數(shù)學(xué)分布(泊松分布、二項分布、正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布)+生存分析+貝葉斯概率公式+全概率公式

1、數(shù)學(xué)期望：隨機(jī)變量最基本的數(shù)學(xué)特征之一。它反映隨機(jī)變量平均取值的大小。又稱期望或均值。它是簡單算術(shù)平均的一種推廣。例如某城市有10萬個家庭，沒有孩子的家庭有1000個，有一個孩子的家庭有9萬個，有兩個孩子的家庭有6000個，有3個孩子的家庭有3000個， 則此城市中任一個家庭中孩子的數(shù)目是一個隨機(jī)變量，記為X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率為0.01，取1的概率為0.9，取2的概率為0.06，取3的概率為0.03，它的數(shù)學(xué)期望為0×0.011×0.92×0.063×0.03等于1.11，即此城市一個家庭平均有小孩1.11個，用數(shù)學(xué)式子表示為：E(

2、X)=1.11。也就是說，我們用數(shù)學(xué)的方法分析了這個概率性的問題，對于每一個家庭，最有可能它家的孩子為1.11個?？梢院唵蔚睦斫鉃榍笠粋€概率性事件的平均狀況。各種數(shù)學(xué)分布的方差是：1、 一個完全符合分布的樣本2、 這個樣本的方差概率密度的概念是：某種事物發(fā)生的概率占總概率(1)的比例,越大就說明密度越大。比如某地某次考試的成績近似服從均值為80的正態(tài)分布，即平均分是80分，由正態(tài)分布的圖形知x=80時的函數(shù)值最大，即隨機(jī)變量在80附近取值最密集，也即考試成績在80分左右的人最多。下圖為概率密度函數(shù)圖(F(x)應(yīng)為f(x)，表示概率密度)：離散型分布：二項分布、泊松分布連續(xù)型分布：指數(shù)分布、正態(tài)

3、分布、X2分布、t分布、F分布抽樣分布抽樣分布只與自由度，即樣本含量（抽樣樣本含量）有關(guān)二項分布（binomial distribution）：例子拋硬幣1、 重復(fù)試驗（n個相同試驗，每次試驗兩種結(jié)果，每種結(jié)果概率恒定伯努利試驗）2、3、 P(X=0), P(X=1), P(X=3), .所有可能的概率共同組成了一個分布，即二項分布泊松分布（possion distribution）：1、 一個單位內(nèi)（時間、面積、空間）某稀有事件2、 此事件發(fā)生K次的概率3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), .所有可能的概率共同組成了一個分布，即泊松分布二項分布與泊松分布的關(guān)系：二項分布在事件發(fā)

4、生概率很小，重復(fù)次數(shù)n很大的情況下，其分布近似泊松分布均勻分布(uniform distribution)：分為連續(xù)型均勻分布和離散型均勻分布離散型均勻分布：1、 n種可能的結(jié)果2、 每個可能的概率相等(1/n)連續(xù)型均勻分布：1、 可能的結(jié)果是連續(xù)的2、 每個可能的概率相等()連續(xù)型均勻分布概率密度函數(shù)如下圖：指數(shù)分布（exponential distribution）：用來表示獨立隨機(jī)事件發(fā)生的時間間隔，比如旅客進(jìn)機(jī)場的時間間隔、中文維基百科新條目出現(xiàn)的時間間隔等等。指數(shù)分布常用于各種“壽命”分布的近似。1、連續(xù)型分布，每個點的概率：2、無記憶性。已經(jīng)使用了s小時的元件，它能再使用t小時的

5、概率，與一個從未使用過的元件使用t小時的概率相同。即它對已經(jīng)使用過的s小時沒有記憶。指數(shù)分布的概率密度函數(shù)如下圖：正態(tài)分布（normal distribution）：又稱高斯分布。1、 描述一個群體的某個指標(biāo)。2、 這個指標(biāo)是連續(xù)的。3、 每個特定指標(biāo)在整個群體中都有一個概率（）。4、 所有指標(biāo)概率共同組成了一個分布，這個分布就是正態(tài)分布。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)如下圖：中心極限定理：不論總體的分布形式如何（正態(tài)或非正態(tài)），只要樣本（抽樣樣本）含量n足夠大時，樣本均數(shù)的分布就近似正態(tài)分布，且均數(shù)與總體均數(shù)相等，標(biāo)準(zhǔn)差為（總體標(biāo)準(zhǔn)差）/（n的開方）。中心極限定理使得t分布、F分布和X2分布在抽樣樣

