選修4-1第二節(jié) 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

1、第二節(jié)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系第二節(jié)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系n 一、圓周角定理n 1圓周角定理n 圓 上 一 條 弧 所 對(duì) 的 圓 周 角 等 于 它 所 對(duì) 的 圓 心 角的 n 2圓心角定理n 圓心角的度數(shù)等于 n 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角 ；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也 n 推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是 ；90的圓周角所對(duì)的弦是 一半一半它所對(duì)弧的度數(shù)它所對(duì)弧的度數(shù)相等相等相等相等直角直角直徑直徑n 二、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理n 1性質(zhì)n 定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角 n 定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的 n 2判定n 判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這

2、個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) n 推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) 互補(bǔ)互補(bǔ)對(duì)角對(duì)角共圓共圓共圓共圓n 三、圓的切線(xiàn)的性質(zhì)及判定定理n 1性質(zhì)n 性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的 n 推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò) n 推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò) n 2判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的 n 四、弦切角的性質(zhì)n 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的 半徑半徑切點(diǎn)切點(diǎn)圓心圓心切線(xiàn)切線(xiàn)圓周角圓周角n 五、與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段n 1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的 相等n 2割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條

3、割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的 相等n 3切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的 n 4切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的 積積積積比例中項(xiàng)比例中項(xiàng)夾角夾角n 六、平行射影n 1正射影的定義n 給定一個(gè)平面，從一點(diǎn)A作平面的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)A，稱(chēng)點(diǎn)A為點(diǎn)A在平面上的正射影n 2平行射影的定義n 設(shè)直線(xiàn)l與平面相交，稱(chēng)直線(xiàn)l的方向?yàn)橥队胺较蜻^(guò)點(diǎn)A作平行于l的直線(xiàn)(稱(chēng)為投影線(xiàn))，必交于一點(diǎn)A，稱(chēng)點(diǎn)A為A沿l的方向在平面上的平行射影n 七、平面與圓柱面的截線(xiàn)n 1用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱，當(dāng)平

4、面與圓柱的兩底面平行時(shí)，截面是一個(gè)圓；當(dāng)平面與圓柱的兩底面不平行時(shí)，截面是一個(gè) n 2定理1：圓柱形物體的斜截口是橢圓橢圓橢圓n 八、平面與圓錐面的截線(xiàn)n 在空間中，取直線(xiàn)l為軸，直線(xiàn)l與l相交于O點(diǎn)，夾角為，l圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l為母線(xiàn)的圓錐面，任取平面，若它與軸l的交角為(當(dāng)與l平行時(shí)，記0)，則n (1)，平面與圓錐的交線(xiàn)為 ；n (2)，平面與圓錐的交線(xiàn)為 ；n (3)0)，n PA1，AB2，n PBPAAB3.n 延長(zhǎng)PO交O于點(diǎn)C，則PCPOr3r.n 設(shè)PO交O于點(diǎn)D，則PD3r.n 由圓的割線(xiàn)定理知，PAPBPDPC，n 13(3r)(3r)，9r23，r .n 答案

5、：n 考向一圓周角、弦切角和圓的切線(xiàn)問(wèn)題n 例1(2013年銀川模擬)如圖，已知AB是 O的直徑，銳角DAB的平分線(xiàn)AC交 O于點(diǎn)C，作CDAD，垂足為D，直線(xiàn)CD與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E.n (1)求證：直線(xiàn)CD為 O的切線(xiàn)；n (2)當(dāng)AB2BE，且CE 時(shí)，求AD的長(zhǎng)n 解析(1)證明：連接OC，n AC平分DAB，DACCAB.n OAOC，OCACAB，n OCADAC，ADCO.n CDAD，OCDE，CD為O的切線(xiàn)n (2)AB2BO，AB2BE，n BOBECO.n 設(shè)BOBECOx，n 則OE2x.n 在RtOCE中，n OC2CE2OE2，則n x2( )2(2x)2，n x

