風(fēng)箏飛行中的數(shù)學(xué)力學(xué)原理

1、風(fēng)箏飛行中的數(shù)學(xué)力學(xué)原理摘要 紙花如雪滿天飛，嬌女秋千打四圍。 五色羅裙風(fēng)擺動(dòng)，好將蝴蝶斗春歸。放風(fēng)箏是一項(xiàng)古老而有意義的娛樂活動(dòng)，它的飛行也帶給了人們不少遐想，激發(fā)我們探索其中的數(shù)學(xué)力學(xué)原理。 風(fēng)箏上升時(shí)一個(gè)動(dòng)態(tài)過程我們首先研究了讓風(fēng)箏上升的力學(xué)原理，風(fēng)箏在空中時(shí)，空氣會(huì)分為上下流層，此時(shí)通過風(fēng)箏下層的空氣受風(fēng)箏面的阻塞，空氣的流速減低，氣壓升高，風(fēng)箏就上揚(yáng)，上層的空氣流通舒暢，流速增強(qiáng)，致使氣壓降低，把風(fēng)箏吸揚(yáng)上去。 風(fēng)箏的飛行是要受到風(fēng)的推力，這就讓我們想到了思考風(fēng)力的特征。通過空氣動(dòng)力學(xué)的研究，進(jìn)行與飛機(jī)的類比，我們得到風(fēng)箏所受風(fēng)力的特征是受空氣密度、升力系數(shù)、風(fēng)箏的橫截面積、風(fēng)速的影

2、響。并通過擬合得到了升力曲線。發(fā)現(xiàn)在隨著迎角的增大，升力系數(shù)越大，但達(dá)到一定程度后，升力系數(shù)趨于常數(shù)。之后，我們對(duì)風(fēng)箏和風(fēng)箏線分別進(jìn)行了受力分析，研究其平衡狀態(tài)時(shí)的受力，認(rèn)為風(fēng)箏在平衡時(shí)水平方向?yàn)閯蚣铀龠\(yùn)動(dòng)，經(jīng)過分析，得到了高度和風(fēng)箏的受風(fēng)角度之間的函數(shù)關(guān)系，更加受力圖動(dòng)態(tài)分析，發(fā)現(xiàn)存在最大高度，使得如果繼續(xù)放線，而幾乎不改變風(fēng)箏的高度，只是在水平距離上越來越遠(yuǎn)，并且當(dāng)受風(fēng)角度趨于水平時(shí)風(fēng)箏達(dá)到了最大高度，我們通過極限求解得到了最大高度h。風(fēng)箏的穩(wěn)定不僅僅是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定，還有運(yùn)動(dòng)方向的穩(wěn)定。所以我們又考慮了力矩平衡，對(duì)風(fēng)箏的穩(wěn)定狀態(tài)做進(jìn)一步的分析。發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏受力的作用點(diǎn)的變化規(guī)律為迎角增加時(shí)升

3、力增量的作用點(diǎn)。關(guān)鍵詞：風(fēng)箏飛行 受力平衡 升力系數(shù) 參數(shù)檢驗(yàn) 一、問題重述風(fēng)箏是我國(guó)最古老的一種民間藝術(shù)，是深受大家喜歡的娛樂活動(dòng)之一。在風(fēng)箏展翅于藍(lán)天之上時(shí)，激發(fā)我們思考風(fēng)箏飛行的原理，探索其中的奧秘。隨著線放出的越來越長(zhǎng)，線的自身重量的加大會(huì)使得風(fēng)箏為了保持平衡而改變其受風(fēng)角度，線的重量和受風(fēng)角度有著明顯的關(guān)系，這使得我們思考其關(guān)系并探索是否存在一個(gè)最大的高度（或線長(zhǎng)），使得如果繼續(xù)放線，而幾乎不改變風(fēng)箏的高度，只是在水平距離上越來越遠(yuǎn)。二、問題分析風(fēng)箏受到風(fēng)的推動(dòng)才能飛起來，而物體的運(yùn)動(dòng)改變我們主要想通過考察風(fēng)箏其瞬時(shí)的平衡狀態(tài)下的受力情況和力矩情況，尋找風(fēng)箏的受風(fēng)角度與線長(zhǎng)的關(guān)系。首

