第4章-可測函數(shù)(習(xí)題)(2024054923)

1、第四章可測函數(shù)習(xí)題 4-1-P108P1081、證明E上的兩個簡單函數(shù)的和與乘積都還是E上的簡單函數(shù).m證明：設(shè) i(x)kmi那么Ek 1i)Ek1)i(x)mii 1mieP(x), i2(X)Ekk 1m1C11,2,為E上的兩個簡單函數(shù),mm2l(1)l(1)m2cj 1m2(cj 1E(i)(x)c(2)l(x) 2(x)m1m2Ex丿匸11丿工曰i Ej ，于是i 1 j 1m2E卩(X)C(2)j 1m1El2'"E(2)(X)E(D (X)im2c(2)j 1E(2)(X)m2E<1) (X)C(2)i j 1m11m1E(D(X)im2E(2)(X)E

2、(2) (X)m(1) (2)e(2)(x)Ci CjJi 1 j 1(1) (2) G Cji 1 j 1所以1(x)2(x)與1(x) 2(x)都是E上的簡單函數(shù)E(X)iEi Ej(2)(X)，2、證明當(dāng)f (x)既是E1上又是E2上的非負(fù)可測函數(shù)時，f(x)也是E1 E2上 的非負(fù)可測函數(shù)證明：由條件知a R,Ex;f(x)a, xE1M n,Ex; f(x)a,x E2 MnEx; f (x) a, xE1E2Ex; f (x) a,xE1Ex; f(x)a,x E1Mn3、設(shè) mE,f (x)是E上的幾乎處處有限的非負(fù)可測函數(shù)，證明對任意0,都有閉集F E ,使m(EF)，而在F上

3、f (x)是有界的.證明：顯然DmEx; f(x)mM ,D Ex; f (x)Dm Em 1由于mE,有 lim mDmm m(mDm) mD10,于是0, MNs.t. mDM 2,對于EmEDMM閉集FEm Es.t. m(EMF) 2,有m(EF) m(EEm)m( EmF) mDMm(EMF),顯然在FEmdM上,0 f (x) M .0,4、設(shè) fm (x)是可測集合E上的非負(fù)可測函數(shù)序列,證明：如果對任意證明：(1) x D x | lim fm(x)m0,x E,00, N N,m Ns.t. fm(x)0,即 DEx; fm(x)0,m N因Ex; fm(x)0m 1,有都有

4、 mEx; fm(x)m 1的逆命題是否成立？mDmmEx; fm(x)N00, N，即 mD 0所以 lim fm(x)m0 a.e. E.取非負(fù)fm(X)m 1,m (x)M ,ER,顯然 lim fm(x)m0,當(dāng)然limmfm(X)0 a.e. E ,由于,那么必有l(wèi)im fm(x) 0 a.e. E .又問這一命題mmx; fm(x)1 m m 1, m 1,有 mEx; fm(x) 1m 1可見逆命題不成立5、設(shè)mE,f (x)在E上非負(fù)可測，證明對任意y，EyEx; f(x) y都是可測的，進(jìn)而證明使mEy0的y最多有可數(shù)多個證明：(1)由條件知，k N,Ex;y f(x) y1

5、 丄M k，那么Ey Ex; f(x)yEx; y f (x)k 1y ；M .1由于yi y時,E% Ey2，記Bk y |mEy ,于是kA Ey |mEy 0 B y |mEy 0Bk ,k 1又因mE，那么Bk只能是有限集，否那么必有可數(shù)yi Ek s.t.EEyi , mEi 1m(E.)i 1i1mEyi i1；，卜是Bka所以ABk 1Bka .6、設(shè)實(shí)函數(shù)f(x)C(Rn)，證明：EM,均有 f (x) M (E).證明：EM ,a R，顯然G(a,)O,下面證明f 1(G) MX。1f (G)x| f(x)a,xRn因 f(Xo)G O,0 s.t. f(x。)N(f(xo)

6、, ) G,這樣(寸于0,0, s.t. x N(x0,),均有f(x)N(f(x。)，)G,從而 x f1(G)于是N(x。,)f 1(G),那么 f 1(G)OM .由于f 1(G)x| f(x) a,x E Ef 1(G) M所以f(x)M (E).7、設(shè)f(x)是R上的單調(diào)遞增實(shí)函數(shù)，試證明:f (x) M (R).證明：a R ,記 m in f f(x) , Ea x| f(x) a, x R, inf Ea,x Rx R因f(x)遞增假設(shè)Ea,那么Ea ,) M ,假設(shè)Ea,那么 Ea ( ,) M ,所以 f (x) M (E).8、證明R中可測子集E上的函數(shù)f(x)可測的充要

