《高等數(shù)學(xué)A(2)》教學(xué)大綱

1、高等數(shù)學(xué)A（2）教學(xué)大綱課程編號：1021750總學(xué)時(shí)：72學(xué)分：4.5基本面向：全院非理工學(xué)門類本科各專業(yè)、49專業(yè)所屬單位：數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室一、本課程的目的、性質(zhì)及任務(wù) 數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式” 具備了更豐富的內(nèi)涵和更廣泛的外延?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容更加豐富，方法更加綜合，應(yīng)用更加廣泛。數(shù)學(xué)不僅是一種工具，而且是一種思維模式；不僅是一種知識(shí)，而且是一種素養(yǎng)；不僅是一種科學(xué)，而且是一種文化，能否運(yùn)用數(shù)學(xué)觀念定量思維是衡量民族科學(xué)文化素質(zhì)的一個(gè)重要標(biāo)志。數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)高素質(zhì)科學(xué)技術(shù)人才中具有其獨(dú)特的、不可替代的重要作

2、用。本課程是全院非理工學(xué)門類本科各專業(yè)學(xué)生的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課，同時(shí)也是一門工具課，它是為培養(yǎng)我國社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)所需要的高質(zhì)量專門人才服務(wù)的。 通過本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得: (1) 多元函數(shù)微積分學(xué)(2) 無窮級數(shù)；(3) 線性代數(shù)等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，目的是為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在傳授知識(shí)的同時(shí)，要通過各教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生具有抽象思維和邏輯推理的理性思維能力，綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力以及較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。二、本課程的基本要求本課程的內(nèi)容按教學(xué)要求的不同，分為三個(gè)層次。對概

3、念、理論的要求由高到低分為深刻理解、理解、了解三個(gè)層次；對方法、運(yùn)算的要求由高到低分為熟練掌握、掌握、會(huì)三個(gè)層次。(一) 向量代數(shù)與空間解析幾何1、理解二次曲面方程的概念，了解空間曲線方程的概念。2、了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的拄面方程。3、了解曲面的交線在坐標(biāo)平面上的投影。4、了解二次曲面的分類。(一) 多元函數(shù)1、理解二元函數(shù)的概念，了解多元函數(shù)的概念。2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3、理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件。4、熟練掌握求多元復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的方法

4、，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。（對于求抽象復(fù)合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，只要求作簡單訓(xùn)練）5、會(huì)求隱函數(shù)(包括由兩個(gè)方程組成的方程組確定的隱函數(shù))的一階偏導(dǎo)數(shù)（對求二階偏導(dǎo)數(shù)不作要求）。6、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會(huì)求二元函數(shù)的極值，了解求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，會(huì)求解一些較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。 7、理解二重積分的概念，了解二重積分的性質(zhì)。8、掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))。 (二) 無窮級數(shù)1、理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念。了解無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2、熟練掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂性。3、了解正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法，掌握正項(xiàng)級數(shù)的比值審斂法。4、了解

5、交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲定理。5、了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系。6、了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7、熟練掌握比較簡單的冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法(區(qū)間端點(diǎn)的收斂性可不作要求)。8、了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。9、了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。10、會(huì)利用和的麥克勞林(Maclaurin)展開式將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。11、了解冪級數(shù)在近似計(jì)算中的簡單應(yīng)用。(三) 線性代數(shù)1、行列式(1) 了解行列式的定義和性質(zhì)，會(huì)用行列式的定義及性質(zhì)計(jì)算一些較簡單的行列式。 (2) 掌握二、三階行列式的計(jì)算法。 (3) 掌握行列式的展開方法，會(huì)計(jì)算簡單

6、的階行列式。 (4) 理解克萊姆法則并會(huì)用它來解未知數(shù)個(gè)數(shù)不太多的線性方程組。 2、矩陣 (1) 理解矩陣概念。(2) 了解單位矩陣、對角矩陣、對稱矩陣及其性質(zhì)。(3) 掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)律。(4) 理解逆矩陣的概念。(5) 掌握逆矩陣存在的條件與矩陣求逆的方法，掌握可逆矩陣的性質(zhì)。(6) 熟練掌握矩陣的初等變換。(7) 理解矩陣秩的概念并掌握其求法。(8) 了解滿秩矩陣定義及其性質(zhì)。(9) 了解分塊矩陣及其運(yùn)算。3、線性方程組(1) 理解n維向量的概念。(2) 深刻理解向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義。(3) 了解有關(guān)向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的重要結(jié)論，掌握向量組線性相關(guān)

7、、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。(4) 了解向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線性無關(guān)組及其秩。(5) 理解齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件。(6) 理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解等概念。(7) 理解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)及通解等概念。(8) 熟練掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。4、矩陣的特征值(1) 理解矩陣的特征值與特征向量的概念，會(huì)求矩陣的特征值與特征向量。(2) 了解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣對角化的充分條件，會(huì)求實(shí)對稱矩陣的相似對角形。三、本課程與其他課程的關(guān)系本課程與概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等課程緊密相