4、先，我們研究風(fēng)箏上升的原理，再假定每一個(gè)瞬時(shí)其豎直方向都處于平衡狀態(tài)，通過對(duì)風(fēng)箏和風(fēng)箏線的受力分析，以及通過空氣動(dòng)力學(xué)理論得到風(fēng)力的表達(dá)式，最終得到拉力與受風(fēng)角度以及線與水平方向夾角的關(guān)系，根據(jù)線性模型處理參數(shù)，將該函數(shù)關(guān)系具體化，來推導(dǎo)是否存在一個(gè)最大的高度，使若繼續(xù)放線，風(fēng)箏的高度幾乎保持不變，而只是在水平方向上越走越遠(yuǎn)。三、模型假設(shè)1.假定風(fēng)箏在各個(gè)時(shí)刻都在豎直方向近似處于平衡態(tài)。2.假定風(fēng)速恒定。3.假定風(fēng)箏的不同形狀對(duì)該問題無(wú)較大影響。4.風(fēng)箏與線之間無(wú)摩擦力。5.忽略風(fēng)箏速度對(duì)空氣壓力的影響。6.假定重力加速度不隨高度變化。7.風(fēng)箏在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后水平方向?yàn)閯蚣铀龠\(yùn)動(dòng)8.升力系數(shù)為

5、常數(shù)四、符號(hào)說明F空氣空氣總動(dòng)力F拉繩對(duì)風(fēng)箏的拉力空氣動(dòng)力與豎直線的夾角線與水平線的夾角空氣密度s風(fēng)箏橫截面積v風(fēng)速F人人的拉力m風(fēng)箏風(fēng)箏的質(zhì)量m線風(fēng)箏線的質(zhì)量GL 升力系數(shù)迎角五、模型的建立與求解5.1 風(fēng)箏上升的原理風(fēng)箏有各種各樣的美麗形狀，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，雖然風(fēng)箏的形狀對(duì)風(fēng)箏的受力和力矩平衡有影響，但各類風(fēng)箏的上升原理都是不變的，我們以平板狀的方形風(fēng)箏為例進(jìn)行研究。風(fēng)箏升空，主要是靠風(fēng)的推力升揚(yáng)于空中。風(fēng)箏的重量會(huì)使它往地面降落，之所以可以在空中漂浮飛翔，是受空氣的力量支撐向上，這種力量稱為揚(yáng)力。風(fēng)箏在空中時(shí)，空氣會(huì)分為上下流層，此時(shí)通過風(fēng)箏下層的空氣受風(fēng)箏面的阻塞，空氣的流速減低，氣壓升

6、高，風(fēng)箏就上揚(yáng)，上層的空氣流通舒暢，流速增強(qiáng)，致使氣壓降低，把風(fēng)箏吸揚(yáng)上去，揚(yáng)力即是由這種氣壓之差才產(chǎn)生的。風(fēng)箏除受空氣的揚(yáng)力之外，同時(shí)亦受到空氣往下壓的壓力，此壓力稱之為抗力，若抗力小于揚(yáng)力時(shí)，風(fēng)箏才能飛翔于空中所以風(fēng)箏提線的角度若放置下方時(shí)，抗力增強(qiáng)，風(fēng)箏只會(huì)往遠(yuǎn)處飛揚(yáng)，若放置上方時(shí)，揚(yáng)力增強(qiáng)，抗力減少，風(fēng)箏才會(huì)往高處飄翔。圖2是平板狀的方形風(fēng)箏在空中穩(wěn)定時(shí)的受力示意圖。風(fēng)吹在風(fēng)箏表面上，產(chǎn)生一個(gè)垂直于風(fēng)箏面的力F空氣，這個(gè)力可以分解為水平方向的分力F2和豎直方向的分力F1。F2的作用是使風(fēng)箏遠(yuǎn)離，F(xiàn)1即為揚(yáng)力，同理，風(fēng)箏線的拉力T也可以分解為水平和豎直兩個(gè)分力F拉1、F拉2。G為風(fēng)箏的重

7、力。當(dāng)風(fēng)速較大時(shí)，力F較大，豎直方向滿足F1F拉2+G風(fēng)箏上升。此時(shí)應(yīng)該將風(fēng)箏線放出，使水平方向滿足F2T1，風(fēng)箏遠(yuǎn)離。風(fēng)箏上升到一定高度和距離，風(fēng)箏線重力大大增加，使得拉力F拉大大增加，而且風(fēng)箏和豎直方向的角度減小，使得分力T2大大增加，當(dāng)達(dá)到F1-F拉2-G0時(shí)風(fēng)箏就不再上升，而是穩(wěn)定在空中。風(fēng)箏剛放飛時(shí)，地面附近風(fēng)速常常較小，往往需要人為助跑來加大空氣動(dòng)力F以滿足上升的條件，這里應(yīng)用了相對(duì)運(yùn)動(dòng)的原理。5.2 風(fēng)箏平衡的原理5.2.1受力平衡的分析當(dāng)風(fēng)箏飛行一段時(shí)間后，隨著風(fēng)力影響下風(fēng)箏飛行角度的變化，風(fēng)箏的風(fēng)行有逐漸趨向平衡的趨勢(shì)。下面想就這一趨勢(shì)進(jìn)行數(shù)學(xué)力學(xué)原理上的研究。圖 1風(fēng)箏線的

