滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第八章8.3完全平方公式與平方差公式——完全平方公式典型例題講義

1、8.3完全平方公式與平方差公式一一完全平方公式典型例題講義例1利用完全平方公式計(jì)算：,2212(1) (2 3x);(2)(2ab 4a) ;(3 )(- am2b).例2 計(jì)算：(1) (3a 1)2;(2)( 2x 3y)2 ;(3)( 3xy)2 .例3用完全平方公式計(jì)算：2222(1) ( 3y -x)2;(2) ( a b)2;(3) (3a 4b 5c)2.3例4 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1) (x a)(x a)(x2 a2);(2) (a b c)(a b c);(3) (x 1)2(x 1)2(x2 1)2 .例5計(jì)算：,1o1 o11oo(1)(-x3)2x2;2)(2a b-

2、)(2ab); 3) (xy)2(xy)2.24221 c例6利用完全平萬(wàn)公式進(jìn)行計(jì)算：(1) 2012;(2)992;(3)(30-)2.3例7 已知a b 3,ab 12 ,求下列各式的值.(1) a2b2;(2)a2 abb2;(3)(ab)2.例 8若3(a2 b2 c2) (a b c)2,求證：a b c.例1分析：這幾個(gè)題都符合完全平方公式的特征，可以直接應(yīng)用該公式進(jìn) 行計(jì)算.解：(1) (2 3x)222 2 2 3x (3x)2 4 12x 9x2;:、2222222(2) (2ab 4a)(2ab)2 2ab 4a (4a) 4a b 16a b 16a ;/八、1_212

3、2_2(3) (am 2b)am 2amb 4b .24說(shuō)明：(1)必須注意觀察式子的特征，必須符合完全平方公式，才能應(yīng)用該 公式；(2)在進(jìn)行兩數(shù)和或兩數(shù)差的平方時(shí)，應(yīng)注意將兩數(shù)分別平方，避免出現(xiàn) (2 3x)2 4 12x 3x2 的錯(cuò)誤.例2分析：(2)題可看成(2x) 3y2 ,也可看成(3y 2x)2; (3)題可看成(3x y)2,也可以看成(3x) y2,變形后都符合完全平方公式.解：(1) (3a 1)2 (3a)2 2 3a 1 129 a2 6a 1(2)原式 (2x)2 2 ( 2x) 3y (3y)24x2 12xy 9y2或原式(3y 2x)22_2(3y)2 3y

4、2x (2x)八 2 一29y 12xy 4x(3)原式(3x y)2(3x y)242_42(3x)2 3x y yc 2 c29x 6xy y或原式 (3x)2 2 ( 3x) y y29x2 6xy y2說(shuō)明：把題目變形為符合公式標(biāo)準(zhǔn)的形式有多種方式，做題時(shí)要靈活運(yùn)用.2例3分析：第(1)小題，直接運(yùn)用完全平方公式 .x為公式中a, 3y為公 3式中b,利用差的平方計(jì)算；第(2)小題應(yīng)把(a b)2化為(a b)2再利用和的 平方計(jì)算；第(3)小題，可把任意兩項(xiàng)看作公式中a,如把(3a 4b)作為公式中 的a, 5c作為公式中的b,再兩次運(yùn)用完全平方公式計(jì)算.2 o 2o 4 oo斛：(

5、1) ( 3y -x) =(-x 3y)- x 4xy 9y3 392222(2) ( a b) =(a b) a 2ab b(3) (3a 4b 5c)2 (3a 4b)2 10c(3a 4b) 25c2_ 222=9a 30ac 40bc 25c16b 24ab說(shuō)明：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算要防止出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：(a b)2 a2 b2,(a b)2 a2 b2.例4 分析：第(1)小題先用平方差公式計(jì)算前兩個(gè)因式的積，再利用完 全平方式計(jì)算.第(2)小題，根據(jù)題目特點(diǎn)，兩式中都有完全相同的項(xiàng)a c,和互為相反數(shù)的項(xiàng)b,所以先利用平方差公式計(jì)算(a c) b與(a c) b的積, 再利用完全平方

6、公式計(jì)算(a c)2;第三小題先需要利用幕的性質(zhì)把原式化為(x 10(x 1)(x2 1)2,再利用乘法公式計(jì)算.解：(1)原式=(x2 a2)(x2 a2) (x2 a2)2 x4 2a2x2 a4(2)原式=(a c) b( a c) b (a c)2 b2_ 222=a2ac c b(3)原式=(x 1)(x 1)(x2 1)2 (x2 1)(x2 1)2/ 4284=(x1) x 2x 1 .說(shuō)明：計(jì)算本題時(shí)先觀察題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)過(guò)的乘法公式和幕的性質(zhì),以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.例5分析：(1)和(3)首先我們都可以用完全平方公式展開(kāi)，然后合并同我們繼續(xù)應(yīng)用公式.1解：(1) (x2

7、類(lèi)項(xiàng)；第(2)題可以先根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，然后如果還可以應(yīng)用公式，3)2 - x2 - x2 3x 9 - x2 9 3x ；444(2) (2a b1、.1、,、1,、-)(2a b ) (2a b) (2a b) 222221221(2a b)24a24ab b2;44(x y)2(x y)2 x2 2xy y2 (x2 2xy y2)2 c22c24x 2xy y x 2xy y 4xy .說(shuō)明：當(dāng)相乘的多項(xiàng)式是兩個(gè)三項(xiàng)式時(shí)，在觀察時(shí)應(yīng)把其中的兩項(xiàng)看成一個(gè) 整體來(lái)研究.例6分析：在利用完全平方公式求一個(gè)數(shù)的平方時(shí)，一定要把原有數(shù)拆成 兩個(gè)數(shù)的和或差.解：(1) 2012 (200 1

