最新求極限的方法及例題總結(jié)資料

1、1 .定義：說明：（1） 一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上 面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：；女血-1,5（2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運用，而 不需再用極限嚴(yán)格定義證明。利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限這種方法要求熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的定義。7：已知獅皺的定義求tWlimStx-*02. 極限運算法則定理1已知1im f（x） , l'm g（x）都存在，極限值分別為A , B，則下面極限都存 在，且有（1）lim f （x）±g（x） = A±B（2）lim f （x） g（x）二 A Blim丄兇二-,（此時需B - 0成立

2、）（3）g（x） B說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當(dāng)條 件不滿足時，不能用。.利用極限的四則運算法求極限這種方法主要應(yīng)用于求一些簡單函數(shù)的和、乘、積、商的極限。通常情況下，要 使用這些法則，往往需要根據(jù)具體情況先對函數(shù)做某些恒等變形或化簡。例&sin x= 1*3=_2*8用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限lim 3X 1-2 例 1 x 1 x-1&3x+1)2 -223x 33limlim 解：原式=x ” (x-1)3x 12) x "(x-1)(、3x 12)4注：本題也可以用洛比達法則。例丄叮32 一1)解：原式=lim

3、(n_2)二(匸1)n 八，n 2、n -1分子分母同除以32(-1)n 3nlim n n例 3 n 匚 2n - 3n上下同除以3limn )：:解：原式» 12=1(2)n 133. 兩個重要極限(1)sin x limXr°x解原式=hm1 -jr + sin x-31im-*-* a + si n xlimn + g)x_c Xlim (1 x)x = e(2)x >0；說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身,1. sin 3x ,-jxlim=1lim(1 -2x)x例如：x >0 3x ， x >0還應(yīng)能夠熟練運用它們的變形形式,xlim （

4、1x=e.等等，等等。利用兩個重要極限求極限1 - cosx例5啊飛廠2s in2X2s in2?limy-2 = lim -八0 3xxJ2(2解：原式= 注：本題也可以用洛比達法則。2lim （1 3sin x）' 例6解：原式!叩品x）E1_6sin xxlim(1 -3sin x) J3sinx x >0_6sin xx-6e0n 2 n 例 7 nim(T7)F0 + n + 17）葺啟二e，n 1_3nlim(1 尸市解：原式=n心 n"4. 等價無窮小定理2無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是 0）。定理3當(dāng)xt 0時，下列函數(shù)都是無窮小（即極限是

5、 0）,且相互等價，即有:x sin x tanx arcsin x arctanx ln(1 x)ex - 1說明：當(dāng)上面每個函數(shù)中的自變量x換成g（x）時（g（x）T 0），仍有上面的等價關(guān)系成立，例如：當(dāng)x > 0時，e3x T3x ； ln（1 x2）-x2定理4如果函數(shù)f (x), g(x), fi(x),gi(x)都是x > X。時的無窮小，且f(X)limlim丄兇fi(x) , g(x)gi(x),則當(dāng)x >xo gi(x)存在時，xzg(x)也存在且等于.fi(x). f(x)fi(x)lim lim limf (x) gi(x) 即 JX。g(x) = J

6、X。gi(x)利用等價無窮小代換(定理4)求極限xln (1+3x) lim-2-例 9 x >0 arctan(x )解:x > 0時，ln(13x)3xarctan(x-)x2lim 聳=3原式=x 0 xx sin x e elim -例 10 x 0 xsin xsin x x _sin xe (e -1) lim解：原式=x >0x_sinx注：下面的解法是錯誤的：=limx -.0sin x ze (x-sin x)1x -sin xxsin xlim(e-1(e -1) 原式=x)0x -sinx正如下面例題解法錯誤一樣:tan xsi nx四飛x3例11tan

7、(x2sin ) limQx-Q sin x當(dāng)xt o時，x2 sin丄 是無窮小，” tan(x2sin丄)與x2 sin1等價 解：xxx所以,lim原式=x >02 . 1x sinxx= lim xsin(最后一步用到定理2)五、利用無窮小的性質(zhì)求極限 有限個無窮小的和是無窮小，有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小。用等價無窮小替 換求極限常常行之有效。i 戸氐1)lim sn竺(0例 1. x 0 e -12. x >0lnx5 洛比達法則定理5假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù) f（x）和g（x）滿足：（1）f（x）和g（x）的極限都是o或都是無窮大；（2） f（

8、x）和g（x）都可導(dǎo)，且g（x）的導(dǎo)數(shù)不為o；.f （x）lim（3）g （x）存在（或是無窮大）；rf （x）f （x）f（x） f （x）limlimlimlim貝朋限g（x）也一定存在，且等于 g （x），即 g（x）= g（x）。說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應(yīng)注意條件是否滿足，只要 有一條不滿足，洛比達法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗0證所求極限是否為“ 0 ”型或“二”型；條件（2） 一般都滿足，而條件（3） 則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外， 洛比達法則可以連續(xù)使用，但每次使 用之前都需要注意條件。利用洛比達法則求極限說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)

9、比較復(fù)雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達法則還可以連續(xù)使用。1-COSXlim2例 12 x 0 3x（例 4）解：原式=x >°6x_ 6二 X2-1.nxsin -2271sin x limcos lim 例 13 x 1 x -O (最后一步用到了重要極限)lim解：原式=x 11x - sin xlim3例 14 x ° x1 - cosx sinx lim 2 lim 解:原式=x Q 3x = x Q6x6。(連續(xù)用洛比達法則,最后用重要極限)例15解：limx=°sin x- xcosx2；x sin x原式si

