全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題及詳解

1、2021年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題及詳解第一試、選擇題：此題總分值42分,每題7分1.假設(shè)a,b,c均為整數(shù)且滿足10(ab)10(ac)b|bc|ca|A.1.B,2.C,3.D,4.a由可推得a2.假設(shè)實數(shù)a,b,c滿足等式27a3|b|6,9|b|A.0.B,1.C.2.D,3.由,6c4、,a9b2(2、G3b)15b3.假設(shè)a,b是兩個正數(shù),4.c1,分別代入即得.0,那么b1.C.12那么c可能取的最大值為15b假設(shè)方程13.b時,可計算得3xB.0的兩根也是方程一9.C.12,.c2.觀察4個選項,只能選C.6.2axbx解：由：x4ax2bxc一定能被x23x1整除.2axbx

2、c(x3x1)(x23x10)(3ab33)x(ac10)0,故3a(3a33100的根,那么ab2c的值為0.b33)x(ac10)2c135.在ABC中,EDDBCE,CDBCAB60CDE,那么,D,E分別是邊DCBAED60,B)A.15.B.20.C.25.D.30解：如圖,由,ADE是正三角形.作BF/DE交AC于F,貝UBD=EF,從而EC=DE+BD=AB=BF,DE=FC,又/1=Z2=120,故AEDCAFCB.故x門口./CDB=2,ZBDE=120,40,故x40,由40：60120；,得：x20：.上的點,且ACAB,(6.對于自然數(shù)n,將其各位數(shù)字之和記為an,如2

3、2021200911,8202120103,那么ai8283川a2021a2021A.28062.B.28065.C.28067.D.28068.解：將0,1,2,999這1000個自然數(shù)分為500個數(shù)組：0,999、1,998、2,997、499,500.注意到：這500個數(shù)組中,每個數(shù)組的兩個自然數(shù)各位數(shù)字之和均為9+9+9=27,故0,1,2,999這1000個自然數(shù)各位數(shù)字之和等于2750013500.于是,1000,1001,1002,1999這1000個自然數(shù)各位數(shù)字之和等于13500+1000=14500.從而a1a2a3a1999135001450028000.顯然:a2000

4、a2001Hla202168,故：818283m8202128068.、填空題：此題總分值28分,每題7分xV19-221.實數(shù)x,y滿足方程組,那么x2y2xy1,13解:33xy19xy122xyxy1922xy2xy1y2132,二次函數(shù)yx2bxc的圖象與x軸正方向交于C.1ABV3AC,CAO30,那么c-9解：如圖,由可推得：OCcOA73c,設(shè)A(x1,0),AB23c21由x1x29ccc-.9,x1B(x2,0),那么X2、-3c3、ScA,B兩點,與y軸正方向交于點3 .在等腰直角ABC中,AB=BC=5,P是ABC內(nèi)一點,且PA=J5,PC=5,那么PB=J10.解：見上

5、圖.4 .將假設(shè)干個紅、黑兩種顏色的球擺成一行,要求兩種顏色的球都要出現(xiàn),且任意中間夾有5個或10個球的兩個球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放,最多可以擺放15個球.解：先畫一個“初始圖：OABCDEOABCDE.根據(jù)題目要求,逐一確定各個字母的顏色,得到：OOOODOOOOODO顯然,D應(yīng)為黑色.即:再按要求嘗試增加小球,確定最后結(jié)果如下:此題總分值20分2.2ab2,cabacbc13,由等式可得(ab)2(bc)2(ac)2bm,bc于是,等式變?yōu)榈诙嘇)設(shè)整數(shù)a,b,c(abc)為角形的求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù).26cmn,其中m,n均為自然數(shù).2,、2n(mn)2

6、6,即22mnmn13由于m,n均為自然數(shù),判斷易知,使得等式成立的m,n只有兩組:3,和11,3.(1)當m3,n1時,bc1,ab3c4.又a,b,c為三角形的三邊長,所以bc即(c1)cc4,解得c3.又由于三角形的周長不超過30,即abcc4c1c一25解得c一.因此3c325,所以c可以取值4,5,6,7,8,對應(yīng)可得到5個符合條件的三角形.3(2)當m1,n3時,bc3,ab1c4.又a,b,c為三角形的三邊長,所以bc即(c3)cc4,解得c1.又由于三角形的周長不超過30,即abc(c4)(c3)c23解得c23.因此1c3233,所以c可以取值2,3,4,5,6,7,對應(yīng)可得

