專題16坐標(biāo)系與參數(shù)方程(解析版)

1、專題16坐標(biāo)系與參數(shù)方程歷年考題細(xì)目表題型年份考點(diǎn)試題位置解答題2019參數(shù)方程2019年新課標(biāo)1理科22解答題2018綜合測試題2018年新課標(biāo)1理科22解答題2017綜合測試題2017年新課標(biāo)1理科22解答題2016綜合測試題2016年新課標(biāo)1理科23解答題2015綜合測試題2015年新課標(biāo)1理科23解答題2014綜合測試題2014年新課標(biāo)1理科23解答題2013綜合測試題2013年新課標(biāo)1理科23解答題2012綜合測試題2012年新課標(biāo)1理科23解答題2011綜合測試題2011年新課標(biāo)1理科23解答題2010綜合測試題2010年新課標(biāo)1理科23歷年高考真題匯編1 - t21 + t24t

2、,十，(t為參數(shù)).以1.【2019年新課標(biāo)1理科22】在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線C的參數(shù)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l的極坐標(biāo)方程為2 p cos4皿p sin。+110.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值【解答】解：(1)由1 - t2- 1*_Il L4t丁 -1 + 1 (t為參數(shù))1 - t21 + t2y 2t2 1 +產(chǎn)y2x2 + =1兩式平方相加，得 4(xW- 1),C的直角坐標(biāo)方程為4( xw- D,由 2 P cos ,第 p sin 0 +110,得改 + 雜¥ + 11 = 0即直線l的直角坐

3、標(biāo)方程為得2x + y+H=0.(2)設(shè)與直線2x + V5y+ll = 0平行的直線方程為2x + yl3y + m = G(2x + m = 0聯(lián)立；"'J "，得 16x2+4mx+m2- 12=0.由= 16m2-64 ( m2 -12) = 0,得 m=z(4.產(chǎn)w.當(dāng)m=4時，直線2x + /"+4=0與曲線c的切點(diǎn)到直線2xM&十ll = a的距離最小，為J2+32.【2018年新課標(biāo)1理科22】在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線 C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 較+2

4、pcos 0- 3= 0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若。與C2有且僅有三個公共點(diǎn)，求 5的方程.【解答】解：(1)曲線C2的極坐標(biāo)方程為 向2 P cos-93=0.轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：x2+y2+2x- 3=0,轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為：(x+1) 2+y2= 4.(2)由于曲線C1的方程為y=k|x|+2,則：該射線關(guān)于 y軸對稱，且恒過定點(diǎn)(0, 2).由于該射線與曲線 C2的極坐標(biāo)有且僅有三個公共點(diǎn).所以：必有一直線相切，一直線相交.則：圓心到直線 y= kx+2的距離等于半徑 2.|2-*| ?|2 + k| ,故:"+ k：或 J + M4=解得：k 3或0,當(dāng)k=。時，

5、不符合條件，故舍去，4同理解得：k 3或04y =T+ 2經(jīng)檢驗(yàn)，直線 3 與曲線C2沒有公共點(diǎn).4y = | 劉 + 2 故Ci的方程為：X = 3cos& ,yn或訪，（。為參數(shù)），直線lpr =口 + 的參數(shù)方程為=, （t為參數(shù)）.（1）若2= - 1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為的，求a.2 A pc - 3cos61"【解答】解：（1）曲線C的參數(shù)方程為iy="仞（。為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)方程是：Qy2=1;a=- 1時，直線l的參數(shù)方程化為一般方程是：x+4y-3=0;+ y = I9 聯(lián)立方程卜+_ 3 = Q ,21X =25

6、 24解得1 = 0或125 ,21 24所以橢圓C和直線l的交點(diǎn)為（3, 0）和（2, 2°）.（x = a + 4t（2） l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）化為一般方程是：x+4y- a - 4=0,橢圓C上的任一點(diǎn) P可以表示成 P （3cosQ sin 0,長0, 2兀），所以點(diǎn)P到直線l的距離d為:3cos6 + 4s出9 - a - 4 |5sin(0 4- <p) - a - 4|3= =. =_d417J7 , 4滿足tan ()4,且的d的最大值為短亍.當(dāng)一a 4W0時，即a> 4時，|5sin ( 0 +州a 4| 4| 5 a 4|= |5+a+4|= 17

