《高等數學A(2)》教學大綱

1、高等數學A（2）教學大綱課程編號：1021750總學時：72學分：4.5基本面向：全院非理工學門類本科各專業(yè)、49專業(yè)所屬單位：數理學院高等數學教研室一、本課程的目的、性質及任務 數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學。隨著現代科學技術和數學科學的發(fā)展，“數量關系”和“空間形式” 具備了更豐富的內涵和更廣泛的外延?，F代數學內容更加豐富，方法更加綜合，應用更加廣泛。數學不僅是一種工具，而且是一種思維模式；不僅是一種知識，而且是一種素養(yǎng)；不僅是一種科學，而且是一種文化，能否運用數學觀念定量思維是衡量民族科學文化素質的一個重要標志。數學教育在培養(yǎng)高素質科學技術人才中具有其獨特的、不可替代的重要作

2、用。本課程是全院非理工學門類本科各專業(yè)學生的一門必修的重要基礎理論課，同時也是一門工具課，它是為培養(yǎng)我國社會主義現代化建設所需要的高質量專門人才服務的。 通過本課程的學習，要使學生獲得: (1) 多元函數微積分學(2) 無窮級數；(3) 線性代數等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能，目的是為學習后續(xù)課程和進一步獲得數學知識奠定必要的數學基礎。在傳授知識的同時，要通過各教學環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學生具有抽象思維和邏輯推理的理性思維能力，綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力以及較強的自主學習能力，逐步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。二、本課程的基本要求本課程的內容按教學要求的不同，分為三個層次。對概

3、念、理論的要求由高到低分為深刻理解、理解、了解三個層次；對方法、運算的要求由高到低分為熟練掌握、掌握、會三個層次。(一) 向量代數與空間解析幾何1、理解二次曲面方程的概念，了解空間曲線方程的概念。2、了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的拄面方程。3、了解曲面的交線在坐標平面上的投影。4、了解二次曲面的分類。(一) 多元函數1、理解二元函數的概念，了解多元函數的概念。2、了解二元函數的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質。3、理解偏導數和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件。4、熟練掌握求多元復合函數一階偏導數和全微分的方法

4、，會求復合函數的二階偏導數。（對于求抽象復合函數的二階導數，只要求作簡單訓練）5、會求隱函數(包括由兩個方程組成的方程組確定的隱函數)的一階偏導數（對求二階偏導數不作要求）。6、理解多元函數極值和條件極值的概念，會求二元函數的極值，了解求條件極值的拉格朗日乘數法，會求解一些較簡單的最大值和最小值的應用問題。 7、理解二重積分的概念，了解二重積分的性質。8、掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)。 (二) 無窮級數1、理解無窮級數收斂、發(fā)散以及和的概念。了解無窮級數基本性質及收斂的必要條件。2、熟練掌握幾何級數與P級數的收斂性。3、了解正項級數的比較審斂法，掌握正項級數的比值審斂法。4、了解

5、交錯級數的萊布尼茲定理。5、了解無窮級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。6、了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。7、熟練掌握比較簡單的冪級數收斂區(qū)間的求法(區(qū)間端點的收斂性可不作要求)。8、了解冪級數在其收斂區(qū)間內的一些基本性質。9、了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。10、會利用和的麥克勞林(Maclaurin)展開式將一些簡單函數間接展開成冪級數。11、了解冪級數在近似計算中的簡單應用。(三) 線性代數1、行列式(1) 了解行列式的定義和性質，會用行列式的定義及性質計算一些較簡單的行列式。 (2) 掌握二、三階行列式的計算法。 (3) 掌握行列式的展開方法，會計算簡單

6、的階行列式。 (4) 理解克萊姆法則并會用它來解未知數個數不太多的線性方程組。 2、矩陣 (1) 理解矩陣概念。(2) 了解單位矩陣、對角矩陣、對稱矩陣及其性質。(3) 掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置及其運算規(guī)律。(4) 理解逆矩陣的概念。(5) 掌握逆矩陣存在的條件與矩陣求逆的方法，掌握可逆矩陣的性質。(6) 熟練掌握矩陣的初等變換。(7) 理解矩陣秩的概念并掌握其求法。(8) 了解滿秩矩陣定義及其性質。(9) 了解分塊矩陣及其運算。3、線性方程組(1) 理解n維向量的概念。(2) 深刻理解向量組線性相關、線性無關的定義。(3) 了解有關向量組線性相關、線性無關的重要結論，掌握向量組線性相關

7、、線性無關的有關性質及判別法。(4) 了解向量組的極大無關組與向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及其秩。(5) 理解齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件。(6) 理解齊次線性方程組的基礎解系及通解等概念。(7) 理解非齊次線性方程組的解的結構及通解等概念。(8) 熟練掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。4、矩陣的特征值(1) 理解矩陣的特征值與特征向量的概念，會求矩陣的特征值與特征向量。(2) 了解相似矩陣的概念、性質及矩陣對角化的充分條件，會求實對稱矩陣的相似對角形。三、本課程與其他課程的關系本課程與概率論與數理統(tǒng)計、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等課程緊密相

