三維問題有限元分析(包括軸對稱問題)

1、第六章第六章 三維問題有限元分析三維問題有限元分析講講 授：陳得良授：陳得良 TelTel：1332731100813327311008QQQQ：416501065416501065EmailEmail：deliang_deliang_1四四 教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)基本內(nèi)容第五章第五章 三維問題有限元分析三維問題有限元分析 第一節(jié)第一節(jié) 三維應(yīng)力狀態(tài)三維應(yīng)力狀態(tài) 第二節(jié)第二節(jié) 4節(jié)點(diǎn)四面體單元節(jié)點(diǎn)四面體單元 第三節(jié)第三節(jié) 8節(jié)點(diǎn)六面體等參單元節(jié)點(diǎn)六面體等參單元 第四節(jié)第四節(jié) 20節(jié)點(diǎn)等參單元節(jié)點(diǎn)等參單元 第五節(jié)第五節(jié) ansys空間問題實(shí)例空間問題實(shí)例 第六節(jié)第六節(jié) 空間軸對稱問題有限元法空間軸對稱

2、問題有限元法 第七節(jié)第七節(jié) Ansys軸對稱旋轉(zhuǎn)問題實(shí)例軸對稱旋轉(zhuǎn)問題實(shí)例2工程實(shí)際中的很多問題工程實(shí)際中的很多問題難于簡化難于簡化為平面問題，如受任為平面問題，如受任意空間載荷作用的任意形狀幾何體，受對稱于軸線載意空間載荷作用的任意形狀幾何體，受對稱于軸線載荷作用的回轉(zhuǎn)體荷作用的回轉(zhuǎn)體,這類問題經(jīng)典彈性力學(xué)往往無能為力。這類問題經(jīng)典彈性力學(xué)往往無能為力。在在FEM中，空間問題只要求中，空間問題只要求0階連續(xù)，因此構(gòu)造單元階連續(xù)，因此構(gòu)造單元方便方便空間問題簡介空間問題簡介3空間問題的主要困難：空間問題的主要困難：（1）離散化不直觀；）離散化不直觀；（網(wǎng)格自動生成）（網(wǎng)格自動生成）（2）分割的

3、單元數(shù)量多，未知量的數(shù)目劇增。）分割的單元數(shù)量多，未知量的數(shù)目劇增。 （對某些問題簡化）（對某些問題簡化） （軸對稱問題）（軸對稱問題）空間分析的優(yōu)點(diǎn)空間分析的優(yōu)點(diǎn) 精確精確46.1 三維應(yīng)力狀態(tài)三維應(yīng)力狀態(tài) 工程結(jié)構(gòu)一般都是空間的彈性體。受力作用后，其內(nèi)部各點(diǎn)將沿x、y、z坐標(biāo)軸方向產(chǎn)生位移，是三維空間問題，其應(yīng)力狀態(tài)如圖6-1所示。圖6-1 空間結(jié)構(gòu)應(yīng)力狀態(tài)各點(diǎn)沿x、y、z方向的位移以u、v、w表示，這些位移為各點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，即：u=u( x、y、z)v=v( x、y、z)w=w( x、y、z)5由彈性力學(xué)知，應(yīng)變與位移間的幾何關(guān)系是 xuxxvyuxyyvyywzvyzzwzzuxwzx

4、 (6-1)三維彈性體的應(yīng)變分量，用矩陣表示為 wvuxzyzxyzyxzxyzxyzyx000000000(6-2)6彈性體受力作用，內(nèi)部任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)也是三維的，用列向量表示為 Tzxyzxyzyx在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變間的物理關(guān)系矩陣表達(dá)式為 D 對于各向同性彈性體，在三維應(yīng)力狀態(tài)下，彈性矩陣 的形式為(6-3) D 1221000001221000012210001111112111稱對ED(6-4)7(1)空間問題常用單元：四面體單元、長方體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元 、軸對稱單元。o4結(jié)點(diǎn)四面體單元：結(jié)點(diǎn)四面體單元：是空間問題最簡單的單元，也是常應(yīng)變、常應(yīng)力單元，