7、解得a=8和-26, a= 8符合題意.當(dāng)a 4>0時，即av 4時|5sin ( 0 +州a - 4| w|5a 4|=|5 a - 4|= 17,解得a=-16和18, a=- 16符合題意.(x = acost4.【2016年新課標(biāo)1理科23】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 壯=1十 口就比(t為參數(shù)，a>0) .在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 C2： p= 4cos 0.(I)說明C1是哪種曲線，并將 C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(n)直線C3的極坐標(biāo)方程為 0= 00,其中0G滿足tan ®=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3

8、上，求a.( x acost ( jc acost【解答】解：(I)由壯:1十口"叫得壯-1兩式平方相加得，x2+ (y- 1) 2=a2.C1為以(0, 1)為圓心，以a為半徑的圓.化為一般式：x2+y2 - 2y+1 - a2= 0.由 x2+y2= p2, y= psin,。得 p22psin。+伯2=0；2(n) C2: p= 4cos Q 兩邊同時乘 p得 p=4pcos£ x2+y2= 4x, 即(x- 2) 2+y2= 4 .由 C3： 0= co,其中 co滿足 tan 0=2,得 y=2x, 曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在 C3上， . y= 2x為圓C1與C

9、2的公共弦所在直線方程，一得：4x 2y+1 - a2 = 0,即為 C3 ,1 - a2= 0,a= 1 (a> 0).5 .【2015年新課標(biāo)1理科23】在直角坐標(biāo)系 xOy中，直線C1： x=- 2,圓C2： (xT) 2+ (y-2) 2=1, 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(I )求Cl, C2的極坐標(biāo)方程；71(n)若直線 C3的極坐標(biāo)方程為 0 4(R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M, N,求ACaMN的面積.【解答】解：(I )由于 x= p cos,0 y= p sin, 0.- C1 ： x= - 2 的極坐標(biāo)方程為 p cos甫-2,故C2： (x-

10、1) 2+(y-2) 2=1的極坐標(biāo)方程為：(p cos6 1) 2+ ( p sin-62) 2= 1,2化間可得 p - ( 2 p cos 0 +4 p sJn +(4 = 0.n(n)把直線 C3的極坐標(biāo)方程 0 4(R)代入圓 C2： (x 1)之+ (y 2) 2=1,2可得 p - ( 2 p cos 0 +4 p sin +4 = 0,求得 p1=2-J, p2=/，|MN|= | 1-泛廣鏡，由于圓C2的半徑為1, C2MXC2N,1 1 1=,_ 7 7_ _ ?C2MN的面積為占？C2M?C2N 乙？1?1乙.工J2.2x y6 .【2014年新課標(biāo)1理科23】已知曲線C

11、: "11 ,直線I:2-五(t為參數(shù))(I )寫出曲線 C的參數(shù)方程，直線I的普通方程.(n)過曲線 C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.22x y Hr =【解答】解：(I)對于曲線 C: 491,可令x= 2cos& y=3sin g(x = 2cos&故曲線C的參數(shù)方程為叫(。為參數(shù)).對于直線l : 3 = 2- 21，由得：t= x- 2,代入并整理得：2x+y-6=0;(n)設(shè)曲線 C上任意一點(diǎn) P (2cosa 3sin卜d = 14mA田 + 35g日-6|p到直線1的距離為 5,d 2j5PA

12、二二二=|Ssm + a) 6|則 sin300 5,其中“為銳角.2 2一當(dāng)sin (。+/=-1時，|PA|取得最大值，最大值為5 .275當(dāng)sin (。+/=1時，|PA|取得最小值，最小值為 '.儼=4 + Scost7.【2013年新課標(biāo)1理科23】已知曲線Ci的參數(shù)方程為8=5 + 5$用工。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 p= 2sin 0(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(p邛0Wk2兀).X = 4 + 5c-, 片5 + 5星切工，消去參數(shù)t,化為普通方程(x-4) 2+ (y-5

