定積分的應(yīng)用教案

1、 第六章 定積分的應(yīng)用 教學(xué)目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。3、掌握用定積分表達和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學(xué)重點：1、 計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點：1、 截面面積為已知的立體體積。 2、引力。§6. 1 定積分的元素法 回憶曲邊梯形的面積:設(shè)y=f (x)³0 (xÎa,b). 如果說積分,是

2、以a,b為底的曲邊梯形的面積, 則積分上限函數(shù)就是以a,x為底的曲邊梯形的面積. 而微分dA(x)=f (x)dx表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值DA»f (x)dx, f (x)dx稱為曲邊梯形的面積元素. 以a,b為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達式, 以a,b為積分區(qū)間的定積分:. 一般情況下, 為求某一量U, 先將此量分布在某一區(qū)間a,b上, 分布在a,x上的量用函數(shù)U(x)表示, 再求這一量的元素dU(x), 設(shè)dU(x)=u(x)dx, 然后以u(x)dx為被積表達式, 以a,b為積分區(qū)間求定積分即得. 用這一方法求一量的值的方法稱為微

3、元法(或元素法).§6. 2 定積分在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形的面積 1直角坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y=f上(x)與y=f下(x)及左右兩條直線x=a與x=b所圍成, 則面積元素為f上(x)- f下(x)dx, 于是平面圖形的面積為. 類似地, 由左右兩條曲線x=j左(y)與x=j右(y)及上下兩條直線y=d與y=c所圍成設(shè)平面圖形的面積為. 例1計算拋物線y2=x、y=x2所圍成的圖形的面積.解 (1)畫圖. (2)確定在x軸上的投影區(qū)間: 0, 1.(3)確定上下曲線: .(4)計算積分. 例2計算拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積.解 (1)畫圖. (2

4、)確定在y軸上的投影區(qū)間: -2, 4.(3)確定左右曲線: .(4)計算積分.例3求橢圓所圍成的圖形的面積.解設(shè)整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍, 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為0,a. 因為面積元素為ydx,所以.橢圓的參數(shù)方程為:x=a cos t,y=b sin t,于是.2極坐標(biāo)情形曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素:由曲線r=j(q)及射線q=a,q=b圍成的圖形稱為曲邊扇形. 曲邊扇形的面積元素為.曲邊扇形的面積為.例4. 計算阿基米德螺線r=aq (a >0)上相應(yīng)于q從0變到2p的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.解: . 例5. 計算心形線r=a(1+cos

5、q) (a>0) 所圍成的圖形的面積.解: . 二、體 積1旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸. 常見的旋轉(zhuǎn)體: 圓柱、圓錐、圓臺、球體. 旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y=f (x)、直線x=a、a=b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 設(shè)過區(qū)間a,b內(nèi)點x 且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V (x), 當(dāng)平面左右平移dx后, 體積的增量近似為DV=pf (x)2dx,于是體積元素為dV=pf (x)2dx, 旋轉(zhuǎn)體的體積為.例1 連接坐標(biāo)原點O及點P(h,r)的直線、直線x=h及x軸圍成一個直角三角形.

6、將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為h的圓錐體. 計算這圓錐體的體積.解: 直角三角形斜邊的直線方程為.所求圓錐體的體積為.例2.計算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積.解: 這個旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個橢圓及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體. 體積元素為dV=py 2dx,于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為.例3 計算由擺線x=a(t-sin t),y=a(1-cos t)的一拱, 直線y=0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為=5p 2a 3.所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個旋轉(zhuǎn)體體積的差. 設(shè)曲線左

7、半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y). 則=6p 3a 3. 2平行截面面積為已知的立體的體積 設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為a,b, 過點x 且垂直于x軸的平面與立體相截, 截面面積為A(x), 則體積元素為A(x)dx, 立體的體積為.例4 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角a. 計算這平面截圓柱所得立體的體積. 解: 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸, 底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸. 那么底圓的方程為x 2+y 2=R 2. 立體中過點x且垂直于x軸的截面是一個直角三角形. 兩個直角邊分別為及. 因而截面積為. 于是所求的立體體積為.例5. 求以半徑為

8、R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積. 解: 取底圓所在的平面為xOy平面, 圓心為原點, 并使x軸與正劈錐的頂平行. 底圓的方程為x 2+y 2=R 2. 過x軸上的點x(-R<x<R)作垂直于x軸的平面, 截正劈錐體得等腰三角形. 這截面的面積為.于是所求正劈錐體的體積為 .三、平面曲線的弧長設(shè)A,B 是曲線弧上的兩個端點. 在弧AB上任取分點A=M0,M1,M2,×××,Mi-1,Mi,×××,Mn-1,Mn=B, 并依次連接相鄰的分點得一內(nèi)接折線. 當(dāng)分點的數(shù)目無限增加且每個小段Mi-1