5、可以類似平面問題三結(jié)點(diǎn)三角形單元進(jìn)行分析。o8結(jié)點(diǎn)長方體單元結(jié)點(diǎn)長方體單元：可以類似平面四結(jié)點(diǎn)矩形單元進(jìn)行分析。o8結(jié)點(diǎn)直邊六面體單元結(jié)點(diǎn)直邊六面體單元：可以類似平面四結(jié)點(diǎn)任意四邊形等參元分析 。o20結(jié)點(diǎn)曲邊六面體單元：結(jié)點(diǎn)曲邊六面體單元：等參單元,可以類似平面八結(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元進(jìn)行分析 。o軸對稱單元軸對稱單元：一平面單元繞一對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的空間問題。只需在rz平面劃分網(wǎng)格，就像平面問題xy平面中的網(wǎng)格一樣，這樣這類空間問題可以得到簡化。 （環(huán)向位移等于零）（2）結(jié)點(diǎn)位移3個分量。（3）基本方程比平面問題多。3個平衡方程，6個幾何方程，6個物理方程。86.2 四節(jié)點(diǎn)四面體單元四節(jié)點(diǎn)四面

6、體單元圖6-2表示任一簡單四面體單元，其中四個結(jié)點(diǎn)編號設(shè)為 i、j、m、n (或1、2、3、4)。單元變形時，各結(jié)點(diǎn)沿x、y、z方向上的位移，以列向量表示為圖6-2四面體單元8 Tnnnmmmjjjiiiewvuwvuwvuwvu 單元變形時，單元內(nèi)各點(diǎn)也有沿x、y、z方向的位移u、v、w，一般應(yīng)為坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。對于這種簡單的四面體單元，其內(nèi)部位移可假設(shè)為坐標(biāo)的線性函數(shù)，為滿足變形協(xié)調(diào)條件，取為zyxwzyxvzyxu121110987654321(6-5)式(6-5)含有12個待定系數(shù)a，可由單元的12項結(jié)點(diǎn)位移決定.將4個結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值代入式(6-5)的u式中。 i、j、m、n共4個

7、結(jié)點(diǎn)，分別有nnnnmmmmjjjjiiiizyxuzyxuzyxuzyxu4321432143214321(6-6)1 1 單元形函數(shù)單元形函數(shù)9nnmmjjiiuNuNuNuNu 其中 zdycxbaVNiiiii61式中，V為四面體的體積，且有nnnmmmjjjiiizyxzyxzyxzyxV111161nnmmjjinnmmjjinnmmjjinnnmmmjjjiyxyxyxdzxzxzxczyzyzybzyxzyxzyxa111111111(6-7)由式(6-6)求出 ，再代回式(6-5) 中，整理后得1234,a a a a10 為使四面體的體積V不為負(fù)值，在右手坐標(biāo)系中，使右手旋

8、轉(zhuǎn)按著由i- j- m的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動時，且法向n方向前進(jìn)。用求位移u的同樣方法，可求得nmjiiinnmmjjiivNvNvNvNvNv,nmjiiinnmmjjiiwNwNwNwNwNw,將位移的3個線性方程形成的線性方程組用矩陣表示為 eNwvu(6-8) ININININNnmji式中(6-9)112 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 將式(6-8)代入幾何方程式(6-2)，經(jīng)過微分運(yùn)算，可得單元內(nèi)應(yīng)變?yōu)?enmjieBBBBB(6-10) 式中 iiiiiiiiiiiiiiiiiiibdcdbcdcbVxNzNyNzNxNyNzNyNxNB00000000061000000000(6-11) 簡單