13、) 2=25,即 C1： x2+y2 8x- 10y+16 = 0,(X = pCGsO將» 二 P5出。代入 x2+y2- 8x- 10y+16 = 0,2得 P - 8 P cost 10 p sin 0 +160.2 C1 的極坐標(biāo)萬程為 p 8 p cos 8 10 p sin 0 +160.(2) .曲線C2的極坐標(biāo)方程為p= 2sin 9曲線C2的直角坐標(biāo)方程為 x2+y2- 2y =0,>2 + y2-8x- 10y+ 16=。聯(lián)立（/+/-Zy = O儼=1 儼=07171解得壯二1或3=2,衣, Ci與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（4）和（2, 2）.X 2cos（p

14、y = 3siu（p （e為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸 的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線 C2的坐標(biāo)系方程是 p= 2,正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A, B, C,D依逆時針次序排列，點(diǎn) A的極坐標(biāo)為（2, 3）.（1）求點(diǎn)A, B, C, D的直角坐標(biāo)；（2）設(shè)P為Ci上任意一點(diǎn)，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.7157T47r Hr（2,（2, 一），（2, 一X （2,）【解答】解：（1）點(diǎn)A, B, C, D的極坐標(biāo)為3636點(diǎn)A, B, C, D的直角坐標(biāo)為%,（一51）, （T, -回、T）（x0 = 2costp 此二克叩，為參數(shù)）t= |PA

15、|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16 = 32+20sin2（f） sin2（f） 0, 1.tC32, 52f x = 2,cnsa9.【2011年新課標(biāo)1理科23】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為壯二2十2目出川（ “為參數(shù)）m TT是C1上的動點(diǎn)，P點(diǎn)滿足0P = 2"M, p點(diǎn)的軌跡為曲線 C2（I ）求C2的方程；7T（n）在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線9 3與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 a,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求|AB|.x y【解答】解：（I）設(shè)P （x, y）,則由條件知 M （，/.由于M點(diǎn)在C1上，XZc

16、osa2y .5 = 2 + 2sina j x = 4cosa 所以"即7 = 4 +缶/3從而C2的參數(shù)方程為x = 4cosaU = + 4$切。(a為參數(shù))(n)曲線 Ci的極坐標(biāo)方程為 p= 4sin 8曲線C2的極坐標(biāo)方程為 p= 8sin 97TH射線0 3與Ci的交點(diǎn)A的極徑為 仍= 4sin3 ,7TH射線0 3與C2的交點(diǎn)B的極徑為 很=8sin3.所以 |AB|= | 2 pi| = 2寸，工=1 + ECOS.fx COS&10.【2010年新課標(biāo)1理科23】已知直線c4 y = tstg(t為參數(shù))，C2% = 5MH (。為參數(shù))，7T(I)當(dāng)a

17、3時，求Ci與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；(II)過坐標(biāo)原點(diǎn) 。做Ci的垂線，垂足為 A, P為OA中點(diǎn)，當(dāng)a變化時，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并 指出它是什么曲線.7T【解答】解：(I)當(dāng)a 3時，Ci的普通方程為C2的普通方程為x2+y2=1.丁二叔X- 1)聯(lián)立方程組| /十/二1 ,1價(-K - 1解得Ci與C2的交點(diǎn)為(i, 0) 22 .(n ) Ci的普通方程為 xsin or ycos a- sin 后 0.則OA的方程為xcosa孚sin后0，2聯(lián)乂可得 x= sin a, y= - cos a sin aA 點(diǎn)坐標(biāo)為(sin2 a, cos a sirj) ,a,1 Mx sm a21

18、 g為參數(shù)）y sinacosa2故當(dāng)a變化時，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為：1 1（第）2+ / = 一P點(diǎn)軌跡的普通方程1 1（一,。） 一故P點(diǎn)軌跡是圓心為 4,半徑為4的圓.考題分析與復(fù)習(xí)建議本專題考查的知識點(diǎn)為：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)幾何意義的應(yīng)用，參數(shù)方 程與普通方程的互化，參數(shù)方程的應(yīng)用。歷年考題主要以解答題題型出現(xiàn)，重點(diǎn)考查的知識點(diǎn) 為：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程與普通方程的互化，參數(shù)方程的應(yīng)用.預(yù)測明年本考點(diǎn)題目會比較穩(wěn)定，備考方向以知識點(diǎn)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程與普通方程的互化，參數(shù)方程的應(yīng)用為重點(diǎn)較佳 .最新高考模擬試題x = 3 2