6、本含量很大時不需要對總體樣本是否正態(tài)有要求。t分布（student t distribution）: 1、t分布是以0為中心的一簇曲線，每個自由度決定一個曲線2、自由度是一個抽樣小樣本中的具體觀測值的個數(shù)（抽樣樣本含量）-13、總體樣本呈正態(tài)分布（抽樣樣本含量較小時，要求總體樣本呈正態(tài)分布，如果抽樣樣本含量很大（eg. n >= 100），由中心極限定理可知抽樣樣本均數(shù)也近似正態(tài)分布，因而“差值”的概率也呈正態(tài)分布，而t分布的每一條曲線實際上都是正態(tài)分布曲線）4、從一個總體樣本中抽取很多個小樣本抽樣5、每個小樣本都有一個均值6、每個小樣本的均值與總體樣本均值有一個差值，這個差值用t估計7

7、、可能有多個小樣本的差值估計都是t，t出現(xiàn)的次數(shù)占所有小樣本的比例可以用一個概率衡量8、所有t值的概率組成一個分布，就是t分布的一個曲線9、另外做一個抽樣，每個小樣本包含的觀測值不同，則形成t分布的另外一個曲線10、自由度越大，則曲線越接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布11、t分布只與自由度相關(guān)t分布的概率密度函數(shù)如下圖（v為自由度）：X2分布（chi square distribution）：1、X2分布也是一簇曲線，每個自由度決定一個曲線2、自由度是一個抽樣小樣本中的具體觀測值的個數(shù)（抽樣樣本含量）-12、總體樣本呈正態(tài)分布（抽樣樣本含量（n）較小時，要求總體樣本呈正態(tài)分布）3、從總體樣本中抽取n個觀測值

8、：z1，z2，z3抽樣4、將它們平方后求和，這個和用一個新變量表示，即X25、重復(fù)抽樣并獲得多個X2：X12，X22，X32，X426、可能有多次抽樣的X2值相同，同一個X2值的抽樣次數(shù)占總次數(shù)的比例可以用一個概率表示7、所有的概率值共同組成一個分布，就是X2分布的一條曲線8、另外做一次，只要從總體中選取觀測值數(shù)目n不同，得到的就是另外一條曲線10、自由度越大，則曲線越接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布11、X2分布只與自由度相關(guān)X2分布的概率密度函數(shù)如下圖（n在這里為自由度）：F分布（F-distribution）：1、F分布也是一簇曲線，每對自由度決定一個曲線2、自由度是一個抽樣小樣本中的具體觀測值的個數(shù)

9、（抽樣樣本含量）-12、兩總體樣本方差比的分布3、總體樣本呈正態(tài)分布（抽樣樣本含量（n）較小時，要求總體樣本呈正態(tài)分布）4、從總體樣本中抽取兩個樣本， 兩個樣中的觀測值數(shù)目可相同也可不同，分別記為n1和n25、分別計算出X2：X1，X26、構(gòu)建一個新變量F：7、重復(fù)抽取樣本，計算多個F值：F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3.8、可能有多次抽樣的F值相同，同一個F值的抽樣次數(shù)占總次數(shù)的比例可以用一個概率表示9、所有的概率值共同組成一個分布，就是F分布的一條曲線10、另外做一次，只要從總體中選取觀測值數(shù)目n不同，得到的就是另外一條曲線10、兩個自由度越大，則曲線越接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布11、F分布只與自由度相關(guān)F分布的

10、概率密度函數(shù)如下圖（m，n在這里為自由度）：【在推估總體平均值時，基于樣本平均數(shù)的抽樣分布】 t分布【在用樣本方差來推估總體方差時，必須知道樣本方差的抽樣分布】 X2分布【比較兩個總體的方差是否相等時，必須知道樣本方差的聯(lián)合抽樣分布】 F分布生存分析（survival analysis）：1、 多種影響慢性疾病的因素（不同手術(shù)方法、不同藥物）2、 隨訪一群患者3、 一段時間后統(tǒng)計生存和死亡3、最終給出的結(jié)果是一個評價各種因素對生存時間的影響（生存時間、生存率有無差異）貝葉斯公式（bayes formula）：1、 描述兩個條件概率之間的關(guān)系P(Bi|A)與P(A|Bi)，A為事件，Bi 為一個劃分2