9、四面體單元內(nèi)，各點(diǎn)的應(yīng)變都是一樣的，這是一種常應(yīng)變單元（是三維單元中精度最低的單元）。這一點(diǎn)與平面問題的簡單三角形單元相似，由于單元內(nèi)位移都假定為線性變化的，因而由位移一階導(dǎo)數(shù)組成的應(yīng)變也為常量。 12 同樣，用虛功原理建立結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系式，從而得出簡單四面體單元的剛度矩陣。 eVedvBDBdxdydzBDBkTT(6-12) eeVBDBkT(6-13)按結(jié)點(diǎn)分塊表示，此單元剛度矩陣可表示為 nnnmnjnimnmmmjmijnjmjjjiinimijiiekkkkkkkkkkkkkkkkk(6-14)13(r=i、j、m、n， S=i、j、m、n ) (6-15)式中11A12

10、212A 彈性體三維（空間）問題的原始平衡方程組，即 KF eneekK1其中其中任一子矩陣為 esrrsVBDBkTVE211361srsrsrsrsrsrsrdbAbdAcbAbcAddccAbb21212srsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrccbbAdddcAcdAcdAdcAddbbAccbdAdbAbcAcbA2212122121143 整體結(jié)構(gòu)載荷列向量整體結(jié)構(gòu)載荷列向量整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)載荷列向量 11eenneeeeepsCeeFFFFFF(6-16)式中 單元上集中力等效結(jié)點(diǎn)載荷列向量；單元上表面力等效結(jié)點(diǎn)載荷列向量；單元上體積力等效結(jié)點(diǎn)載荷列向量；單元結(jié)點(diǎn)載

11、荷列向量。 epF eSF eF eCF等效結(jié)點(diǎn)力公式為 TepFNF TeeSSSFNpds TeevVFNpdV TxyzFFFF式中 156.3 8節(jié)點(diǎn)六面體等參單元節(jié)點(diǎn)六面體等參單元8 (x5,y5,z5)1234 (x4,y4,z4)5 (x5,y5,z5)67xzy 23(1,-1,1)48(1,1,-1)657如同二維等參單元一樣，三維等參單元的有關(guān)公式的建立也是采用局部自然如同二維等參單元一樣，三維等參單元的有關(guān)公式的建立也是采用局部自然坐標(biāo)（曲面坐標(biāo)）坐標(biāo)（曲面坐標(biāo)）?？蓞⒖嫉哪阁w單元則為一正六面體，圖可參考的母體單元則為一正六面體，圖6-36-3則表示了任則表示了任意六面體

12、單元與母體單元、局部的三維自然坐標(biāo)與整體的直角坐標(biāo)系的幾何意六面體單元與母體單元、局部的三維自然坐標(biāo)與整體的直角坐標(biāo)系的幾何關(guān)系關(guān)系母體單元母體單元任意六面體單元任意六面體單元（對面不全平行）（對面不全平行）圖6-3 8結(jié)點(diǎn)三維等參單元16 用形函數(shù)表示的位移插值形式的位移模式，可以直接利用拉格朗日插值公式，得到單元位移函數(shù)為888111, , ,iiiiiiiiiuN uuN uuN u 根據(jù)等參單元的定義。自然坐標(biāo)與整體直角坐標(biāo)之間的關(guān)系可以寫為81000000iiiiiiizyxNNNzyx 其中形函數(shù)為1(1)(1)(1)8iiiiN )1)(1)(1(818N例 其中 為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值（

13、角點(diǎn)） (1 8)iiii， ，17 由節(jié)點(diǎn)位移求單元應(yīng)變時，他要求形函數(shù)在整體坐標(biāo)下的導(dǎo)數(shù)，但形函數(shù)是建立在局部坐標(biāo)下的，這就需要將局部坐標(biāo)中的表達(dá)式轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中，如同平面等參單元一樣，需要通過雅克比矩陣來實(shí)現(xiàn)，由偏導(dǎo)法則iiiiNNNNxyzxyz同理可得,iiNN寫成矩陣iiiiiiiiiNxyzNNxxNNNxyzyyNxyzNNzzJ181iiiiiiNNxNNyNNzJ求單元剛度矩陣，尚需對積分的單元體積進(jìn)行積分變換反之有了上式很容易得到單元的應(yīng)變應(yīng)力矩陣 eBeDB111111eTTkB DBdB DB J d d d 19 6.4 20 6.4 20結(jié)點(diǎn)等參元結(jié)點(diǎn)等參元

