜率為-1，與y軸上的截距等