中考總復(fù)習(xí)：整式與因式分解--知識講解(基礎(chǔ))

1、單項式整式的概念多項式整式的加減合力同類項同底數(shù)轅的乘法某的乘方哥的運算枳的乘方同底數(shù)易的除法V零指數(shù)片和負(fù)形數(shù)指數(shù)利正整數(shù)基比較大小的方法乘法公式完全平方公式框式的乘除單項式乘以單項式整式乘法單項式乘以多項式單項式除以單項式多項式乘以電項式整式的混合運算因式分解其他分解方法餌個因 式不能 帶續(xù)分 解為止添括號法辿中考總復(fù)習(xí)：整式與因式分解一知識講解先乘方，再乘除，后加Mr仃括號時I尤算后 嚷的.去括號時，先去小拈丐，再去中人拈【考綱要求】1 .整式部分主要考查哥的性質(zhì)、整式的有關(guān)計算、乘法公式的運用，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；2.因式分解是中考必考內(nèi)容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常

2、滲透在一元二次方程和分式的化簡 中進(jìn)行考查.【知識網(wǎng)絡(luò)】平"是公式Q(a+bXa-b)平力差公式 Ym' -* = S +蟆一封)多項式乘以考項式-O+聯(lián)陽4 m) = m + g + b附+匕鞭完全平方公式-Qa1±2ab+b考點一、整式1 .單項式數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項式.單項式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點是對字母來說只含有乘法的運算，不含有加減運算.在含有除法運算時，除數(shù)(分母)只能是一個具體的數(shù)，可以看成分?jǐn)?shù)因數(shù).單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式.要點詮釋：(1)單項式的系數(shù)是指單項式中的數(shù)字因數(shù).(2)單項式的次數(shù)是指單項式中所有字母的指數(shù)和

3、.2 .多項式幾個單項式的代數(shù)和叫做多項式.也就是說，多項式是由單項式相加或相減組成的.要點詮釋：(1)在多項式中，不含字母的項叫做常數(shù)項.(2)多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù).(3)多項式的次數(shù)是 n次，有m個單項式，我們就把這個多項式稱為n次m項式.(4)把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降 哥排列.另外，把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個 字母升哥排列.3 .整式單項式和多項式統(tǒng)稱整式.4 .同類項所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類項.5 .整式的加減整式的加減

4、其實是去括號法則與合并同類項法則的綜合運用.把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母部分不變 .如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反整式加減的運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.6 .整式的乘除哥的運算性質(zhì)：G/二尸氣隗 虛B是正整數(shù)力(T)* =產(chǎn) 伽、赭B是正整數(shù)%(國“二1方5是正整數(shù)%aK - = 1ssf (s H 0,海 潴B是正整數(shù)，且加 »);tl° = 1

5、(a H 0)；ap =0； 是正整數(shù)y單項式相乘：兩個單項式相乘，把系數(shù)、相同字母分別相乘， 對于只在一個單項式里含有的字母， 則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.單項式與多項式相乘：單項式與多項式相乘，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.用式子表達(dá)：.,多項式與多項式相乘：一般地，多項式乘以多項式，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.用式子表達(dá)：- lhl- L平方差公式：.;以 1:完全平方公式：(a + bf =/+ 2ab + 熱(a - 6)2 - a1 - 2ab +/.在運用乘法公式計算時，有時要在式子中添括號，添括號時，如果括號前面是正

6、號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號單項式相除：兩個單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)哥分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.要點詮釋：(1)同底數(shù)哥是指底數(shù)相同的哥，底數(shù)可以是任意的有理數(shù)，也可以是單項式、多項式(2)三個或三個以上同底數(shù)哥相乘時，也具有這一性質(zhì)，即 am an aP=am*4p ( m, n, p都是正整數(shù)).(3)公式(am)n =amn 的推廣：(am)n)p =amnp (a¥0, m, n

7、, p均為正整數(shù))(4)公式(ab)n =an bn 的推廣：(abc)n =an bn cn ( n為正整數(shù)).考點二、因式分解1 .因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解.2 .因式分解常用的方法(1)提取公因式法： ma mb mc = m(a , b c)(2)運用公式法：平方差公式：a2b2 =(a+b)(ab)；完全平方公式：a2 ±2ab + b2 = (a±b)2(3)十字相乘法：x2 (a b)x ab = (x a)(x b)3 .因式分解的一般步驟(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；(2)提出公因

8、式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；(3)對二次三項式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；(4)最后考慮用分組分解法及添、拆項法 .要點詮釋：(1)因式分解的對象是多項式；(2)最終把多項式化成乘積形式；(3)結(jié)果要徹底，即分解到每個因式都不能再分解為止.(4)十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項系數(shù)a一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號，分解括號里面的二次三項式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號添上【典型例題】類型一、整式的有關(guān)概念及運算.若 3xm+5y2與 x3yn的和是單項式，則 nm4由 3xm+5/2與 x3y的和是單項式得/口 m = -2解得