19、cos -1,在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（口為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 。為極y = 1 2sin ;點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；互冗（2）設(shè)曲線li的極坐標(biāo)方程為 日=一（P之0）,曲線12的極坐標(biāo)方程為 日=一（P之0）,求三條曲線C, li, 63I2所圍成圖形的面積【答案】（1） P=4sin（e+土）；（2）曲十3【解析】22（i）由條件得圓c的直角坐標(biāo)方程為（xJ3）十（y1）=4, 得 x2 十 y2 -23Xx _2y =0，將 x = PcosH , y = Psin6 代入, 得 P2 -2用Pcos8 -2 PsinQ =0

20、,即 P = 2J3cos0 +2sin6 ,則 P=4sin |6 +- i, 3所以圓C的極坐標(biāo)方程為 P = 4sin 19 l'（2）由條件知曲線li和12是過原點(diǎn)O的兩條射線，設(shè)li和12分別與圓C交于異于點(diǎn)。的點(diǎn)A和B,將0 =二代入圓C的極坐標(biāo)方程，得6A'4, i,所以 OA = 4； ,6n將9 =一代入圓C的極坐標(biāo)方程，得3B 2x31 3，所以 OB 2.3.由（1）得圓C的圓心為 C （省,1）, 冗其極坐標(biāo)為C 2,6故射線11經(jīng)過圓心C,JI JI JEJI所以 /COB = 1 - = , /ACB = 2/COB =1. 3 6 6311 _所以

21、 S應(yīng)OB = OC OB sin/COB = OA OB sin 一 = v3 , 2461 122扇形CAB的面積為Scab =1 22 =2，2 332 二故二條曲線C, * 12所圍成圖形的面積為 Sob + Scab =迎十 一. 3x = 1 cost2.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 L (t為參數(shù)). y 二43 sint（I ）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程;（n）若射線9=豆與C有兩個不同的交點(diǎn) M、N ,求OM +ON的取值范圍.【答案】(I) P2-2(cos8+singP + 3=0 () (2百4【解析】 解：(

22、I )曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x 1)2 +(y 括2 =1 ,即x2 + y2 2x2j3y + 3 = 0 ,又 x2 十y2 = P2, x = Pcos8, y = Psinl,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為 P2 -2（cos0 +V3sin0）P+3 = 0 .(n )聯(lián)立射線 6 與曲線 C ,得 P2 -2(coso(十 J3sinct)P+3 = 0 ,設(shè) M(P1P), N(P2,«),|OM | |ON |= R ：2 = 2(cos ：. 3.、一 J ，nsin a) =4sin I a + I,6又圓心c（i,J3）的極坐標(biāo)為，冗 I冗冗2,- I,所以a的取值

23、范圍是-<a <-,362所以Kd，"iW十6穴2月4吁+6>4,所以O(shè)M +ON的取值范圍為（2 73,4.3.選彳4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在平面直角坐標(biāo)系x°y中，已知曲線C的參數(shù)方程為x = cos ,*(日為y = sn參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為/24二一2 二 t,13（t為參數(shù)），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,0 ）.y 二t13（1）若點(diǎn)Q在曲線C上運(yùn)動，點(diǎn)M在線段PQ上運(yùn)動，且PM =2MQ ,求動點(diǎn)M的軌跡方程.(2)設(shè)直線l與曲線C交于A, B兩點(diǎn)，求 PA PB的值.【答案】(1) ,+2 1 +y2 =4 (2) 33,9【解析】(1)設(shè) Q

24、(cos"sin8 ), M (x, y ),則由 PM = 2mQ,得(x+2,y ) = 2(cos6x,sin日y),3x 2 =3cos/即3y =2sin -.消去6,得，x+2 I +y2 =4 ,此即為點(diǎn) M的軌跡方程.39225 一(2)曲線C的普通萬程為X2+y2 =1 ,直線l的普通方程y= (x + 2),125512設(shè) a 為直線l的傾斜角，則 tana = 一 , sinct = 一 ,cosa = ,12131312 x=2 t,則直線l的參數(shù)方程可設(shè)為(t'為參數(shù))，13y =-t132 48代入曲線C的普通方程，得t'2 一22t