7、到6個符合條件的三角形AB邊交于點P,的切線.5+6=11.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)為二.此題總分值25分等腰三角形ABC中,AB=AC,/C的平分線與ABC的內(nèi)切圓.I與BC邊的切點,作MD/AC,交.I于點D.證實：PD是.I的切線.證實過點P作.I的切線PQ切點為Q并延長,交BC于點N.由于CP為/ACB的平分線,所以/ACP=/BCP.又由于PA、PQ均為.I的切線,所以/APC=/NPC.又CP公共,所以ACPANCP,所以/PAC=ZPNC.由NM=QN,BA=BC,所以QNMsBAC,故/NMQ=/ACB,所以MQ/AC.又由于MD/AC,所以MD和MQ為

8、同一條直線.又點Q、D均在.I上,所以點Q和點D重合,故PD是.三.(此題總分值25分)二次函數(shù)yX2bxc的圖象經(jīng)過兩點P(1,a),Q(2,10a).(1)如果a,b,c都是整數(shù),且cb8a,求a,b,c的值.(2)設(shè)二次函數(shù)yx的方程2xbxc的圖象與x軸的交點為a、B,與y軸的交點為C.如果關(guān)于x2bxc0的兩個根都是整數(shù),求ABC的面積.解點P(1,a)、Q(2,10a)在二次函數(shù)yx2bxc的圖象上,故1bca,42a解得b9a3,c8a2.-8a29a3,-一(1)由cb8a知解得1a3.9a38a,又a為整數(shù),所以a2,b9a315,c8a214.(2)設(shè)m,n是方程的兩個整數(shù)

9、根,且mn.n)6,由根與系數(shù)的關(guān)系可得mnb39a,mnc28a,消去a,得9mn8(m兩邊同時乘以9,得81mn72(mn)54,分解因式,得(9m8)(9n8)10.所以9m89n81,9m829m8或或10,9n85,9n8109m85,或1,9n82,解得2,或1019或9或7,9193又m,n是整數(shù),所以后面三組解舍去,故m1,n2.因此,b(mn)3,cmn2,二次函數(shù)的解析式為yx23x2.1)21.13,求符易求得點A、B的坐標為(1,0)和(2,0),點C的坐標為(0,2),所以ABC的面積為1(22第二試(B)一.(此題總分值20分)設(shè)整數(shù)a,b,c為三角形的三邊長,滿足

10、a2b2c2abacbc合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)(全等的三角形只計算1次).解不妨設(shè)abc,由等式可得(ab)2(bc)2(ac)226令abm,bcn,那么acmn,其中m,n均為自然數(shù).于是,等式變?yōu)閙2n2(mn)226,即m2n2mn13由于m,n均為自然數(shù),判斷易知,使得等式成立的m,n只有兩組：m3,和m1,n1n3.(1)當m3,n1時,bc1,ab3c4.又a,b,c為三角形的三邊長,所以bca,即(c1)cc4,解得c3.又由于三角形的周長不超過30,即abc(c4)(c1)c30,2525解得c一.因此3c,所以c可以取值4,5,6,7,8,對應(yīng)可得到5個符合條

11、件的三角形.33(2)當m1,n3時,bc3,ab1c4.又a,b,c為三角形的三邊長,所以bca,即(c3)cc4,解得c1.又由于三角形的周長不超過30,即abc(c4)(c3)c30,r2323解得c一.因此1c一,所以c可以取值2,3,4,5,6,7,對應(yīng)可得到6個符合條件的三角形.33綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)為5+6=11.二.(此題總分值三.(此題總分值25分)題目和解答與(25分)題目和解答與(A)卷第二題相同A)卷第三題相同第二試(C)一.(此題總分值20分)題目和解答與(B)卷第一題相同.二.(此題總分值25分)題目和解答與(A)卷第二題相同.三.(此題總分值25分)設(shè)p是大于2的質(zhì)數(shù),k為正整數(shù).假設(shè)函數(shù)yx2px(k1)p4的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標至少有一個為整數(shù),求k的值.解由題意知,方程x2px(k1)p40的兩根x1,x2中至少有一個為整數(shù).由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2p,x1x2(k1)p4,從而有(x12)(x22)x1x22(x1x2)4(k1)p(1)假設(shè)k1,那么方程為x2px2(p2)0,它有兩個整數(shù)根2和2p.(2)假設(shè)k1,那么k10.由于x1x2p為整數(shù),如果x1,x2中至少有一個為整數(shù),那么不,*2都是整數(shù).又由于p為質(zhì)數(shù),由式知p|x12或p|x22.不妨設(shè)p|2,那么