高等數(shù)學(xué)同濟(jì)

1、授 課 教 案課程名稱： 高等數(shù)學(xué) 授課專業(yè)： 總 學(xué) 時(shí)： 開課單位： 制 定 人： 審 核 人： 制定時(shí)間： 教 案授課學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)課型新授課教學(xué)內(nèi)容（章節(jié)）第四章 不定積分 第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)掌握不定積分的概念教學(xué)重、難點(diǎn)掌握不定積分的概念教學(xué)方法及手段講練結(jié)合法/板書教學(xué)教學(xué)準(zhǔn)備教材，輔助教材1、 教學(xué)過程：原函數(shù)與不定積分的概念定義1 如果在區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對(duì)任一，都有或，那么函數(shù)就稱為（或）在區(qū)間上的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么在區(qū)間上存在可導(dǎo)函數(shù)，使對(duì)任一，都有.簡單的說就是：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).下面還要說兩點(diǎn)第一，如果在區(qū)間

2、上有原函數(shù)，即有一個(gè)函數(shù)，使對(duì)任一，都有，那么，對(duì)任何常數(shù)，顯然也有 ，即對(duì)任何常數(shù)，函數(shù)也是的原函數(shù)。這說明，如果有一個(gè)原函數(shù)，那么就有無限多個(gè)原函數(shù).第二，如果在區(qū)間上是的一個(gè)原函數(shù)，那么的其他原函數(shù)與有什么關(guān)系？設(shè) 是的另一個(gè)原函數(shù)，即對(duì)任一有，于是備注：在第三章第一節(jié)已經(jīng)知道，在一個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)必為常數(shù)，所以，（為某個(gè)常數(shù)）這表明與 只差一個(gè)常數(shù).因此，當(dāng)為任一的常數(shù)時(shí)，表達(dá)式就可以表示的任意一個(gè)原函數(shù)。也就是說，的全體函數(shù)所組成的集合，就是函數(shù)族.由以上兩點(diǎn)說明，我們引進(jìn)下述定義定義2 在區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為（或）在區(qū)間上的不定積分，記作其中記號(hào)稱為積分

3、號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量.由此定義及前面的說明可知，如果是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，那么在區(qū)間上就是的不定積分，即.因而不定積分可以表示的任意一個(gè)原函數(shù).例2 求解 ，即是的一個(gè)原函數(shù)。例3 求解 時(shí)，有，所以在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)是時(shí)，有，所以在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)是在上，的原函數(shù)是從不定積分的定義，即可知下述關(guān)系：由于是的原函數(shù)，所以或又由于是的原函數(shù)，所以或記作，由此可見，微分運(yùn)算（以記號(hào)表示）與求不定積分的運(yùn)算（簡稱積分運(yùn)算，以記號(hào)表示）是互逆的。當(dāng)記號(hào)與連在一起時(shí)，或者抵消，或者抵消后差一個(gè)常數(shù).一、基本積分表（是常數(shù)），2、 不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)及的原函數(shù)存在，則 性

4、質(zhì)2 設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，為非零常數(shù)，則例5 求解例6 求解 例7 求解 例8 求解 練習(xí)設(shè)計(jì)課后習(xí)題2 （1-6）教學(xué)反思與學(xué)生一起做練習(xí)，邊講邊練注：1每2學(xué)時(shí)至少制定一個(gè)教案。2課型包括新授課、練習(xí)課、復(fù)習(xí)課、講評(píng)課、實(shí)驗(yàn)課等。3上新課和新上課的教師要求寫詳案。4要求教師上課必帶教案。5“備注”填寫歷年更新的內(nèi)容（手寫）。6教案可帶附件（課程內(nèi)容補(bǔ)充材料）。教 案授課學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)課型新授課教學(xué)內(nèi)容（章節(jié)）第四章 不定積分 第二節(jié) 換元積分法（第一換元積分法）教學(xué)目標(biāo)應(yīng)用第一類換元積分法和求函數(shù)的積分教學(xué)重、難點(diǎn)掌握第一類換元積分法使用條件教學(xué)方法及手段探究式， 講練結(jié)合法/板書教學(xué)教學(xué)準(zhǔn)備

5、教材，輔助教材教學(xué)過程1、 第一類換元積分法定理1 設(shè)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則不難看出：第一換元法是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的逆運(yùn)算，也是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，目的是將湊成中間變量的微分，轉(zhuǎn)化成對(duì)中間變量的積分。例1 求解：例2 求解：   例3 求解： 例4 求解 例5 解 例6 解 注意：例4，例5，例6當(dāng)被積函數(shù)分母是二次三項(xiàng)式時(shí)，針對(duì)根的情況的不同處理方法。除了以上的類型，利用，有如下例題。例7 求解 ，即例8 求解 例9 求解 例10 求解 ，則利用，有：例11 求解 例12 求解 例13 求解 例14 求解 利用，有：例15 求解 例16 求解 練習(xí)設(shè)計(jì)課后習(xí)題2(1-10)教