7、條件是存在上的一串簡單函數(shù)k(x),使f(x) 證明：f (x) M (E) f (x) M (E)非負(fù)簡單函數(shù)列 k (x) s.t. f (x) lim k (x)k簡單函數(shù)列k(x)k(x) k(x)st.9、證明；當(dāng) f1(x)是 E1 Rp, f2(y)是 E2Rq 中的可測函數(shù)，且 f1(x), f2(y)在E E1 E2上幾乎處處有意義時 1(x)f2(y)是E上的可測函數(shù).證明：由條件及上題知，簡單函數(shù)列i(x), j(y)s.t.j(x), y E2,fi(x) lim i(x), X Ei,f2(y)當(dāng)然(x, y) Ei E2時,上兩式也成立i(x) j(y)都是簡單函數(shù)

8、因fi(x), f2(y)在E Ei E2上幾乎處處有意義，有f1(x) f2(x) lim i (x)lim , (x) lim lim i(x) ,(x) a.e. E ,ijJi jJ所以f1(x)f2(y)是E上的可測函數(shù)10、證明：如果f (x)是定義于Rn中上的可測子集 E上的函數(shù)，那么f(x)在E上 可測的充要條件是對 R中任意Borel集B, f 1(B) x| f (x) B都是E的 可測子集，如果f (x)還是連續(xù)的，那么f 1(B)還是Borel集.證明：Bi, B R,有f 1(Bc) f 1(B)c,1 11 1f ( Bi) f (Bi), f (Bi)f (Bi)

9、,i 1i 1i 1i又Rn中Borel集是由開集經(jīng)過一系列取余集，作可數(shù)交，作可數(shù)并 而得到的集合，因此此題只要對開集證明即可(1) f (x) M (E) a b R, f 1(B) x|a f (x) b M1對R中任意開集B , f (B) M1對R中任意Borel集B , f (B) M .12、證明：如果函數(shù) f (x) f (Xi,X2,(2)如果 f (x) C(Rn), B O , f 1(B) O對R中任意Borel集B , f 1(B)是Borel集.f (X1,X2, ,Xn) , iXi都是Rn上的可測函數(shù).證明：因f (x)可微當(dāng)然連續(xù)，1,2,nk(x) kf(X

10、1,X2,N1Jk,由上題知,Xn)f(X1,X2, ,Xi,Xn)證明：a R,因g(y) C(R)，假設(shè)G (,a)0,有g(shù) 1(G) y|g(y)a O由于 X x|g f(x) agf(x)a1f(x) g (G)x f 1g1(G),于是x|gf(x) a f1g 1(G)M所以 gf(x) M (E).11、設(shè)f (x)是E上的可測函數(shù)，g(y)是R上的連續(xù)函數(shù)，證明gf(x)是E上 的可測函數(shù).,Xn)是Rn上的可微函數(shù)，那么可測，因 f(x)可微,有f (X1，X2， ,Xn)Xilimkk(x),n,都是Rn上的可測函數(shù).所以 一 f (X1，X2， , Xn) , i 1,

11、2,Xi習(xí)題 4-2-P113P1131、舉例說明Egoroff定理中的條件mE般說來是不能取消的Egoroff 定理：設(shè)(1) mE , fk(x), f(x) aF (E)；(2) fk(x) M (E), k N ； (3) f (x)lim fk(x), x E ；k那么 0,均E M ,滿足E E , m(E E ),且fk(x)在E上一致收斂于f (x).解：取 E R,mE , f(x) 0, fk (x)k i,k(x) M (E) aF(E),顯然 f (x) lim fk(x),當(dāng)然 f(x)lim fk(x),取1,EM ,雖然滿足EE,m(EE ),2但k N,記Ikk

12、 1,k,由于1mlk m(EcIk) m(E Ik)m(EIk) m(Ec)有m(EIk)1 m(E )1 m(EE )11 ,2可見kN ,必x E I k Es.t.| fk(x)f(x)| 1,說明fk(x)在E上不一致收斂于f(x).2、設(shè) mE,fm(x)aF (E), fk(x) M (E),kN , lim fm(x) 0 ,證m明 Ek E,EkM,s.t. mE lim mEk,且在每個kEk 上fm(x)都一致收斂于f (x).證明：i N ,DiM ,滿足 Di E, m(E Di)丄,且2 fm(x)在Di上一致收斂于f (x),kkN,取 EkDiDkE , Ek

13、M ,且m 1 i m fm(x)在Ek上一致收斂于f (x),由于m(EDi) m(E 1Dic)m (E Dic)m 1i mm 1i mi mm(EDic)m(E 1Di)1cr0,m,o'i mi mim 2有 m(EEk)m(EDi)0,即k 1m 1 immE m(Ek)im mEk.3、設(shè) mE明,fm(x) aF(E), fk(x) M (E),kN , lim fm(x)0,證ma.e. E .進(jìn)而證明有EmmHkf (x),那么必有 fm(x)的子序列 fmk ( x) , St. | fmk(x)|k 1非負(fù)實(shí)數(shù)序列tm s.t.tm 而|tmfm(X)|m 1m