14、為適應(yīng)三維結(jié)構(gòu)的曲面邊界，可以采用曲面六面體單元。正方體基本單元內(nèi)任一點(diǎn)與實(shí)際曲面單元內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，結(jié)點(diǎn)也一一對應(yīng)。這里，實(shí)際單元邊界線中間的結(jié)點(diǎn)9、10、20，都“映射”成為正方體的棱邊中點(diǎn)。 8結(jié)點(diǎn)單元是線性單元，其位移模式是三維線性的，在8結(jié)點(diǎn)單元的基礎(chǔ)上每邊增加一個中點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)就構(gòu)成了20節(jié)點(diǎn)單元。此時六面體單元每條邊上有3個節(jié)點(diǎn)，他們既可以是直線的，也可以是曲線的，因此每個面也可以是平面的，也可以是曲面的。1 形狀函數(shù)形狀函數(shù)20(a)直角坐標(biāo)系與實(shí)際單元 (b) 自然坐標(biāo)系與基本單元 圖6-3 20結(jié)點(diǎn)三維等參單元 位移函數(shù)和幾何坐標(biāo)的變換式應(yīng)取為相同的參數(shù)，其坐標(biāo)變換關(guān)系可表示

15、為 iiiiizyxNzyx201(6-17) 則單元的位移函數(shù)可寫成21iiiiiwvuNwvu201(6-18)在自然坐標(biāo)系（局部坐標(biāo)系）中，各結(jié)點(diǎn)的形狀函數(shù)可寫成如下形式， 對于8個頂角結(jié)點(diǎn)（ i1，2，8）式中 xi、yi、zi結(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)； ui、vi、wi結(jié)點(diǎn)i沿x、y、z方向的位移； Ni對應(yīng)于i結(jié)點(diǎn)的形狀函數(shù)。)2)(1)(1)(1 (81iiiiiiiN22)1)(1)(1 (412iiiN0i對于 的邊上點(diǎn)（i17，18，19，20）)1)(1)(1 (412iiiN(6-19)對于 的邊上點(diǎn)（i9，11，13，15）0i)1)(1)(1 (412iiiN0i對于 的邊上點(diǎn)

16、（i10，12，14，16）232 單元剛度矩陣單元剛度矩陣三維變形狀態(tài)下，一點(diǎn)的應(yīng)變與位移的幾何關(guān)系為 ezxyzxyzyxBwvuxzyzxyzyx000000000(6-20)24 eeVVedVBBBDBBBdVBDBk2021T2021T(6-22) 為便于以下計算，彈性矩陣D可分塊寫為 2100DDD(6-23) 令 ,)21)(1 (E12EG 則 ，GGGD2221GGGD0000002 202020220122022211201211kkkkkkkkkke為6060的方陣，可按結(jié)點(diǎn)寫為子塊形式 ek25式中第i行j列的子矩陣為 eVjieijdVBDBkT33(6-24)將將

17、(6-20)、(6-22)分塊式代入分塊式代入(6-23)，其被積函數(shù)可寫為，其被積函數(shù)可寫為 jjiijiSTDDSTBDB21TT00zzzyzxyzyyyxxzxyxxHHHHHHHHH)()2(zNzNyNyNGxNxNGHjijijixxxNyNGyNxNHjijixyyNxNGxNyNHjijiyz(6-25)式中與式(5-9)相似，按坐標(biāo)變換式(6-17)，應(yīng)有26 iiiiiiNNNJzNyNxN1同樣可有(6-26)dVJ ddd三維六面體的雅可比矩陣為 iiiiiiiiiiiiiiiiiizNyNxNzNyNxNzNyNxNzyxzyxzyxJ(6-27)同理可采用三維高斯