8、關，學生修完本課程后所獲得的知識在他以后的學習中起著重要的作用，這些知識對同學順利地學習其它理論課及專業(yè)課都是必需的。四、本課程的教學內容第七章 向量代數與空間解析幾何（一）空間直角坐標系1、空間點的直角坐標2、空間兩點間的距離（二）向量及其線性運算1、向量及其幾何表示2、向量的坐標表示（三）平面與直線1、平面及其方程2、直線及其方程（四）曲面及其方程1、柱面與旋轉曲面2、二次曲面（五）空間曲線1、空間曲線及其方程2、空間曲線在坐標面上的投影第八章 多元函數微分學（一）多元函數的概念（二）二元函數的極限與連續(xù)（三）偏導數與全微分1、偏導數2、全微分（四）微分法1、復合函數的微分法2、隱函數的微

9、分法（五）二元函數的極值第九章 二重積分（一）二重積分的概念與性質（二）二重積分的計算1、直角坐標系下二重積分的計算2、極坐標系下二重積分的計算第十一章 無窮級數（一）無窮級數的概念與性質1、無窮級數的概念2、無窮級數的基本性質（二）任意項級數1、正項級數2、任意項級數，絕對收斂（三）冪級數1、冪級數2、泰勒公式與泰勒級數3、某些初等函數的冪級數展開式4、冪級數的應用舉例第十二章 線性方程組的消元法和矩陣的初等變換第十三章 行列式、Cramer法則（一）行列式的定義1、二階、三階行列式2、n階行列式的定義（二）行列式的性質1、行列式的性質2、行列式的計算（三）Cramer法則第十四章 矩陣的運

10、算（一）矩陣的概念及運算1、矩陣的概念2、矩陣的運算（二）特殊的矩陣（三）逆矩陣（四）分塊矩陣（五）初等矩陣1、初等矩陣的概念2、用初等變換求逆矩陣（六）矩陣的秩1、矩陣的秩的概念2、用初等變換求矩陣的秩第十五章 線性方程組的理論（一）線性方程組有解的條件（二）n維向量空間（三）向量間的線性關系（四）向量組的秩（五）線性方程組的解的結構第十六章 特征值和特征向量（一）預備知識1、向量的內積2、正交矩陣（二）特征值與特征向量（三）相似矩陣五、本課程的重點、難點及深廣度 (一) 多元函數微分學 重點：多元函數的概念、二元函數的極限和連續(xù)的概念、偏導數和全微分的概念、復合函數的偏導數、二元函數的極值

11、。重積分的概念與性質、重積分的計算。 難點：復合函數的偏導數、二元函數的極值、最值應用問題。(二) 無窮級數 重點：無窮級數收斂、發(fā)散以及和的概念、幾何級數與P級數的收斂性、正項級數的審斂法、交錯級數的萊布尼茲定理、無窮級數的絕對收斂與條件收斂、冪級數的收斂區(qū)間的求法、冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質、泰勒級數、將簡單函數間接展開成冪級數。難點：正項級數的審斂法、泰勒級數。(三) 行列式與矩陣重點：行列式的計算、矩陣的運算、矩陣的秩、矩陣的逆、矩陣的初等變換。難點：行列式的定義、矩陣的逆和秩的概念、矩陣的初等變換。 (四) 線性方程組 重點：向量組線性相關與線性無關的概念，齊次方程組有非零解的充

12、要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件、線性方程組解的結構、用初等變換求線性方程組的通解。 難點：向量組線性相關與線性無關的概念、向量組的極大無關組與向量組的秩的概念、n維向量空間及有關概念、齊次方程組的基礎解系及線性方程組解的結構等概念。 (五) 矩陣的特征值 重點：矩陣的特征值與特征向量的概念。難點：矩陣的特征值與特征向量的概念。六、學時分配章次授課內容理論學時第七章第八章第九章第十一章第十二章第十三章第十四章第十五章第十六章向量代數與空間解析幾何多元函數微分學二重積分無窮級數線性方程組的消元法和矩陣的初等變換行列式 矩陣的運算線性方程組的理論特征值和特征向量214416268146合 計：72七、教學建議高等數學課程在教學過程中應重基礎，重運算。對重要的定義、定理應詳細講解，特別強調基本運算能力的培養(yǎng)，應根據學生的實際情況，對教材中的例題進行選講、補充。在講授多元微分學知識時，應注意和一元微分學知識的聯(lián)系、對應，從已學知識延伸引入新知識，使學生更容易理解、掌握。八、參考資料（一）教材1、吳傳生主編，經濟數學微積分，高等教育出版社，2003年2、徐文雄主編，高等數學，高等教育出版社，2004年3、吳傳生主編，經濟數學線性代數，高等教育出版社，2003年（二）參考書1、王麗燕，微