6、1，AE3，E30，n AD .n 1(2013年安徽六校聯(lián)考)已知C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是ACB的平分線(xiàn)交AE于點(diǎn)F，交AB于D點(diǎn)n (1)求ADF的度數(shù)；n (2)若ABAC，求AC BC.n 解析：(1)AC為圓O的切線(xiàn)，n BEAC.n 又知DC是ACB的平分線(xiàn)，n ACDDCB.BDCBEACACD，即ADFAFD，又因?yàn)锽E為圓O的直徑，n DAE90，n 考向二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定定理n 例2(2011年高考課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，D，E分別為ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與ABC的頂點(diǎn)重合已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的

7、方程x214xmn0的兩個(gè)根n (1)證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓；n (2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圓的半徑n 解析(1)證明：如圖，連接DE，在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即 .又DAECAB，從而ADEACB.n 因此ADEACB.n 所以C，B，D，E四點(diǎn)共圓n (2)m4，n6時(shí)，方程x214xmn0的兩根為x12，x212.故AD2，AB12.n 2(2011年高考遼寧卷)如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E點(diǎn)，且ECED.n (1)證明：CDAB；n (2)延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EFEG，證明：A，B，G，

8、F四點(diǎn)共圓n 證明：(1)因?yàn)镋CED，所以EDCECD.n 因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，n 所以EDCEBA.n 故ECDEBA.所以CDAB.n (2)由(1)知，AEBE.因?yàn)镋FEG，故EFDEGC，n 從而FEDGEC.n 連接AF，BG，則EFAEGB，n 故FAEGBE.n 又CDAB，EDCECD，所以FABGBA.n 所以AFGGBA180.n 故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓n 考向三與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段n 例3(2012年高考遼寧卷)如圖， O和 O相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A作兩圓的切線(xiàn)分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連接DB并延長(zhǎng)交 O于點(diǎn)E.證明：n (1)ACBDADAB；n (2

9、)ACAE.n 3(2013年大連三校聯(lián)考)如圖， O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線(xiàn)交 O于N，過(guò)N點(diǎn)的切線(xiàn)交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于P.n (1)求證：PM2PAPC；n (2)若 O的半徑為2 ，OA OM，求MN的長(zhǎng)n 解析：(1)證明：連結(jié)ON，則ONPN，且OBN為等腰三角形，則OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，n PMNPNM，n PMPN.n 由條件，根據(jù)切割線(xiàn)定理，有PN2PAPC，n 所以PM2PAPC.n 【答題模板】幾何證明問(wèn)題n 【典例】(10分)(2012年高考課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，D，E分別為ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線(xiàn)DE交ABC

10、的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CFAB，證明：n (1)CDBC；n (2)BCDGBD.n 【思路導(dǎo)析】(1)連接AF，利用平行關(guān)系構(gòu)造平行四邊形可得結(jié)論；n (2)先證BCD和GBD為等腰三角形，再證明兩三角形頂角相等即可n 【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以DEBC.又已知CFAB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CFBDAD.3分n 而CFAD，連接AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CDAF.5分n 因?yàn)镃FAB，所以BCAF，故CDBC. 6分n (2)因?yàn)镕GBC，故GBCF.n 由(1)可知BDCF，所以GBBD，所以BGDBDG.8分n 由BCCD知CB

11、DCDB，n 又 因 為 D G B E F C D B C ， 所 以BCDGBD.10分n 【名師點(diǎn)評(píng)】1.解決幾何證明問(wèn)題需用各種判定定理、性質(zhì)定理、推理和現(xiàn)有的結(jié)論，要熟悉各種圖形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的關(guān)系，適當(dāng)添加輔助線(xiàn)和輔助圖形，這一些知識(shí)都有利于問(wèn)題的解決n 2證明等積式時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為證明比例式，再證明四條線(xiàn)段所在的三角形相似另外也可利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理來(lái)證明n 3弦切角定理與圓周角定理是證明角相等的重要依據(jù)之一，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)需要添加輔助線(xiàn)構(gòu)造所需要的角n 4圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)也要熟練掌握，利用該性質(zhì)可得到角相等，進(jìn)而為三角形的相似創(chuàng)造了條件n 1(2012年高考陜西卷)如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EFDB，垂足為F，若AB6，AE1，則DFDB_.n 解析：利用相交弦定理及射影定理求解n 由題意知，A