九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：圖形與圖形的變換

1、六、圖彬與圖形的變換.【課標(biāo)要求】(1)圖形的初步認(rèn)識(shí)直觀認(rèn)識(shí)立體圖形、視圖、展開圖.直觀認(rèn)識(shí)平面圖形，了解圖形的分割與組合.正確理解兩點(diǎn)間的距離和含義，掌握點(diǎn)、線段、直線、射線的表達(dá)方式.能認(rèn)識(shí)線段間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)會(huì)比較線段的大小，理解“線段的和差也是線段”這一事實(shí).理解角的兩種定義，正確認(rèn)識(shí)角與角之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)會(huì)比較角的大小，理解角的 和、差及角平分線的概念.正確認(rèn)識(shí)互為余角和補(bǔ)角的概念以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.理解垂線的概念并能用三角尺、量角器過一點(diǎn)畫已知直線的垂線；理解點(diǎn)到直線的距離，并能度量點(diǎn)到直線的距離.理解同位角，內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的概念，并學(xué)會(huì)識(shí)別它們.理解平行線的概念，認(rèn)識(shí)平

2、行線的特征，會(huì)用三角尺、直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條 已知直線的平行線，并會(huì)識(shí)別實(shí)際生活與數(shù)學(xué)圖形中的平行線.(2)軸對(duì)稱通過生活中的具體實(shí)例認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱的概念.理解并熟練應(yīng)用線段、角、圓等圖形的軸對(duì)稱性.能按要求畫出簡單平面圖形的軸對(duì)稱圖形.能利用軸對(duì)稱進(jìn)行圖案的設(shè)計(jì).能運(yùn)用等腰三角形的兩底角相等，三線合一進(jìn)行簡單證明和計(jì)算.熟練掌握并能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)解題.(3)平移和旋轉(zhuǎn)通過實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的平移變換，掌握下列基本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等；對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等；平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小.能按要求作出簡單的平面圖形平移后的圖形，注意平移的方向和距離.通過具

3、 體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的旋轉(zhuǎn)變換，掌握下列基本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小.認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，并能按要求作出簡單的平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，注意旋轉(zhuǎn)中心， 旋轉(zhuǎn)角度，旋轉(zhuǎn)方向.通過實(shí)例認(rèn)識(shí)中心對(duì)稱，并掌握下列基本性質(zhì)：連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)和線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分；中心稱圖形是旋轉(zhuǎn)角度為180 口的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.靈活應(yīng)用軸對(duì)稱、平移與旋轉(zhuǎn)或它們的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì).認(rèn)識(shí)和欣賞這些圖形變換在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.在觀察、操作、推理、歸納等探索過 ，程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù) 學(xué)說理的習(xí)慣與能力.【課時(shí)分布】圖形與圖形

4、的變換在第一輪復(fù)習(xí)時(shí)大約需要5個(gè)課時(shí)，其中包括單元測(cè)試.下表為內(nèi)容及課時(shí)安排（僅供參.考）課時(shí)數(shù)內(nèi)容1基本圖形的認(rèn)識(shí)1軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形1平移與旋轉(zhuǎn)2圖形與圖形的變換測(cè)試與析評(píng)【知識(shí)回顧】1、知識(shí)脈絡(luò)圖形的初步認(rèn)識(shí)圖形之間的變換關(guān)系軸對(duì)稱平移旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心對(duì)稱2、基礎(chǔ)知識(shí)兩點(diǎn)之間線段最短；連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.視圖有正視圖、俯視圖、側(cè)視圖（左視圖、右視圖）平行線間的距離處處相等.平移是由移動(dòng)的方向和距離決定的.平移的特征：對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等；連結(jié)對(duì)應(yīng)的線段平行（或共線）且相等；對(duì)應(yīng)角分別相等；平移后的圖形與原圖形全等.圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度和旋

5、轉(zhuǎn)方向決定.旋轉(zhuǎn)的特征：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；每一點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了相同的角度；旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等.3.能力要求例1.如圖1,修筑同樣寬的兩條“之”字路，余下的部分作為耕地，若要使耕地的面積為540米2,則道路的寬應(yīng)是米？2020m32m圖132【分析】嘗試把道路平移一下， 化不規(guī)則圖形為有序規(guī)則圖形，問題就迎刃而解了.【解】將橫向道路位置平移至最下方，將縱向道路位置平移至最左方，設(shè)道路寬為x米，則有32x+(20 x) x = 32父 20540 ,整理，得 x2 -52x 100 =0(x-50)(x-2) =0,Xi =50 (不合題意，舍去)，道

