第一章復變函數(shù)

1、11.4 1.4 擴充復平面與復球面擴充復平面與復球面復平面加上點復平面加上點 后稱為擴充復平面。記作后稱為擴充復平面。記作C+ = C擴充復平面的一個幾何模型就是復球面擴充復平面的一個幾何模型就是復球面 的幾何解釋的幾何解釋：由于在復平面上沒有一點能與由于在復平面上沒有一點能與 相對應，所以，只相對應，所以，只得假想在復平面上添加一個得假想在復平面上添加一個“假想點假想點”（或（或“理想理想點點”）使它與）使它與 對應，我們稱此對應，我們稱此“假想點假想點”為無窮為無窮遠點遠點 關于無窮遠點，我們約定：在復平面添加假想關于無窮遠點，我們約定：在復平面添加假想點后所成的平面上，每一條直線都通過

2、無窮遠點，同點后所成的平面上，每一條直線都通過無窮遠點，同時，時，任一半平面都不包含無窮遠點任一半平面都不包含無窮遠點2 , 0 的球面的球面點點取一個與復平面切于原取一個與復平面切于原 z , )( 如如圖圖與與原原點點重重合合球球面面上上一一點點S 作作垂垂直直于于復復平平面面的的通通過過 S . , 為為南南極極為為北北極極稱稱SNxyNOS , N點點直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一擴充復平面擴充復平面與復球面與復球面3 球面上的點球面上的點, 除去北極除去北極 N 外外, 與復平面內(nèi)與復平面內(nèi)的點之間存在著一一對應的關系的點之間存在著一一對應的關系. 我們用球面我們用球面上的

3、點來表示復數(shù)上的點來表示復數(shù). 球面上的北極球面上的北極 N N 不能對應復平面上的定不能對應復平面上的定點，但點，但球面上的點離北極球面上的點離北極 N N 越近，它所表示越近，它所表示的復數(shù)的模越大的復數(shù)的模越大. .xyPNOS),(yx1P),(11yx4 我們規(guī)定我們規(guī)定: 復數(shù)中有一個唯一的復數(shù)中有一個唯一的“無窮大無窮大”與復平面上的無窮遠點相對應與復平面上的無窮遠點相對應, 記作記作 . 因而因而, 球面上的北極球面上的北極 N 就是復數(shù)無窮大就是復數(shù)無窮大的幾何表示的幾何表示.xyNOS 5包括無窮遠點的復平面稱為包括無窮遠點的復平面稱為擴充復平面擴充復平面. . 不包括無窮

4、遠點的復平面稱為有限不包括無窮遠點的復平面稱為有限復平面復平面, , 或簡稱復平面或簡稱復平面. . 引入復球面后，能將擴充復平面的無窮遠引入復球面后，能將擴充復平面的無窮遠點明顯地表示出來點明顯地表示出來. . 球面上的每一個點與擴充復平面的每一個球面上的每一個點與擴充復平面的每一個點構成了一一對應點構成了一一對應, , 這樣的球面稱為這樣的球面稱為復球面復球面或或RiemannRiemann球面球面. .:| - | | |的的鄰鄰域域表表示示為為 N N( ( ) ) R R 或或 R R z az6 的幾何解釋：的幾何解釋：由于在復平面上沒有一點能與由于在復平面上沒有一點能與 相對應，

5、所相對應，所以，只得假想在復平面上添加一個以，只得假想在復平面上添加一個“假想點假想點”（或（或“理想點理想點”）使它與）使它與 對應，我們稱此對應，我們稱此“假想點假想點”為無窮遠點為無窮遠點 關于無窮遠點，我們約定：在復平面添加假想關于無窮遠點，我們約定：在復平面添加假想點后所成的平面上，每一條直線都通過無窮遠點后所成的平面上，每一條直線都通過無窮遠點，同時，點，同時，任一半平面都不包含無窮遠點任一半平面都不包含無窮遠點7復復數(shù)數(shù)平面表示法平面表示法定義表示法定義表示法三角表示法三角表示法曲線與區(qū)域曲線與區(qū)域球面表示法球面表示法復數(shù)表示法復數(shù)表示法指數(shù)表示法指數(shù)表示法復數(shù)的運算復數(shù)的運算共

6、軛運算共軛運算代數(shù)運算代數(shù)運算乘冪與方根乘冪與方根本章主要內(nèi)容向量表示法向量表示法8復數(shù)運算和各種表示法復數(shù)運算和各種表示法 復數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域復數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域本章注意兩點本章注意兩點91707.4.151707.4.15生于瑞士，巴塞爾生于瑞士，巴塞爾1783.9.181783.9.18卒于俄羅斯，彼得堡卒于俄羅斯，彼得堡L. EulerL. Euler( (歐拉歐拉) )簡介簡介 EulerEuler是是1818世紀的數(shù)學世紀的數(shù)學巨星；是那個時代的巨人，巨星；是那個時代的巨人，科學界的代表人物。歷史上科學界的代表人物。歷史上幾乎可與幾乎可與Archime

7、desArchimedes、NewtonNewton、GaussGauss齊名齊名。 他在微積分、幾何、數(shù)論、變分學等領域有巨他在微積分、幾何、數(shù)論、變分學等領域有巨大貢獻?？梢哉f大貢獻?？梢哉f NewtonNewton、LeibnizLeibniz發(fā)明了微積分，發(fā)明了微積分，而而EulerEuler則是數(shù)學大廈的主要建筑師則是數(shù)學大廈的主要建筑師。10A. de Moivre A. de Moivre 棣莫佛簡介棣莫佛簡介 5. 265. 26生于法國生于法國 1754. 11. 271754. 11. 27卒于英國卒于英國在概率論、復數(shù)理論等領域在概率論、復數(shù)理論等領域做了一些出色的工作。做了一些出色的工作。解決斐波那契數(shù)列的通項問解決斐波那契數(shù)列的通項問題。題。L.FibonacciL.Fibonacci(1170-