25、9;+3= 0,13248 s 276 八由于= I I 12 =>0，,13169故可設(shè)點(diǎn)A,B對應(yīng)的參數(shù)為甘，t2,則 |PA PB =t； t2 =tt2 =3.4.在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線Ci的參數(shù)方程為x=1 一場10.10y =3 t10(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為P = 8sinH+6cos8 .(1)求C2的直角坐標(biāo)方程;(2)已知P(1,3 ), Ci與C2的交點(diǎn)為A,B,求PA -PB的值._ _22【答案】(1) (x3) +(y4) =25； (2) 20【解析】(1)由 P=8sin日+6cos日，得 P

26、2 =8Psin8+6PcosH , 2222x2 +y2 _6x-8y =0,即(x-3) +(y-4) =25.c、兒310；J。；c / 3.10,10,(2)設(shè) A 1 11,3 +11 I, B 1 -12,3 +121010101022 一代入(x-3) +(y-4) =25,x=1 一晅10c 10 +y = 3 110得t2 +J10t _20=0,則ti,t2是該方程的兩個實(shí)數(shù)根,.甘2=<0,故 PA PB =堞2 =20.x = 1 t cos;5,在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為i（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正y =tsin ;半軸為極軸建立極坐

27、標(biāo)系，曲線 C的極坐標(biāo)方程為 P=2sin 9 ,直線l與x軸交于點(diǎn)p ,與曲線C交于兩點(diǎn) M , N .（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；11(2)求 2+2"的取值范圍.PMPN【答案】(1) x2 y2 -2y =0 (2) (2,6【解析】解：(1)由 p= 2sin 0,得 J=2fsin。，把 2 = x2+y2, y = psin 0代入，可得 x2+y22y=0.，曲線C的直角坐標(biāo)方程為 x2+y2-2y=0；x = 1 tcos-（2）將直線l的參數(shù)方程iy =tsin：代入圓的方程，得 t2+ (2cosa- 2sin a) t+1 = 0.由= ( 2cosa- 2

28、sin a) 2 - 4>0,得 sin2 a< 0,t1 +t2 = 2cos c+2sin a, 11t2 = 1.1.1 二 I t22 二。1 t2)2 0|PM 2 |PN |2112t222 2 t"22 = 24sin智.sin2 a< 0.-. 2 4sin2a (2,6_2_2|PM |PN |的取值范圍是（2, 6.6.在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為J_x = 1 cos-（a為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸 y = sin ;為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為 Pisine+cose3(1)求C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方

29、程;(2)射線日=81 G1 !-, I i與圓C的交點(diǎn)為O, M ,與直線l的交點(diǎn)為N ,求OM <! 6 3L范圍.【答案】(1)圓C的極坐標(biāo)方程為 P = 2cos 0 .直線l的直角坐標(biāo)方程為x + '3 y _ 1 = 0 .3【解析】(1)圓C的普通方程是(x1)2+y2=1,將 x = Pcose , y = Psin H 代入上式：(Pcos日-1)2 + P2sin2e =1 ,化簡得：P = 2cos6所以圓C的極坐標(biāo)方程為 P = 2cosH.直線l的極坐標(biāo)方程為P i sin日+cos63二1 ，將 x = PcosH , y = Psin 8 代人上式，

30、得：x+，3y_1 = o,3，直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-1 =0.3(2)設(shè)M ( Re ),因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C : p =2cosH上，則有匕=2cos4 ,設(shè)N(P2,a1),因?yàn)辄c(diǎn)N在直線l: PliasinH+cos日=1,則有 I3J：213 sin 1 cos1311所以 |OM| |ON|十2 ,isin. cos.32近tan4+1,3f-或頒an 4收二333tan 4+1 2,ON的取值1,3r ,2倒3 一，一J3,即倒|OM | |ON| 3,tan -1 ' 13故|OM |ON |的范圍為1,3.7.選彳4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，

31、以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為x. 211 xP = 2sin9+2acos0(a >0)；直線l的參數(shù)方程為.直線l與曲線C分別交于2 , ( t為參數(shù))2y = t2M、N兩點(diǎn).(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-2,0), PM |+| PN =5衣，求a的值.【答案】(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為(xa)2+(y1)2 =a2+1,直線l的普通方程為xy + 2 = 0.(2)a = 2【解析】(1)由 P =2sin 8+2acosH(a >0),得 P2 =2 Psin日+2Pacos日(a a