6、路寬應(yīng)為2米.【變式】如圖是陽光廣告公司為某種商品設(shè)計(jì)的商標(biāo)圖案，若每個(gè)小長方形的面積都是1,則圖中陰影部分的面積是答案為5例2.如圖是一個(gè)臺(tái)球桌(1)若擊球者想通過擊打 E球，讓E球先撞上邊，反彈后再撞擊F球，他應(yīng)將E球打到邊上的哪一點(diǎn)？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出這一點(diǎn)，并說明是如何確定的？(2)若擊球者想讓 E球先撞邊，再撞邊，反彈后撞上 G球，他應(yīng)將E球打在邊上的哪(2)分別作球關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E,球G關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G,連結(jié)E,G交于P,交于Q點(diǎn)P、Q即為所求的點(diǎn)(如圖(2).【說明】本題利用了兩點(diǎn)之間線段最短的原理及中垂線的性質(zhì)來解決實(shí)際生活中的問題.這是中考中?？嫉囊环N題型，在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起足夠的重視.例

7、3.如圖和，在20X 20的等距網(wǎng)絡(luò)(每格的寬和高均為 1個(gè)單位長)中，RtAABC 從點(diǎn)A與點(diǎn)M重合的位置開始，以每秒 1個(gè)單位長的速度先向下平移，當(dāng)邊與網(wǎng)格的底 部重 合時(shí)，繼續(xù)以同樣的速度向右平移，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)P重合時(shí)，RUABC停止移動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，AQAC的面積為y.(1)如圖，當(dāng) RUABC向下平移到 RtAA1B1cl的位置時(shí)，請(qǐng)你在網(wǎng)格中畫出Rt M1B1C1關(guān)于直線成軸對(duì)稱的圖，形；(2)如圖，在 RUABC向下平移的過程中，請(qǐng)你求出 y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說明 當(dāng)x分別取何值時(shí)，y取最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？(3)在RtAABC向右平移的過程中，請(qǐng)你說明

8、當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值和最小值？ 最大值和最小值分別是多少？為什么？【分析】解本題的關(guān)鍵是排除網(wǎng)格的干擾，能抽象出網(wǎng)格中的四邊形、三角形；對(duì)于(2)y =S 梯形 QMBC -SMQ S&B5；對(duì)于(3) y = S梯形 baqp - Spq - S&bc，應(yīng)注意自變量的取值范圍，在其約束條件下求函數(shù)最值.【解】(1)略.(2) MA=x,MB =x + 4,MQ=20, y = S梯形 qmbc 一 S&mq 一 Sbc1, 一 、 1 “1-(0 w x w16)(4 20)(x 4)20x4 4 = 2x 40222由一次函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng) x = 0時(shí)，y最小=40；當(dāng)x = 16時(shí)

9、，y最大=72.(3)當(dāng) 16wxw32 時(shí)，PB =20 _(x _16) =36 _x, PC = PB _4 = 32 _x111.所以 y = S 梯形 BAQP SCPQ S. ABC- 2 (420)(36 x) -220 (32rx)244=2x+104 (16w xw 32)新i 課標(biāo) i第 li 網(wǎng)由一次函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng) x=32時(shí)，y最小=40；當(dāng)x = 16時(shí)，y最大=72.例4.如圖，一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，那么沿哪條路最近？最短路程是多少？已知長方體的長為 2,寬為1,高為4.A【解】根據(jù)題意，如上圖所示，最短路徑有以下三種情況:（1）沿 AA，AC

10、, CB, BB剪開，得圖（1）AB 2 = AB2 BB 2 =(2 1)2 42 = 25(2)沿 AC,CC：CB：BD：D A：AA剪開,得圖(2)AB 2 =AC2 B C2 =22 (4 1)2 =4 25 =29(3)沿 AD, DD : BD ：C B,C A： AA剪開，得圖(3)AB 2 = AD 2 B D2 = 12 (4 2)2 = 1 36 = 37綜上所述，最短路徑應(yīng)為（1）所示，所以 AB2 =25,即AB = 5,答：最短路徑為（1）所示5.【說明】長方體中的最短路徑問題要比圓柱體中的最短路徑問題復(fù)雜，因?yàn)槠湔归_圖有 三種情況，要比較后方能確定，但基本原理是一

11、樣的，需要將立體圖形展開為平面圖形 才能解答，這里我們利用了 “兩點(diǎn)之間線段最短”這個(gè)最樸素的原理，只要掌握了最基 本的原理，無論題目多復(fù)雜，我們都能轉(zhuǎn)化同一類問題，從而解決問題。例5.在矩形ABCD中，如圖，AB = 3, BC = 4,將矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合, 求折痕EF的長.解：連結(jié)CE ,則CE = AE設(shè) AE= x，則 DE = 4x在 Rt中，CE2 =DE2 +DC2所以 x2 =（4 -x）2 3225解得 x = 25-即CE =空8在 Rt AABC 中,AC-.-AB28AC 5由題意知：AO = CO = 一22所以，在 Rt CEO 中，EO = JCE2 -