14、 1證明： 由條件及上題知，EkM ,s.t. mE且在每個Ek E上 fm(x)都一致收斂于kN ,mkNs.t.mmk,x1Ek，均有丨fm(x) |尹記DEk，由于m(Ek 1:D)mElim mEk 0,而kxDEk, k0k 1Ns.t.x Ek,kko,有| 仏(x) |k k°k1歹k。212心1所以| fmk(x)|a.e. E .k 1(2)由(1), mN,取1,1 m m,tm1,mk mkmmk 11,kN ,mk 1m叫1 1m1mk1 1 1有tmtmtm1m 1m 1k 1 m mkm 1k 1 mmk mk 1mkmk 1mk1k 1 mk 1mkk

15、1而m1mk 1 1|tmfm (x) |tmfm(x)|tm fm(x) |m 1m 1k 1m mkmi|fm(x)|m 1| fm(x)|m 1mk 1 1 t5六 | f m (X) |2 m 1|fm(x)| 1k 1 m mk1k 1 2tm(mk1 mQ2ka.e. E .4、取消上題中mE 證明：假設(shè)mE的限制.令 I k (X1,X2,k,iN(n),有EkEIk K M , EEk .k 1(1)由上題,知對 fm(x)有子列 f1,j(x) , St. | f1,j(x) |j 1a.e. E1,假設(shè)有 fk 1,j (x) , s.t.| fk 1,j(x) |j 1a

16、.e.Ek 1,對fk 1,j(x)有子列 fk,j(x) , s.t.a.e. Ek .| fk,j(x)|j 1令fmOfk,k(X),顯然 fmO)是 fk,j(X)的子列,當(dāng)然有I fmk(X)|j 1a.e. Ek , k N ,a.e. E .|fmk(x)|j 1(2)由上題知，k NR s.t.mtk,m1而|tk,m fm(x) |m 1a.e. Ek,mi 1記mo1,m,imin tk,m,mimi 1s.t.m,i 1,m mi 1m mmi 1,取 tmm,i,1mi 1tt1,mmm,im 1i 1 m mi 1i 1 m mi 1ktm而 k N , r Ns.t

17、. ki,有mi 11 tm f m(X)11 m,i fm (x) |m mr ii r m mi imi 1|tk,mfm(x)|tk,mfm(x)|,aeEki r m m 1m m1所以|tmfm(x)|a.e. E.m 1習(xí)題 4-3-P117P1171、設(shè)E是有限可測集,f (x)在上幾乎處處有限，那么f (x)可測的充要條件是有 一串在整個空間上連續(xù)的函數(shù)k(x)使f (x) lim k(x)a.e.E.k證明：“充分性由于k(x)連續(xù)當(dāng)然可測，f(x) limk(x) a.e. E ,k于是f (x)可測.“必要性mm(1) 假設(shè) EFk ,Fk C , f(x)Ck f,x)

18、,可定義k 1k 11(x) C1 C(Rn),且 1(x) f(x), x F1 D1,m 1假設(shè)有 m 1(X)C(Rn),且 m1(X) f(x), xFkDm 1 ,k 1那么 m(x)Cm (x,Dm1)m1(x) (x,Fm) C(Rn),(X,Dm1)(x, Fm)m且 m(x) f(x), xFkDm.k 1取 k(x)m(x),當(dāng)然有 f(x) lim k(x), x E.k(2) 假設(shè) f(x) M (E), mE,簡單函數(shù)k(x) s.t. f(x) lim k(x)于 E .kkik N , k(x)Ck,i EkJ(x), Fk,i C , Fk,i Ek,i, s.

19、t.1m(Ek,i Fk,i)22k, m(E Fk)EEki 1k(X),i , FkFk,i , Fi 1如，C(Rn), k(x)m(EF)m(EFk)m 1k mm(EFkc)m (Em 1 kmk mm(E Fkc)m(E Fk)kiFCk m由k m有 m(E F)m 1 k mk(x), xkiFk ,Fk,所以 f (X) limk丄2kk m 20,由于 f(x) lim k(x)limkkkE .k(x) a.e.0,k(X), X F ,2、設(shè)E是有界閉集f(x)在E上無界,由于gC(E),那么,Xm E,f (x)m NE有界，故XmkM Os.t. |f(x)| s.t.|f(Xm)| m,Xo E ,而 | f (Xg ) | mkM ,x E.又 f (x) C(Xo),于是 f (Xo) kim f (Xmk)這與f (x) C(Xo)不符，所以f (x)在E上有界.習(xí)題 4-4-P123P123mm1、設(shè) fk(x) f (x), gk(x) g(x) , x E ,證明 fk(x)mgk(x) f (X) g(x).證明：，0,當(dāng) I fk(x)f(x)|,| gk(x)2|fk(x) gk(x) f(x)g(x)| I fk(x)f(x)|由于 fk(X)m f (x) , gk(x/1g(