高考數(shù)學(xué)解答題專題攻略——數(shù)列

1、2009高考數(shù)學(xué)解答題專題攻略-數(shù)列一、08高考真題精典回顧：1.（全國一22）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)數(shù)列滿足，（）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；（）證明：；（）設(shè)，整數(shù)證明：解析：（）證明：，故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)；（）證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時(shí)，由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，即成立；（）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即那么當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間是增函數(shù)，得.而，則，也就是說當(dāng)時(shí)，也成立；根據(jù)（）、（）可得對任意的正整數(shù)，恒成立. （）證明：由可得1.若存在某滿足，則由知：2.若對任意都有，則，即成立.2.（全國二20）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知，（）

2、設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求的取值范圍解：（）依題意，即，由此得4分因此，所求通項(xiàng)公式為，6分（）由知，于是，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又綜上，所求的的取值范圍是12分3.（四川卷20）（本小題滿分12分） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（）證明：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；（）求的通項(xiàng)公式解：由題意知，且兩式相減得即 （）當(dāng)時(shí)，由知于是又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。（）當(dāng)時(shí)，由（）知，即 當(dāng)時(shí)，由由得因此得二、09高考數(shù)列分析與預(yù)測：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考考查的重點(diǎn)。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn)，所以我們在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)給予重視。近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識、

3、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學(xué)生的各種能力。解答題大多以考查數(shù)列內(nèi)容為主，并涉及到函數(shù)、方程、不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目.有關(guān)數(shù)列題的命題趨勢（1）有關(guān)數(shù)列的基本問題，這類題圍繞等差、等比數(shù)列的基本知識、基本公式、基本性質(zhì)命題，難度不大，考生應(yīng)注意基本方法的訓(xùn)練，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)。（2）數(shù)列是特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認(rèn)識函數(shù)和數(shù)列的重要工具，三者的綜合求解題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn)，而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來高考命題的新熱點(diǎn)（3）數(shù)列推理題是新出現(xiàn)的命題熱點(diǎn).以往高考常使用主體幾何題來考查邏

4、輯推理能力，近兩年在數(shù)列題中也加強(qiáng)了推理能力的考查。（4）與導(dǎo)數(shù)、平面向量、概率等新知識相結(jié)合也不可忽視。復(fù)習(xí)關(guān)鍵點(diǎn)： (1)理解數(shù)列的概念，特別注意遞推數(shù)列，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)、公式及公式的延伸，應(yīng)用性質(zhì)解題，往往可以回避求首項(xiàng)和公差或公比，使問題得到整體解決，能夠減少運(yùn)算量，應(yīng)引起考生重視。(2)解決數(shù)列綜合問題要注意函數(shù)思想、分類論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等。注重?cái)?shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等其他知識的綜合。(3)重視遞推數(shù)列和數(shù)列推理題的復(fù)習(xí)。(4)數(shù)列應(yīng)用題注意增長率、銀行信貸、養(yǎng)老保險(xiǎn)、環(huán)保、土地資源等，首先要分析題意，建立數(shù)列模型，再利用數(shù)列知識加以解決。不管數(shù)列與

5、哪一部分知識內(nèi)容交匯，數(shù)列自身的內(nèi)容仍是考生重點(diǎn)掌握的。對數(shù)列自身來講，主要有以下體型：一、求數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要方法有：（1）利用與的關(guān)系（2）利用遞推關(guān)系包括累加法，累乘法，構(gòu)造數(shù)列二、求數(shù)列的前n項(xiàng)和，主要方法有：（1）倒序相加法（2）錯(cuò)位相減法（3）裂項(xiàng)法（4）分組法三、判斷一個(gè)數(shù)列是等比或等差數(shù)列，完全依據(jù)等差、等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明。這是解決好數(shù)列問題的重中之重.三、高考熱點(diǎn)新題：1.設(shè)是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在等比數(shù)列，使對一切正整數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論（3）設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小2.已知數(shù)列滿足關(guān)系：， （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)

6、列；（2）證明：；（3）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，是否有確定的大小關(guān)系？若有，加以證明；若沒有，請說明理由。3.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足對一切,有，其中.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;() 求證: 當(dāng)時(shí), .4某企業(yè)2008年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+)萬元（n為正整數(shù)）. （1）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤為An萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤為Bn萬元（

7、須扣除技術(shù)改造資金），求An、Bn的表達(dá)式；（2）依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤？5.已知數(shù)列滿足：，且（1）設(shè)，證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明.6.設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和滿足，且，S2=6；函數(shù)，且（1）求A； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若四、高考熱點(diǎn)新題參考答案：1解：（1）得，相減并整理為又由于，則，故是等差數(shù)列，故 （2）當(dāng)時(shí)，可解得，猜想使成立下面證明恒成立令 可得（3）則，故說明：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列和的求法以及不等式的內(nèi)容。涉及運(yùn)算能力，邏輯思維能力，猜

8、想能力等。2解：（1） 故是等比數(shù)列。 （2） 由及： （3）當(dāng)時(shí)，相加得： 故時(shí)，. 3解：()對一切有，即 , () 由及兩式相減,得: 是等差數(shù)列,且, . 說明:本小題也可以運(yùn)用先猜后證(數(shù)學(xué)歸納法)的方法求解. () 由,知,因此,只需證明. 當(dāng)或時(shí),結(jié)論顯然成立.當(dāng)時(shí),所以,原不等式成立.4.本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列、函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力，考查函數(shù)與方程思想和應(yīng)用意識.解: (1)依題意知，數(shù)列是一個(gè)以500為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列，所以， (2)依題意得，即，化簡得，可設(shè)，又，可設(shè)是減函數(shù)，是增函數(shù)，又,則時(shí) 不等式成立，即4年答：略 5解：(1) ,為等差數(shù)列 (2)由(1),從而 (3),當(dāng)時(shí),不等式的左邊=7,不等式成立所有當(dāng)時(shí), 故只要證, 如下用數(shù)學(xué)歸納法給予證明:當(dāng)時(shí),時(shí),不等式成立;假設(shè)當(dāng)時(shí),成立當(dāng)時(shí), 只需證: ,即證: 令,則不等式可化為:即令,則在上是減函數(shù)又在上連續(xù),