18、求積公式計算單元剛度矩陣。即 27 eVjTieijdVBDBkdddJHHHHHHHHHzzxzzxyzyyyxxzxyxx 111111kjiLiMjNkzzxzzxyzyyyxxzxyxxkjiHHHHHHHHHwww 式中，L，M，N為沿 、 、 方向的積分點(diǎn)數(shù)目，而積分點(diǎn)坐標(biāo) 及權(quán)重 可由高斯積分表查得。kji、kjiwww、 對于20節(jié)點(diǎn)的三維單元，通?？扇》e分點(diǎn)數(shù)目m=3(即3 3 3），查表可得對應(yīng)的積分點(diǎn)坐標(biāo)和權(quán)重為28d1121310.774 596 669 241 384, 0.555 555 555 555 5560.000 000 000 000 000, 0.888

19、 888 888 888 8880.774 596 669 241 384, 0.555 55www5 555 555 556 參照方法，可以很方便的得到另外兩個方向的積分點(diǎn)坐標(biāo)值和權(quán)重。296.5 ANSYS空間問題示例空間問題示例1 問題描述問題描述 如圖6-4所示，一個圓柱實(shí)體。柱高0.2m，圓柱橫截面直徑為0.1m。約束方式：底面全約束。承受載荷： A點(diǎn)承受Z方向集中載荷Fz=5000N和Y方向集中載荷Fy=-5000N；B點(diǎn)承受X方向集中載荷Fx=5000N；C點(diǎn)承受Z方向集中載荷Fz=-5000N；D點(diǎn)承受X方向集中載荷Fx=-5000N。彈性模量為EX=210GP，泊松比=0.3

20、 2 ANSYS求解操作過程求解操作過程30 （1）選擇單元類型選擇單元類型 運(yùn)行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete，彈出Element Types對話框，如圖6-5所示。然后單擊Add，彈出Library of Element Types窗口，如圖6-6所示，選擇SOLID45單元，單擊OK。圖6-5 單元類型對話框 圖6-6 單元類型庫對話框31 （2）設(shè)置材料屬性設(shè)置材料屬性 運(yùn)行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models，彈出如圖6-7所示對話框。雙擊Isotropic，彈出Linear Isotrop

21、ic Properties for Material Number1對話框，如圖6-8所示，在EX選項欄中設(shè)置數(shù)值2.1e11，在PRXY選項欄中設(shè)置數(shù)值0.3。設(shè)置完畢單擊OK按鈕。圖6-7 選擇材料屬性對話框 圖6-8 設(shè)置材料屬性對話框 32 （3）建立模型建立模型 運(yùn)行PreprocessorModelingCreateAreasRectangleBy 2 Corners，彈出如圖6-9所示對話框，在WP X選項欄中填寫0，在WP Y選項欄中填寫0，在Width選項欄中填寫0.05，在Height選項欄中填寫0.2，點(diǎn)擊OK。生成如圖6-10所示圖形。圖6-9 兩點(diǎn)建立矩形對話框 圖6

22、-10 生成的長方形面 33 將長方形旋轉(zhuǎn)成柱體，運(yùn)行PreprocessorModeling OperateExtrudeAreasAbout Axis，彈出如圖6-11所示拾取框。選擇圖7中長方形后彈出單擊OK，再選擇長方形左上角和左下角結(jié)點(diǎn)后，單擊OK.。彈出如圖6-12所示對話框。在ARC選項欄中填入旋轉(zhuǎn)角度360度，設(shè)置完畢單擊 O K 按 鈕 ， 生 成 如 圖 6 - 1 3 所 示圓柱體。 圖6-11 拾取對稱軸對話框 圖6-12 設(shè)置繞軸旋轉(zhuǎn)參數(shù)對話框圖6-13 圓柱模型 34 運(yùn)行MeshingSize CntrlsManualSizeGlobalSize彈出如圖6-14所

