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1、10.3二項(xiàng)式定理【考綱要求】1、能用計(jì)數(shù)原理證實(shí)二項(xiàng)式定理.2、會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.【根底知識(shí)】n0n1n12n22rnrrnn1 、二項(xiàng)式定理:abCnaCnabCnabCnabCnb二項(xiàng)式的展開式有n1項(xiàng),而不是n項(xiàng).2 、二項(xiàng)式通項(xiàng)公式:Tr1Cnranrbrr0,1,2,n1它表示的是二項(xiàng)式的展開式的第r1項(xiàng),而不是第r項(xiàng)2其中Cnr叫二項(xiàng)式展開式第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),而二項(xiàng)式展開式第r1項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù).3注意r0,1,2,n3 、二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1對(duì)稱性:在二項(xiàng)展開式中,與首末兩項(xiàng)“等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.即Cnm=C2增減性
2、和最大值:在二項(xiàng)式的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)先增后減,且在中間取得最大值,如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等,即3所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即C0C:C;Cnn2n1nnCnCn2Cn0Cn2Cn4Cn1Cn3Cn52n14 .二項(xiàng)展開式的系數(shù)a0,a1,a2,a3,an的性質(zhì):對(duì)于f(x)a0a1xa2x2ggganxna0a1a2a3anf(1),a0a1a2a3(1)nanf(1)5、證實(shí)組合恒等式常用賦值法.【例題精講】例1假設(shè)(12x)2004a0a1xa2x2a2
3、004x2004,xR求(/a)+(a)a)+a0a2004)解:對(duì)于式子:(12x)2004a0a1xa2x22004a2004x,xR,令x=0,便得到:a0=1令x=l,得到a0a1a2a2004=1a2004)又原式:(a0a)+(a0a2)+(a=2004ao(a1a2a20042003a0(a.a1a2a2004):原式:(a0a)+(aa2)+(a022004)=2004例2.二項(xiàng)式(.jX馬)n,(nCN*)的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)的x比是10:1,(1)求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)以及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)解:(1)二第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)的
4、比是10:1,44.Cn()10,解得n=8c2(2)21令x=1得到展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為(1-2)8=1(2)展開式中第項(xiàng),第r+1項(xiàng),第r+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為r1nr_rr_r1C82,C82,C82,那么必須滿足:假設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大r1nrrr、.r1r1rr.一C82C82并且C82C82,解得5&r-1,故系數(shù)大于一1的項(xiàng)共有4項(xiàng).6.A【解析】:由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tk+-C:n1(x)k=(1)kC4nlxk,可知系數(shù)為(1)kC:n1,與二項(xiàng)式系數(shù)只有符號(hào)之差,故先找中間項(xiàng)為第2n+1項(xiàng)和2n第2n+2項(xiàng),又由第2n+1項(xiàng)系數(shù)為(1)2nC:n1=C:n1,
5、第2n+2項(xiàng)系數(shù)為(1)+1C:11=-C4;110,故系數(shù)最大項(xiàng)為第2n+1項(xiàng).7.10【解析】:展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為S=Cn+Cn+,-+G=2=32,n=5.Tx-xk25k/1kck102k3kx-xk105kTk+1=C5x(x3)=C5x=C5x,:展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T3=C2=10.2,8.10253【解析】::Tk+1=Cx(?)=Qx-2,由53k=2,:k=1,:x2的系數(shù)為10.令x=1得系數(shù)和為35=243.9.3【解析】:由T7=C923x號(hào)6=,.x=-1.3一,11.10.【解析】依題意,前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是1,d(2),d(2)2,一11212且2Cn,2=1+Cn(2),即n29n+8=0,:n=8(n=1舍去),1:展開式的第k+1項(xiàng)為d(、/x)8()24x,1、18-kk,iC8163k=(-2)C8-x-2-x-4=(-1)*x4(1)證實(shí):假設(shè)第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),一1163k當(dāng)且僅當(dāng)=0,即3k=16,kcz,.這不可能,:展開式中沒有常數(shù)項(xiàng).(2)假設(shè)第k+1項(xiàng)為有理項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng)v0k2-幻*21幻)或所以L8,即不=*3二-2工子是系數(shù)免對(duì)值最大的項(xiàng).(3)由于系數(shù)為正的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng),故可設(shè)第2k-1項(xiàng)系數(shù)最大,于是2k2222k2k2、k4242kk4205g2C20g3g22k2222k
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