32、0),所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2 + y2 =2y+2ax,即(xa)2+(y1)2 = a2+1 ,由直線l的參數(shù)方程得直線l的普通方程為x-y+2 = 0.(2)將直線l的參數(shù)方程x = -2 -2t,2代入x2_ .2 + yT2+ y =2y+2ax,化簡并整理，得 t2 -(3:2 、2a)t 4a - 4 = 0.因?yàn)橹本€l與曲線C分別交于M、N兩點(diǎn)，所以 =(3 J2 +J2a)2 4(4a+4) > 0 ,解得a#1,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得t+t2=3+&a, t42=4a +4,又因?yàn)閍>0,所以短2 >0.因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-2,

33、0),且在直線l上，所以|PM |十|PN |=t1|十同=3貶十缶 =5夜，解得a = 2,此時滿足a >0,故a = 2.1 x = cos28.曲線Ci的參數(shù)方程為2(中為參數(shù))，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系y-sin :2 2中，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 Pcos2 0 =3sin日.(1)求曲線Ci的極坐標(biāo)方程和曲線 C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l : y =kx與曲線Ci, C2的交點(diǎn)分別為 A、b ( A、B異于原點(diǎn))，當(dāng)斜率kwt，、6時，求1OA +舟的最小值.【答案】(1) Ci的極坐標(biāo)方程為P = sin日；曲線C2的直角坐標(biāo)方程2 2.2x =

34、3y . (2)(1)由題曲線的參數(shù)方程為jx = 1 cos :2y =- - sin :2 2(中為參數(shù))，消去參數(shù),21 2122可得曲線C1的直角坐標(biāo)方程為 x +(y)=，即x +y y=0,24則曲線G的極坐標(biāo)方程為P2 -Psin9 =0,即P=sin8 ,又因?yàn)榍€C2的極坐標(biāo)方程為Pcos2 日=3sin 日，即 P2 cos2H =3Psin 日，x = :cos根據(jù) n 凸，代入即可求解曲線C2的直角坐標(biāo)方程x =3y.y = :一 sin -(2)解法1：設(shè)直線l的傾斜角為0JIx tcos：則直線l的參數(shù)方程為(a為參數(shù),y =tsin：把直線l的參數(shù)方程代入曲線Ci

35、的普通坐標(biāo)方程得:t2tsina = 0 ,解得t1把直線l的參數(shù)方程代入曲線C2的普通坐標(biāo)方程得:t2cos= 3tsina ,解得t13sin 工2cos 二=t23sin 二2cos 二OB|2cos 二3sin 二2sin ;)'；k 史，的,即tana R國，回,JiMsin 世sin工2sin ;-2.12sin : -2.2,=0, t2 =sina , ，OA =|t2 = since ,.、屋一當(dāng)且僅當(dāng)= 2sin a ,即sin a = 時去等,1故0A +廠一的最小值為 |ob|解法2:設(shè)直線|的極坐標(biāo)方程為日=o( <a < 代入曲線C1的極坐標(biāo)方程

36、，得 P sin a，二|oA = s =sina把直線l的參數(shù)方程代入曲線 C2的極坐標(biāo)方程得：pcos2e =3sin a ,3sin -3sin -=sina +OB2cos -3sin + 2sin a),曲線C1的參'；k W 一,3J3,即 tana c , J33*兀1.3,一 Wsin u W ,2sin 二 一 2當(dāng)且僅當(dāng)sin 二sin 二1=2sin 支，即 sin a =sin 二時去等故OA +OB的最小值為2.239.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是«y = 4sinx = 2 4cos:(a為參數(shù))，把曲線C向左平移2個單0(位，再把圖象

37、上的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短為原來的一半(橫坐標(biāo)不變)Ci ,直線l的普通方程是J3x +y -2 =0 ,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求直線l的極坐標(biāo)方程和曲線 Ci的普通方程;(2)記射線日=(p至。)與C1交于點(diǎn)A ,與l交于點(diǎn)B ,求6AB的值.【答案】(1)psin 8+3= 1,x2 +4y2 =16 ； (2)蛀1.7曲線C的普通方程為:(x2)2 +y2 =16,經(jīng)過變換后得到Ci的方程為:x2 +(2y)2 =16 ,2即G的普通方程為：x22-4y =16.直線l的極坐標(biāo)方程為:串pcos 0+ psin 0-2=0, IP：psin( 0 + )=1.

