圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用尹建堂 一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)源于它的切線和法線的性質(zhì)，因而為正確理解與掌握其光學(xué)性質(zhì)，就要掌握其切線、法線方程的求法及性質(zhì)。設(shè)P（）為圓錐曲線（A、B、C不同時為零）上一定點，則在該點處的切線方程為： 。（該方程與已知曲線方程本身相比，得到的規(guī)律就是通常所說的“替換法則”，可直接用此法則寫出切線方程）。該方程的推導(dǎo)，原則上用“法”求出在點P處的切線斜率，進而用點斜式寫出切線方程，則在點P處的法線方程為 。1、拋物線的切線、法線性質(zhì)  經(jīng)過拋物線上一點作一條直線平行于拋物線的

2、軸，那么經(jīng)過這一點的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。如圖1中。  事實上，設(shè)為拋物線上一點，則切線MT的方程可由替換法則，得，即，斜率為，于是得在點M處的法線方程為    令，得法線與x軸的交點N的坐標為，  所以  又焦半徑  所以，從而得即當點M與頂點O重合時，法線為x軸，結(jié)論仍成立。所以過M的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。也可以利用點M處的切線方程求出，則，又故，從而得也可以利用到角公式來證明拋物線的這個性質(zhì)的光學(xué)意義是：“從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線

3、上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸”。 2、橢圓的切線、法線性質(zhì)  經(jīng)過橢圓上一點的法線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角。如圖2中  證明也不難，分別求出，然后用到角公式即可獲證。  橢圓的這個性質(zhì)的光學(xué)意義是：“從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上”。3、雙曲線的切線、法線性質(zhì)  經(jīng)過雙曲線上一點的切線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角，如圖3中。仍可利用到角公式獲證。    這個性質(zhì)的光學(xué)意義是：“從雙曲線的一個焦點發(fā)出

4、的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣”。 二、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用光學(xué)性質(zhì)在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)上有著廣泛地應(yīng)用。這里僅舉例說明這些光學(xué)性質(zhì)在解圓錐曲線的有關(guān)問題中的應(yīng)用。    應(yīng)用圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)解題，特別是切線問題是十分方便的。其間要注意一個基本關(guān)系式的應(yīng)用，即“過投射點的曲線的切線與入射線、反射線成等角”。如圖4，MN切曲線C于點P，則APMBPN。這是很容易由物理學(xué)的“入射角等于反射角”及平面幾何中“等角的余角相等來證明的。例1  求證：橢圓和雙曲線在交點處的切線互相垂直。&#

5、160; 分析：如圖5，用圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)證明1390°即可。  證明：如圖5，兩曲線的公共焦點，設(shè)P為兩曲線的一個交點，PQ、PR分別為橢圓、雙曲線的切線，連，并延長，由橢圓光學(xué)性質(zhì)，推得12；由雙曲線光學(xué)性質(zhì)，得34。  又25，46（對頂角相等），  所以15，36（等量代換）。  又1356180°，  所以1390°，即PQPR，命題得證。  評注：（1）本題也可采用代數(shù)運算證出的方法來證明，但比較復(fù)雜。這里采用光學(xué)性質(zhì)證明法

6、則直觀簡捷。（2）由本題得到一個一般性命題：焦點相同的一個橢圓與一雙曲線在交點處的切線互相垂直，于是有定義：兩圓錐曲線在交點處的兩條切線互相垂直，叫做這兩曲直交。 例2  如圖6，已知是橢圓的焦點，分別是在橢圓任一切線CD上的射影。（1）求證：為定值；（2）求的軌跡方程。分析：（1）欲證為定值，即證為定值（由光學(xué)性質(zhì)推得），從而知應(yīng)用余弦定理于即可獲證。）（2）求出分別為定值即知其軌跡，易得軌跡方程。證明：（1）設(shè)Q為切線，由橢圓光學(xué)性質(zhì)推知設(shè)為，則所以又，則在中，則所以為常數(shù)，即定值。（2）設(shè)點O在CD上的射影為M，則OM是直角梯形的中位線，于是有。在中，同理所

7、以的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，其方程為 例3  設(shè)拋物線的焦點為F，以F與A（4，4）為焦點作橢圓，使其與已知拋物線有公共點（如圖7），當長軸最短時，求橢圓方程。  分析：求解的關(guān)鍵是光線FP的反射線PA平行于x軸。  解：設(shè)以點A（4，4）、F（4，0）為焦點的橢圓為（a為長半軸長）。  再設(shè)P 為拋物線與橢圓的公共點，  由橢圓第一定義知：          

8、0;  即長軸長2a等于拋物線上一點P到兩定點A、F距離之和，若2a最小，當且僅當橢圓與拋物線相切。此時，由圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)知，光線FP的反射線PA平行于x軸。  所以P（1，4）。由知  所以所求的橢圓方程為 例4  如圖8，已知探照燈的軸截面是拋物線，平行于對稱軸的光線于此拋物線上的入射點、反射點分別為P、Q，設(shè)點P的縱坐標為，當a為何值時，從入射點P到反射點Q的路程PQ最短？  分析：設(shè)，由拋物線光學(xué)性質(zhì)知PQ過焦點，故可用弦長公式建立目標函數(shù)，求出最小值條件a即可。  解：由拋物線光學(xué)性質(zhì)知光線PQ必過其焦點，設(shè)點，則直線PQ的方程為                       將方程代入，消去x，得