23、示對話框，設(shè)置SIZE選項欄中的數(shù)據(jù)為0.01。運(yùn)行MeshingMeshVolumesFree自由劃分網(wǎng)格后得到如圖6-15所示圖形。圖6-14 設(shè)置網(wǎng)格尺寸對話框 圖6-15 圓柱有限元模型 （5）施加約束施加約束 運(yùn)行SolutionDefine LoadsApplyDisplacementOn Areas，拾取圓柱的底面，施加全約束。 35 （6）施加載荷施加載荷 顯示圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，運(yùn)行PlotCtrlsNumbering彈出如圖6-16所示對話框，激活KP Numbers后面的選框，使它變成on形式。選擇菜單SolutionDefine LoadsApplyStructure For

24、ce/Moment On Keypoints，載荷分別如下：8點(diǎn)承受Z方向集中載荷Fz=5000N和Y方向集中載荷Fy=-5000N；10點(diǎn)承受X方向集中載荷Fx=5000N；3點(diǎn)承受Z方向集中載荷Fz=-5000N；6點(diǎn)承受X方向集中載荷Fx=-5000N。施加載 荷 ， 圖 形 如 圖 6 - 1 7所示。圖6-16 編號顯示設(shè)置對話框36圖6-17圓柱實(shí)體示意圖 （7）求解求解 選 擇 S o l u t i o n S o l v e C u r r e n t LS，開始計算，計算結(jié)束會彈出計算完畢對話框，單擊Close。關(guān)閉對話框計算完畢。 （8）后處理后處理 運(yùn)行 General

25、 PostprocPlot ResultsContour PlotNodal Solu。 彈出如圖6-18所示對話框，運(yùn)行DOF SolutionDisplacement vector sum和Stressvon Misesstress，分別顯示圓柱體的位移和應(yīng)力云圖。 37圖6-18 云圖顯示對話框 結(jié)果顯示如圖6-19和圖6-20所示。 38 圖6-19 位移云圖 圖6-20 應(yīng)力云圖396.6空間軸對稱問題的有限元法 對空間軸對稱問題，常采用圓柱坐標(biāo)系。r表示徑向坐標(biāo)，z表示軸向坐標(biāo)，任一對稱面為rz面。在有限元分析時，可采用軸對稱的環(huán)形單元進(jìn)行。環(huán)形單元 可以是任何平面單元。某一平面圖

26、形繞平面上某一軸旋轉(zhuǎn)形成的回轉(zhuǎn)體稱為軸對稱物體，此某一平面圖形繞平面上某一軸旋轉(zhuǎn)形成的回轉(zhuǎn)體稱為軸對稱物體，此平面稱為子午面。在動力機(jī)械，特別是葉輪機(jī)械中，有很多零件都具平面稱為子午面。在動力機(jī)械，特別是葉輪機(jī)械中，有很多零件都具有軸對稱特性，比如輪盤、旋轉(zhuǎn)軸、承力環(huán)等。有軸對稱特性，比如輪盤、旋轉(zhuǎn)軸、承力環(huán)等。對于直齒圓柱齒輪，由于齒的存在，嚴(yán)格地說它并非軸對稱物體。如對于直齒圓柱齒輪，由于齒的存在，嚴(yán)格地說它并非軸對稱物體。如果忽略齒的部分果忽略齒的部分( (將齒用外載荷表示將齒用外載荷表示) )，則所得到的齒根以內(nèi)的旋轉(zhuǎn)體，則所得到的齒根以內(nèi)的旋轉(zhuǎn)體部分為軸對稱物體。部分為軸對稱物體。軸

27、對稱物體的變形及應(yīng)力分布不一定是軸對稱的，只有當(dāng)其約束和載軸對稱物體的變形及應(yīng)力分布不一定是軸對稱的，只有當(dāng)其約束和載荷都對稱于旋轉(zhuǎn)軸時，軸對稱物體的變形和應(yīng)力分布才是軸對稱的。荷都對稱于旋轉(zhuǎn)軸時，軸對稱物體的變形和應(yīng)力分布才是軸對稱的。軸對稱物體軸對稱物體+軸對稱約束軸對稱約束+軸對稱載荷軸對稱載荷=軸對稱系統(tǒng)軸對稱系統(tǒng)對軸對稱系統(tǒng)的應(yīng)力分析對軸對稱系統(tǒng)的應(yīng)力分析=軸對稱物體軸對稱物體401）幾何形狀關(guān)于軸線對稱；2）作用于其上的載荷關(guān)于軸線對稱。3）約束條件關(guān)于軸線對稱。因過z軸的任一子午面都是對稱面，其上任一點(diǎn)p只在該平面上發(fā)生位移，即彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移、應(yīng)力與應(yīng)變只 與坐標(biāo)r、z有關(guān)