10、n x - xcosx2xxsin x lim廠x)° 3x2=limx_°cosx - (cos x xs in x) =limx爭03x2例18lim -x “X ln(1 x)1 1四=0 解：錯誤解法：原式=x燈X x=訕 ln(1 x)-xx )°正確解法：ln(1 x) - xxln(1 x)1=limx °原式=lim ')X1 + x -limlimx >° 2x x 幻 2x(1 x) 2應(yīng)該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。x2si nxlim例 19 J 3x cosx解：易見：該極限是“0°

11、 ”型，但用洛比達法則后得到:1 - 2cosx3-sinx，此極限不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下： 2sinx1 -limxx cosx3 +原式=x（分子、分母同時除以x）1=3 （利用定理1和定理2）6 連續(xù)性定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點處都連續(xù)，即如果X。是函數(shù)f（x）的lim f （x） = f（X。）定義去間內(nèi)的一點，則有x訊。利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限1lim x2ex例 4 X；21解：因為X。=2是函數(shù)f（X）二x23的一個連續(xù)點,原7 極限存在準(zhǔn)則定理7 （準(zhǔn)則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限四、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和

12、有界性，再求解方程可求出極限。例1.治=a,X2 二.a . a 二.a，Xni = . a Xn (n = 1,2,)求極限n，mx定理8 （準(zhǔn)則2）已知Xn，yn，Zn為三個數(shù)列，且滿足:y Xn 乞 zn ,(n =1,2,3,)(2)lim yn =a lim zn = ann_c則極限lim Xnlim xn = an匸一定存在，且極限值也是a，即n心。10.夾逼定理運理2 （變到光定逢）如臬鍍列號卜（片n足用列條甘* *Cl> y9 < Xs S ZB (i>=lrt k+lpk+Z*6)八 hmjr. =ltm z, =,11101 jt_ = a *冨*暮峠定

13、理3 （函按劑罡理呦黑麺thCx）SI£T列條件丄當(dāng)0 V JT-0 < 5（蕊看hl加 時科Lm （x） = lun加力二川為址I詢兇存在.且移干弘sin舁打一sm廿倒旳求hxn +竺耳卜<-*時*】丄】IM + T A + 2n諛i/rijtsin sin smj絡(luò)因洵一 <一 <，聲決R + 1 T J,1JTm' finT1 '說.】厶 mjtfl < 2Z電而 hia/7.iici =»tX n+L«zf»»*自 n nxdx = *JT于處由吏謖定理可知蔭瓷等于Z利用極限存在準(zhǔn)則求極限例

14、 20 已知 X1 =丿2 , Xn+ = "2 + 滄，(n = 1, 2,)，求”豎 Xn解：易證：數(shù)列Xn單調(diào)遞增，且有界（0<Xn<2），由準(zhǔn)則1極限 Xn存lim xn = a在，設(shè)n心對已知的遞推公式x1 =、2 Xn兩邊求極限，得:-12 a，解得:所以lim xnn >：:例21lim (n_.解:n 1 12易見： n2 n . n2 1 - n2 2因為+n =1n21一1n2 nn21lim (所以由準(zhǔn)則2得: n匸 n21； n229.洛必達法則與等價無窮小替換結(jié)合法對于一些函數(shù)求極限問題，洛必達法則和等價無窮小結(jié)合御用，往往能化簡運算, 收

15、到奇效。I訐口 f (sin x sin*sin x) sin xVi 2：求極隴hm7pr-K)fS3： lim(?inx-smsin xjsinx _ (sinxsinsinx)x Jr-iOr*11.泰勒展開法定星4如累函ft仏)在含有呂的基個因刖©)內(nèi)具頁豪到血階阪!M對任壯a易w( */二 /(%)+f (和(x- %)+(X-矯° + .+11(x)21 21縣中尺« = 斗¥匕嗎)決嘰這里/是介于州弓冀之間的粟令值“陰血求+-)*'zx紐由泰勒公式展開有：ln(l + -) = -1(丄尸+久丄幾x x 2 x x112.利用定積分

16、的定義求極限法積分本質(zhì)上是和式的極限，所以一些和式的極限問題可以轉(zhuǎn)化為求定積分的問 題。例5求Mm料(J斗 J勺4.賽"/+1 n于是苞hm jh =fL 掀匕 arctan=兀1+x1'048.利用復(fù)合函數(shù)求極限謨有蔓直回魏產(chǎn)v川碾刃+若limj芾竝擰f I吐:盞“r .苔涯金7則 I畑川諷町=/|hm OH = /（a） -1曹比靜*珀倒乩弟耦礙hm空UL7 X1 片抵11御工：上上！ = Ina+jt） 量由_y = ln*t * “ =（1 +jr）"麗"xinfl* 址、匕l(fā)im(l + jt)* = e* 在 im 克y = "m連繪

17、.lhoi -liratnG + x)*&篡r-*61-n( Itm (l + xy = =n = 1 -十、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限Q0unlim u 0級數(shù)收斂的必要條件是：若級數(shù)nm 收斂，則n m： n，故對某些極限Q0lin f（n） f （n）n匸（），可將函數(shù)f（n）作為級數(shù)“總的一般項，只須證明此技術(shù)收斂，便lim f （n） =0有。1一、利用幕級數(shù)的和函數(shù)求極限當(dāng)數(shù)列本身就是某個級數(shù)的部分和數(shù)列時，求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級 數(shù)的和，此時?？梢暂o助性的構(gòu)造一個函數(shù)項級數(shù)（通常為幕級數(shù)，有時為 Fourier級數(shù)）。使得要求的極限恰好是該函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)在某點的值。求 nim(17等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于 1）對付的還是數(shù)列極限）8 各項的拆分相加 （來消掉中間的大多數(shù)） 可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)9 求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限） 例如知道 Xn 與 Xn+1 的關(guān)系， 已知 Xn 的極限存