實(shí)數(shù)完備性基本定理之間的等價(jià)性

1、學(xué)號(hào):20105031106信潺眸降號(hào)癮學(xué)年論文（本科）學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)2010姓名陳方華論文題目實(shí)數(shù)完備性基本定理之間的等價(jià)性指導(dǎo)教師陶有德職稱副教授成績(jī)2012年5月18日摘要2關(guān)鍵詞2Abstract.2Keywords21 .弓I言22 .實(shí)數(shù)基本定理的陳述23 .定理1到定理6的循環(huán)證明34 .舉例分析45 考文獻(xiàn)6實(shí)數(shù)完備性定理之間的等價(jià)性學(xué)生姓名：陳方華學(xué)號(hào):20105031106數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師：陶有德職稱：副教授摘要：本文給出了實(shí)數(shù)理論的六個(gè)基本定理的循環(huán)證明關(guān)鍵詞：實(shí)數(shù)基本定理；等價(jià)性；數(shù)列；極限；收斂Abstract

2、:inthispaper,acycleofsixfundamentaltheoremofthetheoryofrealnumbersprove.Keywords:Realnumberofthefundamentaltheorem;equivalence;series;limits;convergence.1 .引言實(shí)數(shù)基本定理以不同的形式刻劃了實(shí)數(shù)的連續(xù)性和完備性，實(shí)數(shù)基本定理是建立與發(fā)展微積分學(xué)的基礎(chǔ).因此掌握這部分內(nèi)容是十分必要的，本文主要給出實(shí)數(shù)理論的6個(gè)基本定理的循環(huán)證明.2 .實(shí)數(shù)基本定理的陳述定理1（確界原理）非空有上（下）界數(shù)集，必有上（下）確界.定理2（單調(diào)有界原理）任何單調(diào)有

3、界數(shù)列必有極限.定理3（區(qū)間套定理）若&bnD是一個(gè)區(qū)間套，則存在唯一一點(diǎn)之，使an,bn,n=1,21.定理4（有限覆蓋定理）設(shè)2,3是一個(gè)閉區(qū)間，H為2,0上的一個(gè)開覆蓋，則在H中存在有限個(gè)開區(qū)間,它構(gòu)成a,b上的一個(gè)覆蓋.定理5（聚點(diǎn)原理）實(shí)軸上的有界無限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn).定理6（柯西收斂準(zhǔn)則）數(shù)列an收斂之對(duì)任給的正數(shù)名，總存在某一個(gè)自然數(shù)N，使得Vm,n>N時(shí)，都有|am-an|<名.3,定理1到定理6的循環(huán)證明(1)定理1:定理2(確界原理二單調(diào)有界原理)證不妨設(shè)xj為單增有上界數(shù)列，即三M>0,VneN,<xn<M.記U=Xn|nWN)，則

4、由確界原理知U有上確界，不妨記為a,則a=supUwR,從而V名>0,mNwN使得a名<Xn<a成立,因?yàn)?是單調(diào)遞增數(shù)歹U,所以Vn>N，有；:二Xn-Xn-.；.故xn.，(n-1).(2)定理2n定理3(單調(diào)有界定理=區(qū)間套定理)證因?yàn)閎nhJQn.h書L所以有8<82<<3n<<bnEEb?片從而可見數(shù)列n單增有上界，數(shù)列&n)單減有下界故由單調(diào)有界定理可知3a=R使得liman=a，三bwR使得limbn=b.n.n：.且VnwN有anWa,7nwN有bWbn,所以a,bw8n,bn】,于是成立0<|b-a<b

5、n-an.又因?yàn)閘im(bnan)=0,所以a=b,記自=ab,從而存在性得證.n_.(3)定理3n定理4(區(qū)間套定理=有限覆蓋定理)證(反證法)假設(shè)閉區(qū)間a,b有一個(gè)開覆蓋H不能用它的任有限個(gè)開區(qū)間覆蓋.定義性質(zhì)P:不能用H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋.Step(1)將b,b】等分為兩個(gè)子區(qū)間，則至少有一個(gè)具有性質(zhì)P,不妨記該區(qū)間為匕，6,則;a1,b11a,b】；Step(2)將11,b1等分為兩個(gè)子區(qū)間，則至少有一個(gè)具有性質(zhì)P,不妨記該區(qū)間為Q,b2,則a2b215,"1Step(n)將匕小注等分為兩個(gè)子區(qū)間，則至少有一個(gè)具有性質(zhì)P,不妨記該區(qū)間為Qn,bnL則bn,bn】an1,bnJ