8、)2 2002 2 200 1 40401 ；(2) 992 (100 1)2 1002 2 100 1 9801 .2 30匕)12_12_2(3) (30)2 = (30 -)2 30233900 20說(shuō)明：在利用完全平方公式，進(jìn)行數(shù)的平方的簡(jiǎn)算時(shí)，應(yīng)注意拆成的兩個(gè)數(shù) 必須是便于計(jì)算的兩個(gè)數(shù)，這才能達(dá)到簡(jiǎn)算的目的.例7分析：(1)由完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2 ,可知 a2b2(a b)2 2ab ,可求得 a2 b2 33；(2) a2abb2 a2 b2 ab 33 ( 12)45；(3) (ab)2a2 2ab b2 33 2 ( 12)57 .解：(1)a2b2 (

9、a b)2 2ab 32 2 (12) 924332) ) a2ab b2 (a2 b2) ab 33( 12)3312 453) (a b)2 a2 2ab b2 (a2 b2) 2ab33 2 ( 12) 33 24 57說(shuō) 明：該 題 是 (a b)2 a22ab b2是 靈 活運(yùn)用 ， 變形 為a 2 b 2 ( a b) 2 2ab ，再進(jìn)行代換例 8分析： 由已知條件展開(kāi)，若能得出(a b)2(bc)2 (c a)20,就可得到 a b 0,b c 0, c a 0, 進(jìn)而 a b, b cc a a b c, 同時(shí)此題還用到公式 (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2 a

10、c 2bc 證明：由 3(a2b2c2 )(ab c)2 , 得2222223a23b2 3c2a2b2c22ab 2bc2ac2a2 2b2 2c2 2ab 2ac 2bc 0.則 (a2 2ab b2) (b2 2bc c2) (c2 2ac a2) 0(a b)2 (b c)2 (c a)2 0.(a b)2 0,(b c)2 0,(c a)2 0.a b 0,b c 0,c a 0.即 a b,b c,c a,得 a b c.課后提升1計(jì)算(1) (5x - 2y) 2+20xy;(2) (x-3) 2 (x+3) 2;(3) (3x-5) 2- (2x+7) 2;(4) (x+y+1

11、) (x+y 1)2計(jì)算 1） 1） 89.82； 2） 472- 94X27+272.3 .已知(x+y) 2=25, (x y) 2=9,求 xy 與 x2+y2 的值.4 .南湖公園有一正方形草坪，需要修整成一長(zhǎng)方形草坪，在修整時(shí)一邊長(zhǎng)加長(zhǎng) 了 4m,另一邊長(zhǎng)減少了 4m,這時(shí)得到的長(zhǎng)方形草坪的面積比原來(lái)正方形草坪的 邊長(zhǎng)減少2m后的正方形面積相等，求原正方形草坪的面積是多少.5 .多項(xiàng)式4x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為一個(gè)整式的完全平方，則加上的單項(xiàng)式可以是 .（填上正確的一個(gè)即可，不必考慮所有可能的情 況）6 .我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中楊輝三角”就是一例.如

12、圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是 1,其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（ a+b） n （n為正整數(shù)）的展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小的順 序排列）的系數(shù)規(guī)律.例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1,2, 1,恰好對(duì)應(yīng)（a+b） 2=a2+2ab+b2展開(kāi)式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù) 1, 3, 3, 1,恰好對(duì)應(yīng)著（a+b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3展開(kāi)式中的系數(shù)等等.（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫(xiě)出（a+b） 5的展開(kāi)式.（2）利用上面的規(guī)律計(jì)算：25-5>24+10>23- 10>22+5X2- 1.(a-i>)(1) ：(1) (5x 2y) 2+20

13、xy =25x2 - 20xy+4y2+20xy =25x2+4y2;(2) (x-3) 2 (x+3) 2=(x2 - 9) 2=x4- 18x2+81;(3) (3x-5) 2- (2x+7) 2 =9x2 - 30x+25 - ( 4x2+28x+49) =9x2 - 30x+25 - 4x2 - 28x - 49 =5x2 - 58x - 24;(4) (x+y+1) (x+y 1) =(x+y) +1 (x+y) - 1=(x+y) 2- 1=x2+2xy+y2 - 1.2.解：(1) (89.8) 2= (90-0.2) 2=902 - 2X0.2 >90+0.22=8064.04;2 2) 472- 94X27+272=472-2X470+272= (47-27) 2=202=400.3 .解：: ( x+y) 2=25, (x y) 2=9,二 x2+2xy+y2=25，x2- 2xy+y2=9，-得，4xy=16,解得xy=4 , + 得，2 (x2+y2) =34,解得 x2+y2=17.故答案為：4, 17.4 .解：設(shè)原正方形草坪的邊長(zhǎng)為 xm,(x+4) (x 4) = (x 2) 2,x2 - 16=x2 - 4x+4,解得：x=5,故原正方形的面積為：x2=52=25