高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講練測——專題三_三角函數(shù)_專題復(fù)習(xí)講練_3_解三角形的綜合問題

1、§3解三角形的綜合問題一、復(fù)習(xí)要點(diǎn)本節(jié)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是：如何把三角形內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理、勾股定理及面積公式與其他三角函數(shù)公式配合運(yùn)用，解答三角形的綜合問題.這類試題在歷年高考中時有出現(xiàn)把方程觀點(diǎn)和三角式的恒等變形方法結(jié)合運(yùn)用，是解答這類問題的策略之一把邊和角的已知關(guān)系式相互轉(zhuǎn)化，是解答這類問題的策略之二巧用內(nèi)角和定理，是解答這類問題的策略之三例如，（），（），（）2（2），（）2（2），（）2（2）等二、例題講解例1（1）在中，（3），求證2；（2）在C中，成等差數(shù)列，求證B60°講解：（1）本題是由三角形角的一種特殊性，推證邊的一種大小關(guān)系.要完成證明，應(yīng)先吃透條

2、件，尋找溝通目標(biāo)與條件的渠道由（3）（23），（）2；根據(jù)目標(biāo)不等式的形狀，想到用正弦定理可把目標(biāo)與條件溝通，即用正弦定理可把邊的不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的不等式，從而與條件相銜接，分析歸納后得證法如下：由正弦定理和（3），A+B+C推知22（23）（2）（32）22（6）2（6）1最后一不等式是顯然成立的，故有2（2）本題是由三角形邊的一種特殊關(guān)系，推證角的一種大小關(guān)系問題.先理解條件，成等差數(shù)列，即2；再尋找目標(biāo)與條件的聯(lián)系：由于目標(biāo)不等式是三角形一個內(nèi)角的變化范圍，故用余弦定理能把目標(biāo)與條件聯(lián)系起來得證法如下：，成等差數(shù)列，2，且由余弦定理，得（）（2）（）2）（2）（3（）28）（628）（

3、12）60°又0，且余弦函數(shù)在區(qū)間0，上單調(diào)遞減，故得60°例2在ABC中，若（sin）（）（12）（12），試證明ABC為等腰三角形或直角三角形； 講解：思路1要證明三角形為等腰三角形，須由條件推得兩邊相等或兩角相等；要證明三角形為直角三角形，須由條件推得三邊滿足勾股關(guān)系或一角等于90°這就需要運(yùn)用恒等變形的方法和方程觀點(diǎn)對條件等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化注意到條件等式右端若用二倍角公式，條件即化為更均稱的形式（）（）（）觀察此式，易從左端想到正弦定理，而從右端想到余弦定理；左右兩端分別用正余弦定理變形，即可以從邊的關(guān)系方面把左右兩端溝通，有希望解出勾股關(guān)系或邊的相等關(guān)系進(jìn)一步

4、分析后，得證法如下：根據(jù)二倍角公式，由條件得（）（）（）等式左右兩端分別用正、余弦定理，得（）（2）（2）（）·（），（）（）（）（）·（）1）0由（）（）0，得；由（）（）·（）10，得，即（）（）0或故三角形為等腰三角形或直角三角形思路2變換到（）（）（）時，左端用正弦定理即為（）（），而此表達(dá)式的形式又容易使我們想到余弦定理2，2，故而此式（）（）（）（），從而有（）（）（），（）（），即22，22或22，即或（2）可知此三角形為等腰三角形或直角三角形 例3已知的三個內(nèi)角A、B、C滿足2，（1）（1）（）求（）2）的值（1996年高考題）講解：這是一道三角形

5、中的條件求值問題根據(jù)題目的條件與目標(biāo)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，解答本題的基本想法可以是：將其他已知條件代入條件方程式（1）（1）（），然后運(yùn)用恒等變形方法和方程觀點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從中解出目標(biāo)（）2來由中，260°，120°；代入條件方程式，整理，得2觀察并朝著目標(biāo)方向思考，想到用和差化積公式可把方程左端轉(zhuǎn)化為2（）2·（）2，目標(biāo)出現(xiàn)了，而右端用積化和差公式可轉(zhuǎn)化為（）（）；且二倍角公式能把左邊（）2與右邊（）相溝通，又左邊（）2與右邊（）能求出，故（）2可由解二次方程求出.整理得解法如下：由題設(shè)條件知，60°，120°（）2， （1）（1）2將上式化為2利用和差

6、化積及積化和差公式，上式化為2（）2（）2（）（）將（）260°（1/2），（）（12）代入上式，得（）2（2）（）將（）22（）21代入上式并整理，得4（）22（）230，（2（）2）（2（）23）0，2（）230， 2（）20從而得（）22若運(yùn)用變量替換法，還可以有如下解法：由題設(shè)條件知60°，120°設(shè)（）2，則A2，可得60°，60°（1）（1）（）化為（60°）（60°）2（60°）（60°）又（60°）（12）（2），（60°）（12）（2），（60°）（60&#

7、176;）（14）（34）（34），代入上式并整理，得4230，（2）（23）0230，20故（）2（2）三、專題訓(xùn)練 1若x為三角形中的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx+cosx的值域是（） A（0，（2）B（1， C（12），（2）D（12），（2）2ABC中，cos2cos2是B的（）A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既非充分也非必要條件3等腰三角形腰長為2，底邊的中點(diǎn)到腰的距離為（2），則三角形外接圓半徑為（）（23）42或（2）4或（43）4設(shè)1（2），在中，（2），則的變化范圍是區(qū)間（）（0，（3）（4），（3）（3），（2）（0，（2）5操場上有一旗桿OP（如圖3-5），為

8、了測得它的高度，在地面上取一基線20米，在A處測得P點(diǎn)的仰角30°，在B處測得P點(diǎn)的仰角45°，又測得150°，則旗桿的高_(dá)米 圖3-56如圖3-6所示，貨輪在海上以40km/小時的速度沿著方位角（從指正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角）為140°的方向航行，為了確定船位，在B點(diǎn)觀測燈塔A的方位角為110°，航行半小時后到達(dá)C點(diǎn)，觀測燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達(dá)C點(diǎn)與燈塔A的距離是_km（結(jié)果可以保留根號）圖3-67設(shè)C中角A、B、C所對邊長分別為、，關(guān)于直線0與0的位置關(guān)系有以下四個判定：可以是相互平行的位置關(guān)系；可以是重合的位置關(guān)系；可以是相互垂直的位置關(guān)系；一定是相交但不垂直的位置關(guān)系其中正確判定的序號是_（把你認(rèn)為正確判定的