38、3(2)由(1)可求Ci的極坐標(biāo)方程為:7T(pcos8) +4( psin 0) =16 ,令 8=一解得: 664 日口8.7，即：p = 士,77- PA=8(P 之 0)， TT一同理直線l的極坐標(biāo)方程中令 。=:有：PB =1 ,故 AB = Pa Pb8%7_178.7-1 .10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2cos2日+3P2 sin28=12，點(diǎn)p的極坐標(biāo)為(2,S，傾斜角為口的直線l經(jīng)過點(diǎn)p .(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；L.J(2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，求PAPB的取值范圍【

39、答案】(1)124x - -2 tcos： y =tsin ;(2)【解析】22(1)由 P2 cos2 6 +3P2sin2e =12 可得，x2 + 3y2 =12 ,即 上+上=1.124設(shè)點(diǎn) P(x,y),則 x=2xcosn = _2, y = 2xsinn = 0,即點(diǎn) P(2,0), x - -2 tcos：,.，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）y =tsin 二（2）將直線 l 的參數(shù)方程代入 x2+3y2=12 得，（1 + 2sin2a ）t2 4tcos« 8 = 0,4 =48 + 48sin2 a a 0恒成立，設(shè)點(diǎn)A對應(yīng)的參數(shù)為t1 ,點(diǎn)B對應(yīng)的參數(shù)為t2

40、,4cos8c則 t1 +t2 =2 , t1t2 =2 <0 ,1 2sin2：1 2sin2 ：則|PA| |PB| 同 h 蹌|同2+t2 2 -4日233 +3sin2at211 .選彳4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程_x = 2 2cos1在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，圓C的參數(shù)方程為i（日為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸y = 2sin的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為 Pcosie- = 13（1）求圓C的極坐標(biāo)方程;（2）已知射線mW =ap '0, I：若m與圓C交于點(diǎn)a （異于點(diǎn)O）, m與直線l交于點(diǎn)B ,求蛆包 .2|OB|的最大值.【答案】（1）

41、 P =4cos9 ； （2） 3【解析】x = 2 2cos1（i）由圓c的參數(shù)方程為i消去參數(shù)e,y = 2sin i得到圓的普通方程為（x2）2+y2=4,即x2十y24x = 0,所以其極坐標(biāo)方程為P2 -4Pcos6 =0 ,即P =4cos8 ；（2）由題意，將0 =a.代入圓C的極坐標(biāo)方程得 OA = PA = 4cosce -將日=a代入線l的極坐標(biāo)方程，得OBcos I 3LL , |OA| ,二所以=4cos ):cos I -|OB|.3= 4cos：. 1cos：. sin：.22=2cos2ot +2 V3sin otcosa =j3sin 2a +cos2ot +1

42、=2sin(2a +) +1 , 6一冗因?yàn)?& 0 I 0, I, ,2一 八二 7二所以2a +=.一,I66 6以取得最大值3. |OB|12 .選彳4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線C的方程為（x-2J3）2 +2x = , 3t(y+1) =16 ,直線l的參數(shù)方程為4(ty = t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系（1）求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程;（2）設(shè)直線l與曲線C交于A, B兩點(diǎn)，求AB的值.【答案】（1）l： e=PWR), C： P2 4石Pcos"2Psin8-3 = 0； (2) 后(1)由x = J

43、3y得y=Y3x ,所以l的極坐標(biāo)方程為(=£(PW R), 36由(x 2封2 +(y +1)2 =16得 x2 +y2 _4>/3x+2y 3=0 ,又因?yàn)?x2+y2=P2, x = PcosB , y= PsinB ,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為 P2 -473pcose +2Psine -3 = 0.(2)將日=工代入 P2 -4J3Pcos0 +2Psine _3 = 0, 6可得 p2_6P+p_3=0,即 p2_5P_3 = 0,所以已+2=5,烏0=3,由極坐標(biāo)幾何意義得 |AB|= R _P2| =J(P1 + P2 j_4P1P2 =J25 + 12 =737.13 .在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為(x2)2+y2=4,過點(diǎn)(2,0)且斜率為k(k>0)的直線l與曲線C相切于點(diǎn)A.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程和點(diǎn) A的極坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)b在曲線C上，求AOAB面積的最大值.5 二一【答案】 P = 4cos8 ；點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,)或(2,) . (2)