9、n = 23xm32與x3yn是同類項,nm=2-2=14本題考查同類項定義結(jié)合求解二元一次方程組，負(fù)整數(shù)指數(shù)哥的計算同類項的概念為：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項式【變式】若單項式2a械產(chǎn)鐮+'與口爐是同類項,則 川的值是（） 1A、-3B、-1C、【答案】由題意單項式2d箱1y/z與點站是同類項，所以0-1n - 5 -3,應(yīng)選C.)2- a3=a6C.(-3a2) 3=-9a6D.a5+a3=a8A；選項 選項 選項B為同底數(shù)哥乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加,a2 - a3=a5,所以C為積的乘方，應(yīng)把每個因式分別乘方，再把所得的哥相乘, D為兩個單項式的和，此兩項不是同

10、類項，不能合并，所以選項A為負(fù)指數(shù)哥運算，一個數(shù)的負(fù)指數(shù)哥等于它的正指數(shù)哥的倒數(shù),B錯；（-3a 2）3=-27a6,所以 C錯;D錯；A正確.答案選A.考查整數(shù)指數(shù)募運算.【變式1】下列運算正確的是（）A.二一 -：3a +2。= Si*2 3 J a -a-31【答案】A.2-3 =1 ;8B. a/4 =2 ; C. a2|Ja3 =a5 正確；D. 3a+2a =5a.故選C.【變式2】下列運算中，計算結(jié)果正確的個數(shù)是().(1) a4 a3= a12； (2) a6 + a3=a2；(3)a5+a5=a10；(4)( a3)2=a9；(5)(ab2)2=ab4； (6) 2x=3，2

11、x2A.無 B.1個C.2個 D.3個【答案】A.* 3,利用乘法公式計算：(1)(a+b+c) 2(2)(2a2-3b 2+2)(2-2a 2+3b2)【答案與解析】(1)(a+b+c) 2可以利用完全平方公式，將a+b看成一項，則(a+b+c) 2=(a+b) 2+2(a+b)c+c 2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a 2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a 2-3b2+2)(2-2a 2+3b2)兩個多項式中，每一項都只有符號的區(qū)別，所以，我們考慮用平方差公式，將符號相同的看作公式中的a,將符號相反的項，看成公式中的b,原式=2+(2a 2-3b 2)2-(2

12、a 2-3b 2)=4-(2a2-3b 2) 2=4-4a 4+12a2b2-9b 4.【點評】利用乘法公式去計算時，要特別注意公式的形式及符號特點，靈活地進(jìn)行各種變形.舉一反三：【變式】如果a2+ma+9是一個完全平方式，那么 m=.【答案】利用完全平方公式：(a ±3) 2=a2± 6a+9. m= ± 6.類型二、因式分解 4. (2015春？興化市校級期末)因式分解(1) 9x2-81(2) (x2+y2) 2 - 4x2y2(3) 3x (a - b) - 6y (b - a)(4) 6mn2 - 9m2n - n3.【思路點撥】(1)如果多項式的各項有

13、公因式，那么先提公因式；(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；(3)對二次三項式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；(4)最后考慮用分組分解法及添、拆項法 .【答案與解析】解：(1)原式=9 (x29) =9 (x+3) (x3);(2)原式=(x2+y2+2xy) (x2+y2-2xy) = (x+y) 2 (x-y) 2;(3)原式=3 (a- b) (x+2y);(4)原式=一n (9m2+n26mn) = - n (3m n) 2.【點評】把一個多項式進(jìn)行因式分解，首先要看多項式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否還可以繼續(xù)進(jìn)行分解，

14、是否可以利用公式法進(jìn)行分解，直到不能進(jìn)行分解為止【變式】(2015春？陜西校級期末)分解因式:,、，一 、2, 一、 2(1) (2x+y)- ( x+2y)(2) - 8a2b+2a3+8ab2.【答案】解：(1)(2)原式=(2x+y) + (x+2y) (2x+y) ( x+2y) =3 (x+y) (xy); 原式=2a (a2-4ab+4b2) =2a (a- 2b) 2A. 1B. -1C. ,1D. 2-y2 +mx +5y-6能分解為兩個一次因式的積，則m的值為()(1) x+y-2x+y-3x-yx-y由(1)可得:由(2)可得:m = 1, m = -1.【思路點撥】對二元

15、二次多項式分解因式時，要先觀察其二次項能否分解成兩個一次式乘積，再通過待定系數(shù) 法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法.【答案】C.【解析】解：x2 - y2 mx 5y -6 : x y x - y mx 5y - 6-6 可分解成(-2產(chǎn)3或(-3產(chǎn)2 ,因此，存在兩種情況:故選擇C.【總結(jié)升華】 十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項系數(shù)a一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù),則提出負(fù)號，分解括號里面的二次三項式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號添上.舉一反三：【變式】因式分解：6x2 -7x -5=.【答案】6x2 -7x -5 = 2x 1 3x -5類型三、因式分解與其他知識的綜合運用6.已知a、b、c是 ABC的三邊的長，且滿足：a 2+2b2+c2-2b(a+c)=0,試判斷此