6、學(xué)反思與學(xué)生一起做練習(xí)，邊講邊練注：1每2學(xué)時(shí)至少制定一個(gè)教案。2課型包括新授課、練習(xí)課、復(fù)習(xí)課、講評(píng)課、實(shí)驗(yàn)課等。3上新課和新上課的教師要求寫詳案。4要求教師每學(xué)期上交教案。教 案授課學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)課型新授課教學(xué)內(nèi)容（章節(jié)）第四章 不定積分 第二節(jié) 換元積分法（第一換元積分法）教學(xué)目標(biāo)應(yīng)用第一類換元積分法和求函數(shù)的積分教學(xué)重、難點(diǎn)掌握第一類換元積分法使用條件教學(xué)方法及手段探究式， 講練結(jié)合法/板書教學(xué)教學(xué)準(zhǔn)備教材，輔助教材教學(xué)過程2、 第一類換元積分法定理1 設(shè)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則不難看出：第一換元法是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的逆運(yùn)算，也是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，目的是將湊成中間變量的微分，轉(zhuǎn)化成對(duì)中間變量的

7、積分。利用三角函數(shù)的微分公式：；。有：例17 求 解 例18 求解 例19 求解 另解 例20 求解 ；利用，有：例21 求解 例22 求解 由以上例題可以看出，第一換元法是一種非常靈活的計(jì)算方法，始終貫穿著“逆向思維”的特點(diǎn)，因此對(duì)初學(xué)者較難適應(yīng)，學(xué)生應(yīng)熟悉這些基本例題。當(dāng)然也有一些題，它不屬于這些基本題型，但我們也可以通過觀察找到解題的途徑。例23 解 注意到：例24 解 例25 例26 例27 例28 例29 例30 練習(xí)設(shè)計(jì)課后習(xí)題2（11-30）教學(xué)反思與學(xué)生一起做練習(xí)，邊講邊練注：1每2學(xué)時(shí)至少制定一個(gè)教案。2課型包括新授課、練習(xí)課、復(fù)習(xí)課、講評(píng)課、實(shí)驗(yàn)課等。3上新課和新上課的教師

8、要求寫詳案。4要求教師每學(xué)期上交教案。教 案授課學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)課型新授課教學(xué)內(nèi)容（章節(jié)）第四章 不定積分 第2節(jié) 換元積分法（第二換元法）教學(xué)目標(biāo)掌握第二換元法教學(xué)重、難點(diǎn)掌握第二換元法教學(xué)方法及手段講練結(jié)合法/板書教學(xué)教學(xué)準(zhǔn)備教材，輔助教材教學(xué)過程： 定理2 設(shè)是單調(diào)，可導(dǎo)的函數(shù)且，又設(shè)有原函數(shù)，則證明 單調(diào)，可導(dǎo)，存在反函數(shù)，且是是一個(gè)原函數(shù)第二換元法，常用于如下基本類型類型1：被積函數(shù)中含有（）,可令（并約定）則；可將原積分化作三角有理函數(shù)的積分例1 求解 令，則例2 求備注：解 令，則，類型2：被積函數(shù)中含有可令 并約定，則； ；可將原積分化為三角有理函數(shù)的積分。例3 求 ，解：令 ，則

9、，因此有 其中。例4 求 解 當(dāng) 時(shí)，設(shè) ，則因此又由于，得其中。當(dāng)時(shí)，令，則，因此其中 。綜合得 例5 求 解： 練習(xí)設(shè)計(jì)課后習(xí)題2 （31-44）教學(xué)反思與學(xué)生一起做練習(xí)，邊講邊練注：1每2學(xué)時(shí)至少制定一個(gè)教案。2課型包括新授課、練習(xí)課、復(fù)習(xí)課、講評(píng)課、實(shí)驗(yàn)課等。3上新課和新上課的教師要求寫詳案。4要求教師上課必帶教案。5“備注”填寫歷年更新的內(nèi)容（手寫）。6教案可帶附件（課程內(nèi)容補(bǔ)充材料）。教 案授課學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)課型新授課教學(xué)內(nèi)容（章節(jié)）第四章 不定積分 第三節(jié) 分部積分法教學(xué)目標(biāo)掌握分部積分法教學(xué)重、難點(diǎn)掌握分部積分法教學(xué)方法及手段講練結(jié)合法/板書教學(xué)教學(xué)準(zhǔn)備教材，輔助教材教學(xué)過程：設(shè)

10、，則有 或 兩端求不定積分，得 或 即 (3-1)或 (3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 稱為不定積分的分部積分公式。例1 求解 ，如果設(shè)，有 備注：例2 例3 求 解 再一次用分部積分，有： 注1：由例1和例2可以看出，當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與正弦（余弦）乘積或是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積，做分部積分時(shí)，取冪函數(shù)為，其余部分取為。由于指數(shù)（三角）函數(shù)湊進(jìn)仍是指數(shù)（三角）函數(shù)的微分，而對(duì)求導(dǎo)時(shí)，將使冪函數(shù)的次數(shù)降低。故對(duì)此類型一般是將作為把指數(shù)（三角）函數(shù)當(dāng)作，其“湊微分”的方法是：，設(shè) ，則有 或 兩端求不定積分，得 或 即 (3-1)或 (3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 稱為不定積分的分部積分公式。例1 求 解： 例2 求解 把