12、CO2 = 158又因?yàn)镸OE iEOC 所以，OE=OF15所以，EF 2OE w W w K b 1 o M4【說明】圖形翻折后有兩個(gè)全等的直角三角形，本題正是利用直角三角形中的勾股定理 構(gòu)造方程解題，體現(xiàn)了一種常用的數(shù)學(xué)思想和方法一一方程思想及數(shù)形結(jié)合的方法.例6.為了改善農(nóng)民吃水質(zhì)量，市政府決定從新建的水廠A向兩村B、C供水，已知三點(diǎn)A、B、C之間的距離相等，為了節(jié)約成本，降低工程造價(jià)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種最佳方 案，使鋪設(shè)的輸水管道最短.在圖畫出你所設(shè)計(jì)方案的線路圖.解：設(shè) AB = BC = AC =a圖（1）所示方案的線路總長為 AB AC -2a,圖（2） RtAADC 中，AD =

13、Ja2-（1C2 = -a,:22圖（2）所示方案的線路總長為AD BC =(7 1) a2圖(3)延長AO交BC于E ,因?yàn)镺A = OB=OC所以，OE _BC, BE =CE a-,2在RtAOBE中，/BOE =300，設(shè) OE=x, OB=2(所以，x2+(-)2 =(2x)2,所以，x=，a,所以，OB= 263圖（3）所示方案的線路總長為 OA OB OC = 3OB =、/3a比較可知J3av （+1） a 2a,所以，圖（3）所示方案最好. 2【說明】本題是一道方案設(shè)計(jì)型開放題，首先要設(shè)計(jì)出不同的方案，再通過計(jì)算來確定 哪個(gè)方案最好，問題的難點(diǎn)是正確的設(shè)計(jì)出三種不同的方案.例

14、7.將一矩形紙片放在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，C在x軸上，6, 10。（1）如圖，在上取一點(diǎn)E,將AEOC沿折疊，使O點(diǎn)落在邊上的D點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖, 在、邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) E、F,將AEOF沿EF折疊，使O點(diǎn)落在邊上的D點(diǎn)，過D作D G/ y軸，交EF于T點(diǎn)，交于G點(diǎn)，求證：TG = AE. （3）在（2）的條件下， 設(shè)T（x,y）,探求：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；指出自變量 x的取值范圍.（4）如圖，如果將矩形變?yōu)槠叫兴倪呅蜲ABC,使OC = 10, OC邊上的高等于 6,其他條件均不變，探求：這時(shí) T（x, y）的坐標(biāo)y與x之間是否仍然滿足（3）中所得的函數(shù)關(guān)系式？若滿足，請(qǐng)說

15、明理由；若不滿足，寫出你認(rèn)為正確的函數(shù)關(guān)系式.圖【解】（1）方法1：設(shè)或E圖(0, m),則 AE =6 _m,CD =10 ,由勾股定理得 BD =8 ,則 AD =2 ,在 AADE 中,1010由勾股定理得（6m）2+22 =m2解得m=，所以E（0,）.33方法2：設(shè)OE =m或E（0,m）,則AE =6 m,CD =10,由勾股定理得 BD =8,則AD =2,由 ZEDC =/EAD =90口，得 ZAED =NCDB ,所以 AADE ABCD,故68m=3，解得八:所以立吟）.（2）連結(jié)OD交EF于P,由折疊可知EF垂直平分OD,即OP = PD，由OE力DG,所以得出OE=D

16、T,所以AE=TG .2242X + y =(6y),（3）連結(jié)OT ,由（2）可得OT = DT ,由勾股定理可得,1 2整理，得y = x2 +3。結(jié)合（1）可得AD = OG = 2時(shí)，AD最大，即x最大, 12此日G點(diǎn)與F點(diǎn)重合，四邊形 AOFD為正方形，所以x最大為6,即xw6,所以，2 x 6 ,（4） y與x之間仍然滿足（3）中所得函數(shù)關(guān)系式，理由如下：連結(jié) OT,仍然可得222OT =DT ,即x +y =（6y）,所以，（3）中所得的函數(shù)關(guān)系式仍然成立.【說明】這是一道中考?jí)狠S題，綜合應(yīng)用了直角三角形（或相似三角形）、四邊形、方程、函數(shù)等知識(shí)，突出了數(shù)形結(jié)合思想.新課 標(biāo)第一 網(wǎng)【復(fù)習(xí)建議】1 .立足教材，理清概念，注重操作，通