8、受力首先我們對(duì)風(fēng)箏進(jìn)行受力分析，在風(fēng)箏平衡時(shí)，其在豎直方向的加速度為0，根據(jù)牛頓第二定律：F人G繩F拉F拉G風(fēng)箏F 空氣圖 2風(fēng)箏的受力（1）F空氣cos=F拉sin+m風(fēng)箏gF空氣sin-F拉cos=m風(fēng)箏a1（2）對(duì)風(fēng)箏線進(jìn)行受力分析 F拉cos-F人cos=m繩a2F拉sin-F人sin=m繩g因?yàn)轱L(fēng)箏與風(fēng)箏線在本過程中為整體的，他們的加速度相等，所以a1=a2（3）將（1）（2）方程組解出得到tan=F 拉 sin-m繩 gF拉cos-m繩a（4）將a代人后，可得tan=m風(fēng)箏F 拉 sin-m風(fēng)箏m繩 g（m繩+m風(fēng)箏）F拉cos-m繩F空sin 對(duì)于空氣對(duì)風(fēng)箏的力，我們運(yùn)用空氣動(dòng)力

9、學(xué)的原理進(jìn)行簡(jiǎn)單討論，我們可以認(rèn)為在空中飛行的風(fēng)箏是不動(dòng)的，而空氣以同樣的速度流過風(fēng)箏。圖 3我們把風(fēng)箏飛行速度在參考平面上的投影與水平線之間的夾角，稱為迎角，用表示。類比于飛機(jī)的機(jī)翼進(jìn)行分析，由上圖可知，機(jī)翼的壓強(qiáng)分布與迎角有關(guān)。在迎角為零時(shí)，上下表面雖然都受到吸力，但總的空氣動(dòng)力合力F空氣并不等于零。隨著迎角的增加，上表面吸力逐漸變大，下表面由吸力變?yōu)閴毫Γ谑强諝鈩?dòng)力合力F空氣迅速上升，與此同時(shí)，翼型上表面后緣的渦流區(qū)也逐漸擴(kuò)大。在一定迎角范圍內(nèi)，F(xiàn)空氣是隨著迎角的增加而上升的。但當(dāng)大到某一程度，再增加迎角，升力不但不增加反而迅速下降，這種現(xiàn)象我們叫做“失速”。失速對(duì)應(yīng)的迎角就叫做“臨界

10、迎角”或“失速迎角”將其類比于風(fēng)箏，我們可以認(rèn)為由于F空氣隨的變化而變化，它在垂直于迎面氣流方向上的分力F升也隨的變化而（5）F升=12GL0v2s 升力系數(shù)CL隨迎角變化的曲線稱為升力曲線（圖）。（6）將其帶入（3）式，得到風(fēng)箏受風(fēng)角度與線的長(zhǎng)度的初步函數(shù)關(guān)系tan=m風(fēng)箏F 拉 sin-m風(fēng)箏m繩 g（m繩+m風(fēng)箏）F拉cos-m繩12GLv2sin 圖 4升力系數(shù)曲線圖 5升力系數(shù)曲線（5）tan=F空氣cos-m風(fēng)箏g-m線gF空氣sin-m線a-m風(fēng)箏a 整理（4）式，將 m線 移到一邊，得到：（6）m線=tanF空氣sin-tanm風(fēng)箏a-F空氣cosatan-g其中，m線= sl

11、，為風(fēng)箏線的密度，s為線的橫截面積，l為線的長(zhǎng)度。所以，又得到：l = tanF空氣sin-tanm風(fēng)箏a-F空氣coss（atan-g） （7） 5.2.2參數(shù)處理的用線性模型我們進(jìn)行微元，假設(shè)每一t 時(shí)間內(nèi)的與是恒定的，成線性關(guān)系，水平加速度a隨時(shí)間不變的，即+=a=a0（7）可以將（6）式換成如下形式：l=msm繩=tanF空氣sin-tanm風(fēng)箏a-F空氣cosatan-g （8）=-m線=tan-F空氣sin-tan(-)m風(fēng)箏a-F空氣cosatan-g （9）sl=shsin(-) （10）h=sin(-)sm線 （11）將h和a0代入，可得到，h=sin(-)stan-F空氣s