6、；由此可得一個(gè)區(qū)間套bn,bn*且滿足anbnb-a2n利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)P的區(qū)間套an，b".故由區(qū)間套定理可知，存在唯一的"an,bn,從而三U(&8)uUWH,EN>0,3n>N，有an,b"uU(£,8)匚UwH，這與an,具有性質(zhì)P矛盾.這就證明了有限復(fù)蓋定理.(4)定理4n定理5(有限覆蓋定理二聚點(diǎn)原理)證(反證法)假設(shè)原命題不成立，則由于S是直線上的有界無限點(diǎn)集，即存在閉區(qū)間a,b,使得Sua,b,所以Vxea,b,三U(x,6),弓U(x,6)只含S中的有限多項(xiàng).從而得a,b的一個(gè)開覆蓋記為H.由有限覆蓋定

7、理可知存在H的一個(gè)有限子覆蓋記為H1.所以H1只含有S中的有限多個(gè)點(diǎn)，這顯然與SuHi是矛盾的，故可知假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立.(5)定理5n定理6(聚點(diǎn)原理=柯西收斂準(zhǔn)則)證不妨設(shè)xn是無窮基本列，即有Vsa0,三N>0，使得Vm,n>N有xm-xn<名.易證Xn有界.由聚點(diǎn)原理可知xn至少有一個(gè)聚點(diǎn)UwR,另寸8A0,U(X,a)必含有xn的無限多項(xiàng).從而Vs>0,Vn>N,任取U色中滿足m>N的某項(xiàng)xm,即可得到xn-|<|xn-xm|+Xm|<28.故XnT-,(0-*笛)(6)定理6n定理1(柯西收斂準(zhǔn)則=確界原理)證設(shè)是S一個(gè)有上界非空數(shù)

8、集，則三bwR使得VxwS有x<b,取awS構(gòu)造區(qū)間a,b.定義性質(zhì)P,區(qū)間中至少有一個(gè)數(shù)屬于S,且區(qū)間的右端點(diǎn)為的S一個(gè)上界.仿(9)的證明，利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)P的區(qū)間套an,bn則由Vs>0,：3N>0,另naN時(shí)，有bn-an<名.由于an單調(diào)遞增，bn中的每一個(gè)元素都為an的上界.故Vm>naN，則有am-an<bn-an<.故由柯西收斂準(zhǔn)則可知an收斂，記其極限為由(3.1)易證bnt匕(n-*笛).因此V8>0,三Ni>0,5n>Ni,有an,bnWU(尢可.由于bn都為S的上界，所以X也為S的上界.從而可知，

9、VnAN，三xwS,3xwan,bnuU(S名).即自6<xE自，故為S的上確界.4.舉例分析用數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則證明確界原理證：設(shè)S為非空有上界數(shù)集，由實(shí)數(shù)的阿基米德性，對(duì)任何正數(shù)a,存在整數(shù)k”使得九0f=k£為的S上界，而七-a=（ka-1t（不是的S上界，故存在a,>（ka-1t（不是S的上界，即存在1-不是n分別取a=,n=1,2,.,則對(duì)每一個(gè)正數(shù)n,存在相應(yīng)的Kn,使得兒n為的S上界，而入nn的S上界，故存在Q,WS,使得(6)1又對(duì)正整數(shù)m,九m是S的上界，故有九m2a結(jié)合（6）式彳導(dǎo)Km-K<一；同理有n1,，-n<一,從而得mAm一兒n<max/小三,對(duì)任意白0名a0,存在Na0,使得當(dāng)m,n>N時(shí)有由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列般n收斂，記limn現(xiàn)證明人就是S的上確界，首先，對(duì)任何awS和正整數(shù)n有aw4,由（7）式得aw九,即九1S的一個(gè)上界，其次.對(duì)任何6A0,由一t0（nT七）及（7）n式，對(duì)充分大的n同時(shí)有又因4-1不是S的一個(gè)上界，故存在un1，人-.結(jié)合上式得n這說明九為S的上確界，同理可證：若S為非空有下界數(shù)集，則必存在下確界.參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)