9、Mi都縮向一點時, 如果此折線的長的極限存在, 則稱此極限為曲線弧AB的弧長, 并稱此曲線弧AB是可求長的.定理 光滑曲線弧是可求長的.1直角坐標(biāo)情形 設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程y=f(x) (a£x£b)給出, 其中f(x)在區(qū)間a,b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù). 現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度. 取橫坐標(biāo)x為積分變量, 它的變化區(qū)間為a,b. 曲線y=f(x)上相應(yīng)于a,b上任一小區(qū)間x,x+dx的一段弧的長度, 可以用該曲線在點(x,f(x)處的切線上相應(yīng)的一小段的長度來近似代替. 而切線上這相應(yīng)的小段的長度為,從而得弧長元素(即弧微分).以為被積表達式, 在閉區(qū)間a,b上作定積分,

10、便得所求的弧長為. 在曲率一節(jié)中, 我們已經(jīng)知道弧微分的表達式為, 這也就是弧長元素. 因此例1. 計算曲線上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長度. 解:, 從而弧長元素.因此, 所求弧長為. 例2. 計算懸鏈線上介于x=-b與x=b之間一段弧的長度. 解:, 從而弧長元素為.因此, 所求弧長為.2參數(shù)方程情形 設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x=j(t)、y=y(t) (a£t£b )給出, 其中j(t)、y(t)在a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).因為,dx=j¢(t)dt, 所以弧長元素為.所求弧長為.例3. 計算擺線x=a(q-sinq),y=a(1-cosq)的一拱(0 £q

11、£2p )的長度. 解: 弧長元素為.所求弧長為=8a.3極坐標(biāo)情形 設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程r=r(q) (a£q£b )給出, 其中r(q)在a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得x=r(q)cosq ,y=r(q)sinq(a£q£b ).于是得弧長元素為.從而所求弧長為.例14. 求阿基米德螺線r=aq (a>0)相應(yīng)于q從0到2p一段的弧長. 解: 弧長元素為.于是所求弧長為.§6.3 功水壓力和引力一、變力沿直線所作的功例1 把一個帶+q電量的點電荷放在r軸上坐標(biāo)原點O處, 它產(chǎn)生一個電場. 這個電場對周圍

12、的電荷有作用力. 由物理學(xué)知道, 如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方, 那么電場對它的作用力的大小為 (k是常數(shù)).當(dāng)這個單位正電荷在電場中從r=a處沿r軸移動到r=b(a<b)處時, 計算電場力F對它所作的功.例1¢電量為+q的點電荷位于r軸的坐標(biāo)原點O處它所產(chǎn)生的電場力使r軸上的一個單位正電荷從r=a處移動到r=b(a<b)處求電場力對單位正電荷所作的功. 提示: 由物理學(xué)知道,在電量為+q的點電荷所產(chǎn)生的電場中,距離點電荷r處的單位正電荷所受到的電場力的大小為 (k是常數(shù)).解: 在r軸上,當(dāng)單位正電荷從r移動到r+dr時,電場力對它所作的功近似

13、為,即功元素為.于是所求的功為.例2.在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體. 在等溫條件下, 由于氣體的膨脹, 把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推移到點b處. 計算在移動過程中, 氣體壓力所作的功.解:取坐標(biāo)系如圖, 活塞的位置可以用坐標(biāo)x來表示. 由物理學(xué)知道, 一定量的氣體在等溫條件下, 壓強p與體積V的乘積是常數(shù)k, 即 pV=k或.解: 在點x處, 因為V=xS, 所以作在活塞上的力為.當(dāng)活塞從x移動到x+dx時, 變力所作的功近似為,即功元素為.于是所求的功為.例3. 一圓柱形的貯水桶高為5m, 底圓半徑為3m, 桶內(nèi)盛滿了水. 試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？解:

14、作x軸如圖. 取深度x 為積分變量. 它的變化區(qū)間為0,5, 相應(yīng)于0,5上任小區(qū)間x,x+dx的一薄層水的高度為dx. 水的比重為9.8kN/m3, 因此如x的單位為m, 這薄層水的重力為9.8p×32dx. 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為dW=88.2p×x×dx,此即功元素. 于是所求的功為(kj).二、水壓力 從物理學(xué)知道, 在水深為h處的壓強為p=gh, 這里 g 是水的比重. 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處, 那么, 平板一側(cè)所受的水壓力為P=p×A. 如果這個平板鉛直放置在水中, 那么, 由于水深不同的點處壓強p不相等,

15、所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算.例4. 一個橫放著的圓柱形水桶, 桶內(nèi)盛有半桶水. 設(shè)桶的底半徑為R, 水的比重為 g,計算桶的一個端面上所受的壓力. 解: 桶的一個端面是圓片, 與水接觸的是下半圓. 取坐標(biāo)系如圖. 在水深x處于圓片上取一窄條, 其寬為dx, 得壓力元素為.所求壓力為.三、引力 從物理學(xué)知道, 質(zhì)量分別為m 1、m 2, 相距為r的兩質(zhì)點間的引力的大小為,其中G為引力系數(shù), 引力的方向沿著兩質(zhì)點連線方向. 如果要計算一根細棒對一個質(zhì)點的引力, 那么, 由于細棒上各點與該質(zhì)點的距離是變化的, 且各點對該質(zhì)點的引力的方向也是變化的, 就不能用上述公式來計算. 例5. 設(shè)有一長度為l 、線密度為r的均勻細直棒, 在其中垂線上距