28、，與 無關(guān)。從而，軸對稱問題可轉(zhuǎn)化為二維問題，但因與平面問題有區(qū)別，常稱為二維半問題。zrxp( , , )rz柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系41注意注意：應(yīng)變應(yīng)變 雖然與雖然與 無關(guān)，但是周向應(yīng)變無關(guān)，但是周向應(yīng)變 ，周向應(yīng)力，周向應(yīng)力 ，由徑向位移，由徑向位移 引起，因?yàn)閺揭穑驗(yàn)閺较蛭灰茣?dǎo)致周長的改變。向位移會導(dǎo)致周長的改變。 =0 Tru wu Trzrz 1、基本方程、基本方程位移分量位移分量應(yīng)力分量應(yīng)力分量 Trzrz 應(yīng)變分量應(yīng)變分量00ru42虛功方程虛功方程 = TrzrzTrrruuuwwrrzzr 2*02 2 TTdFrdrdz則 應(yīng)變分量應(yīng)變分量軸對稱問題的彈性矩陣：軸對稱問題

29、的彈性矩陣： 1 21012(1)100(1) 1(1)(1 2 )11 22(1)ED對稱432、軸對稱問題的離散化、軸對稱問題的離散化 對于軸對稱問題，利用其軸對稱特性，在對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分時可知取任意通過Z軸的截面進(jìn)行，類似平面問題的網(wǎng)格形式。本節(jié)以三角形單元為例。1、位移模式o軸對稱問題的環(huán)向位移恒等環(huán)向位移恒等于零于零，徑向r位移與軸向z位移不等于零。對于圖示情形，依照平面問題的三角形單元分析，取位移模式為zrwzru654321代入結(jié)點(diǎn)位移后，可解出a1-a6，再代入上式，得 mmjjiimmjjiiwNwNwNwuNuNuNuxr,yz44o 其中形函數(shù)：),)(21mjizcrb

30、aANiiiiemjieNNNNfjmimjijmmjirrczzbzrzra ； ),(mji單元中位移根據(jù)彈性力學(xué)理論，空間軸對稱問題的幾何方程為2、單元中應(yīng)變45rwzuzwrururzzr將u,w表達(dá)式代入上式，整理后emjieBBBB46式中),(00021mjibccfbABiiiiii),(mjirzcbrafiiii其中 B矩陣中含有變量r，z，因此它不是常數(shù)矩陣，即軸對稱問題的三角形環(huán)形單元不是常應(yīng)變單元。473、單元中應(yīng)力根據(jù)彈性力學(xué)理論，空間軸對稱問題的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為 Drzzr121000111111)21)(1 ()1 (稱對ED彈性矩陣:48單元中任意一點(diǎn)的應(yīng)力：

31、eeSBD4、單元剛度矩陣VTVTdzrdrdBDBdVBDBk 由于被積函數(shù)與無關(guān)，故在三角形截面的環(huán)單元的積分可簡化為在三角形截面上的積分。故有： ATrdrdzBDBk249)()(312112),(),(),(),(rzrzbczrzabAAdzzrgdrdzzrgdrdrdzzrgdrdzzrgG單元剛度矩陣的積分參照圖示分區(qū)，按下式采用數(shù)值積分的方法進(jìn)行50 當(dāng)單元較小時，可把各個單元中的r，z 近似看作常數(shù)，并且分別等于各單元形心的坐標(biāo)，即)(31)(31mjimjizzzzzrrrrrrzcbraffiiiii這樣，就可把各個單元近似地當(dāng)做常應(yīng)變單元 2BDBArkT:),(成