8、關(guān)，學(xué)生修完本課程后所獲得的知識(shí)在他以后的學(xué)習(xí)中起著重要的作用，這些知識(shí)對同學(xué)順利地學(xué)習(xí)其它理論課及專業(yè)課都是必需的。四、本課程的教學(xué)內(nèi)容第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何（一）空間直角坐標(biāo)系1、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)2、空間兩點(diǎn)間的距離（二）向量及其線性運(yùn)算1、向量及其幾何表示2、向量的坐標(biāo)表示（三）平面與直線1、平面及其方程2、直線及其方程（四）曲面及其方程1、柱面與旋轉(zhuǎn)曲面2、二次曲面（五）空間曲線1、空間曲線及其方程2、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第八章 多元函數(shù)微分學(xué)（一）多元函數(shù)的概念（二）二元函數(shù)的極限與連續(xù)（三）偏導(dǎo)數(shù)與全微分1、偏導(dǎo)數(shù)2、全微分（四）微分法1、復(fù)合函數(shù)的微分法2、隱函數(shù)的微

9、分法（五）二元函數(shù)的極值第九章 二重積分（一）二重積分的概念與性質(zhì)（二）二重積分的計(jì)算1、直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算2、極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算第十一章 無窮級數(shù)（一）無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)1、無窮級數(shù)的概念2、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)（二）任意項(xiàng)級數(shù)1、正項(xiàng)級數(shù)2、任意項(xiàng)級數(shù)，絕對收斂（三）冪級數(shù)1、冪級數(shù)2、泰勒公式與泰勒級數(shù)3、某些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式4、冪級數(shù)的應(yīng)用舉例第十二章 線性方程組的消元法和矩陣的初等變換第十三章 行列式、Cramer法則（一）行列式的定義1、二階、三階行列式2、n階行列式的定義（二）行列式的性質(zhì)1、行列式的性質(zhì)2、行列式的計(jì)算（三）Cramer法則第十四章 矩陣的運(yùn)

10、算（一）矩陣的概念及運(yùn)算1、矩陣的概念2、矩陣的運(yùn)算（二）特殊的矩陣（三）逆矩陣（四）分塊矩陣（五）初等矩陣1、初等矩陣的概念2、用初等變換求逆矩陣（六）矩陣的秩1、矩陣的秩的概念2、用初等變換求矩陣的秩第十五章 線性方程組的理論（一）線性方程組有解的條件（二）n維向量空間（三）向量間的線性關(guān)系（四）向量組的秩（五）線性方程組的解的結(jié)構(gòu)第十六章 特征值和特征向量（一）預(yù)備知識(shí)1、向量的內(nèi)積2、正交矩陣（二）特征值與特征向量（三）相似矩陣五、本課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)及深廣度 (一) 多元函數(shù)微分學(xué) 重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念、偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、二元函數(shù)的極值

11、。重積分的概念與性質(zhì)、重積分的計(jì)算。 難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、二元函數(shù)的極值、最值應(yīng)用問題。(二) 無窮級數(shù) 重點(diǎn)：無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念、幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂性、正項(xiàng)級數(shù)的審斂法、交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲定理、無窮級數(shù)的絕對收斂與條件收斂、冪級數(shù)的收斂區(qū)間的求法、冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)、泰勒級數(shù)、將簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。難點(diǎn)：正項(xiàng)級數(shù)的審斂法、泰勒級數(shù)。(三) 行列式與矩陣重點(diǎn)：行列式的計(jì)算、矩陣的運(yùn)算、矩陣的秩、矩陣的逆、矩陣的初等變換。難點(diǎn)：行列式的定義、矩陣的逆和秩的概念、矩陣的初等變換。 (四) 線性方程組 重點(diǎn)：向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，齊次方程組有非零解的充

12、要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件、線性方程組解的結(jié)構(gòu)、用初等變換求線性方程組的通解。 難點(diǎn)：向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念、向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩的概念、n維向量空間及有關(guān)概念、齊次方程組的基礎(chǔ)解系及線性方程組解的結(jié)構(gòu)等概念。 (五) 矩陣的特征值 重點(diǎn)：矩陣的特征值與特征向量的概念。難點(diǎn)：矩陣的特征值與特征向量的概念。六、學(xué)時(shí)分配章次授課內(nèi)容理論學(xué)時(shí)第七章第八章第九章第十一章第十二章第十三章第十四章第十五章第十六章向量代數(shù)與空間解析幾何多元函數(shù)微分學(xué)二重積分無窮級數(shù)線性方程組的消元法和矩陣的初等變換行列式 矩陣的運(yùn)算線性方程組的理論特征值和特征向量214416268146合 計(jì)：72七、教學(xué)建議高等數(shù)學(xué)課程在教學(xué)過程中應(yīng)重基礎(chǔ)，重運(yùn)算。對重要的定義、定理應(yīng)詳細(xì)講解，特別強(qiáng)調(diào)基本運(yùn)算能力的培養(yǎng)，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，對教材中的例題進(jìn)行選講、補(bǔ)充。在講授多元微分學(xué)知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意和一元微分學(xué)知識(shí)的聯(lián)系、對應(yīng)，從已學(xué)知識(shí)延伸引入新知識(shí)，使學(xué)生更容易理解、掌握。八、參考資料（一）教材1、吳傳生主編，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分，高等教育出版社，2003年2、徐文雄主編，高等數(shù)學(xué)，高等教育出版社，2004年3、吳傳生主編，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)線性代數(shù)，高等教育出版社，2003年（二）參考書1、王麗燕，微