12、in-tan(-)m風(fēng)箏a0-F空氣cosa0tan-g （12）當(dāng)趨于0時(shí)，h可能達(dá)到一個(gè)最大值，使得風(fēng)箏處于一個(gè)幾乎平衡的狀態(tài)。（13）hmax=lim0sin(-)stan-F空氣sin-tan(-)m風(fēng)箏a0-F空氣cosa0tan-g =sin(-tanm風(fēng)箏a0-F空氣+m風(fēng)箏g）s(a0tan-g) 若有相應(yīng)的數(shù)據(jù)，我們可以通過檢驗(yàn)?zāi)M出參數(shù)，并利用另一部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行靈敏性分析 5.2.3力矩平衡的分析還有利用類似于飛機(jī)垂直尾翼的原理，增加與風(fēng)箏平面垂直方向的投影面積的方法，其做法一般都采取使風(fēng)箏面翹起成孤形，如圖6所示，S1為風(fēng)箏有效的迎風(fēng)面積，S2為等效的垂直尾翼面積。圖 6風(fēng)

13、箏受力示意圖當(dāng)風(fēng)箏面以拉線方向?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)軸順時(shí)針或逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)或搖擺時(shí)，兩側(cè)空氣將通過等效垂直尾翼面積產(chǎn)生對(duì)搖擺運(yùn)動(dòng)的阻力，同時(shí)迎面氣流也將產(chǎn)生對(duì)垂直尾翼面積的壓力，前者使搖擺減緩，后者產(chǎn)生回復(fù)力矩。當(dāng)風(fēng)箏在放飛時(shí)受到風(fēng)力后風(fēng)箏面會(huì)彎曲成弧形或用線將風(fēng)箏面事先拉成弧形，都是利用上述原理使風(fēng)箏姿態(tài)穩(wěn)定。 圖 7當(dāng)氣流流過風(fēng)箏時(shí)，可以把作用在風(fēng)箏上的空氣動(dòng)力F空氣分解為垂直其的法向力F空氣1和平行于翼弦的切向力F空氣2 (圖)。我們規(guī)定使翼型抬頭的力矩為正，則空氣動(dòng)力對(duì)F點(diǎn)的力矩可寫為（14）MyPF空氣1(xP-xF)F空氣 (xP-xF) 改用力矩系數(shù)的形式表示為（15）cm=Myp12v2sc

14、=F空氣12v2sxP-xFc=-cL(xP-xF) 式中和分別是壓力中心和任意點(diǎn)F到翼型前緣距離與弦長(zhǎng)比的百分?jǐn)?shù)不但影響F空氣的大小，同時(shí)還改變其作用點(diǎn)(壓力中心)。為此，變換不同的迎角作實(shí)驗(yàn)，求出各個(gè)迎角下對(duì)應(yīng)的升力系數(shù)CL和力矩系數(shù)Cm，畫出Cm與CL曲線，如圖7所示。由該圖可見，當(dāng)CL不太大時(shí)曲線近似呈直線，不同的F可得到不同的斜率。因此總能找到一點(diǎn)，其Cm幾乎不隨CL而變化，這樣的點(diǎn)在空氣動(dòng)力學(xué)中稱之為焦點(diǎn)(或空氣動(dòng)力中心)。由于升力增加時(shí)，升力對(duì)焦點(diǎn)的力矩不變，因此，焦點(diǎn)實(shí)質(zhì)上是迎角增加時(shí)升力增量的作用點(diǎn)。（16）（17） 可見壓力中心并非焦點(diǎn)，它是隨CL的增大而前移，并逐漸接近焦點(diǎn)。 六、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1模型的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)1.我們運(yùn)用空氣動(dòng)力學(xué)，考慮了風(fēng)箏和飛機(jī)模型之間的聯(lián)系，使空氣對(duì)風(fēng)箏的影響更為精確，模型應(yīng)用更為廣泛。 2.考慮了受力平衡對(duì)風(fēng)箏水平運(yùn)動(dòng)的影響，和力矩對(duì)風(fēng)箏轉(zhuǎn)動(dòng)平衡的影響，使飛機(jī)平衡的分析有多個(gè)維度。缺點(diǎn)：很多參數(shù)缺乏數(shù)據(jù)支撐，無(wú)法進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。