32、為mjirzcbrafiiii獲得。代替中用在zrzrB,51 單元剛度矩陣k的分塊形式mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkksrsrsrssrsrrrssrsrrsrsrbbAcccbAfbcAbcAfbcAccAbfbAffbbAAr22121213)()()(2ArBDBksrrs2其中的近似子矩陣為)21)(1 ()1 ()1 (2211321EAAA525、等效結(jié)點(diǎn)荷載類似平面問題。對于作用于三角形環(huán)單元上的體積力、表面力的等效結(jié)點(diǎn)力為：rdrdzpNPAVTeV2體力AieVziVrieVirdrdzNPPP02),()3(60mjirrAi)(31mjimmjj

33、iirrrrLrLrLrr53o面力：面力：lSTeSrdlpNP2（1）均布表面力 設(shè)單元ij邊上作用均布表面力，其集度為zrSppP zrjieSipprrlP)2(3zrjieSjpprrlP)2(3zrSppP l當(dāng) ri=rj 時，靜力等效原則54(2)三角形分布表面力 沿單元ij邊作用了三角形分布的表面力，表面力在i點(diǎn)集度為 zrsppp zrjieSipprrlP)3(6zrjieSjpprrlP)(6當(dāng) ri=rj 時，靜力等效原則。2/3集中在i點(diǎn)，1/3集中在j點(diǎn)。5556 圓筒直徑0.4m，高度0.6m，壁厚0.005m；材料Q235，彈性模量E=2.1e11Pa，泊松比

34、=0.3；約束：圓筒的下部在軸線方向固定，其它方向自由；載荷：頂部環(huán)線上承受軸向線壓力P-200000N/m。 圖6-4 圓筒示意圖 圖6-5單元類型對話框 1 問題描述問題描述 6.7 ANSYS軸對稱旋轉(zhuǎn)單元計算示例軸對稱旋轉(zhuǎn)單元計算示例 57（1）選擇單元類型）選擇單元類型 運(yùn)行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete，彈出Element Types對話框單擊Add，彈出Library of Element Types對話框，如圖7-6所示，選擇SHELL51單元。2 ANSYS求解操作過程求解操作過程 圖7-6 單元類型庫對話框 圖7-7 選擇材料

35、屬性對話框 58 （2）設(shè)置材料屬性 運(yùn)行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models，彈出Define Material Model Behavior對話框，如圖7-7所示。雙擊Isotropic選項，彈出Linear Isotropic Properties for Material Number1對話框，如圖7-8所示。 圖7-8 設(shè)置材料屬性對話框 59 （3）定義單元實(shí)常數(shù) 選擇Main MenuPreprocessor Real Constants Add/Edit/Delete，彈出如圖7-9所示對話框，單擊Add按鈕彈出Element Ty

36、pe for Real Constants對話框，如圖7-10所示，選擇Type 1 SHELL51，單擊OK，彈出Real Constant Set Number 1,for SHELL51對話框，如圖7-11所示，在TK(I)項輸入0.005，單擊OK。 圖7-9 實(shí)常數(shù)對話框圖 7-10選擇要設(shè)置實(shí)常數(shù)的 單元類型 60圖7-11設(shè)置SHELL51實(shí)常數(shù)對話框 （4）建立模型 首先生成關(guān)鍵點(diǎn)，運(yùn)行主菜單PreprocessorModelingCreateKeypointsIn Active CS，彈出如圖7-12所示對話框。 創(chuàng)建關(guān)鍵點(diǎn)1（0.2,0,0），2（0.2,0.6,0）。生成圓筒母線：運(yùn)行Main MenuPreprocessorModelingCreateLinesLinesStraight Line，彈出拾取關(guān)鍵點(diǎn)對話框，拾取關(guān)鍵點(diǎn)1、2，單擊OK。 61 圖7-12創(chuàng)建關(guān)鍵點(diǎn)對話框 （5）設(shè)置單元