第7章有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計

1、第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點數(shù)字濾波器的條件和特點 7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器濾波器7.3 利用頻率采樣法設(shè)計利用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器濾波器7.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計利用切比雪夫逼近法設(shè)計FIR濾波器濾波器7.5 IIR和和FIR數(shù)字濾波器的比較數(shù)字濾波器的比較第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點數(shù)字濾波器的條件和特

2、點 本節(jié)主要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點。 1. 線性相位條件 對于長度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為(7.1.1) (7.1.2) 10)()(NnnjjenheH)()()(jgjeHeH第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 式中，Hg()稱為幅度特性，()稱為相位特性。注意，這里Hg()不同于|H(ej)|, Hg()為的實函數(shù)，可能取負值，而|H(ej)|總是正值。 H(ej)線性相位是指()是的線性函數(shù)，即 ，為常數(shù) (7.1.3) 或 ，0是起始相位 (7.1.4) )(0)(第一類線性相位第二類線性相位第第7章章

3、 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計第一類線性相位的條件： h(n)是實序列且對(N-1)/2偶對稱，即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5)1021cos)()(NngNnnhH) 1(21)(N 幅度函數(shù)Hg()和相位函數(shù)分別為：(7.1.8)(7.1.9)第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計第二類線性相位的條件： h(n)是實序列且對(N-1)/2奇對稱，即 h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6)1021sin)()(NngnNnhH22) 1()(N 幅度函數(shù)Hg()和相位函數(shù)分別為：(7.1.11)(7.1.12)第第

4、7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 2. 線性相位線性相位FIR濾波器幅度特性濾波器幅度特性Hg()的特點的特點 h(n)的長度N取奇數(shù)和偶數(shù)對Hg()的特性有影響。對于兩類線性相位，分四種情況討論。 1) h(n)=h(N-n-1), N=奇數(shù) 按照(7.1.8)式，幅度函數(shù)H g()為101( )( )cos() 2NgnNHh nn 式中，h(n)對(N-1)/2偶對稱，余弦項也對(N-1)/2偶對稱，可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項進行合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項n=(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)表示為第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有

5、限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計令m=(N-1)/2-n, 則有(7.1.13) 1(0)()211( )2 (),1,2,3,22NahNNa nhn n(7.1.14) 式中 23021cos)(221)(NngNnnhNhH211cos21221)(NmgmmNhNhH210cos)(Nnnna第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 按照(7.1.13)式，由于式中cosn項對=0,2皆為偶對稱，因此幅度特性Hg()的特點為： 對對=0,2偶對稱偶對稱 2) h(n)=h(N-n-1), N=偶數(shù) 推導情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點是由于N=偶數(shù)，Hg()中沒有單

6、獨項，相等的項合并成N/2項。 101201( )( )cos() 212 ( )cos ()2NgnNnNHh nnNh nn第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計令m=N/2-n,則有/21/211( )2 ()cos ()221( )( )cos ()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhn n(7.1.15) (7.1.16) =時，(7.1.15)式中余弦項為0，且關(guān)于=奇對稱，因此幅度特性Hg()的特點為： 對對=奇對稱，且在奇對稱，且在=處有一零點，使處有一零點，使Hg()0高通和帶阻不適合第第7章章 有限脈沖響

7、應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇數(shù) 將(7.1.11)式重寫如下：101( )( )sin ()2NgnNHh nn 令m=(N-1)/2-n，則有(1)/21( )( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhn n(7.1.17) (7.1.18) 幅度特性Hg()的特點為： 對對=0,2處為處為0，即在，即在z=1處為零點，且處為零點，且Hg()對對0,2呈奇對稱呈奇對稱第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 4) h(n)=-h(N-n-1), N=偶數(shù) 類似上面3)情況，

8、推導如下：1120011( )( )sin ()2 ( )sin)22NNgnnNNHh nnh nn令m=N/2-n,則有/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn n(7.1.19) (7.1.20)第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計幅度特性Hg()的特點為： 對對=0, 2處為處為0，即在，即在z=1處為零點，且處為零點，且Hg()對對=0, 2呈奇對稱，對呈奇對稱，對= 偶對稱偶對稱第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的

9、設(shè)計第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計表明：表明：若z=zi是H(z)的零點，其倒數(shù)z=zi-1也是其零點；(1) 因為h(n)是實序列， H(z)的零點必共軛對稱，因而zi*和(zi-1)*也為零點第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)滿足 (7.1.10) 3. 線性相位線性相位FIR濾波器零點分布特點濾波器零點分布特點 第一類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)滿足 (7.1.7)()(1)1(zHzzHN(1)1( )()NH zzH z (7.1.21) 綜合表示為：)()(1)1(zHzzHN第第7章章 有限脈沖

10、響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖7.1.1 線性相位FIR濾波器零點分布 特殊情況：特殊情況：零點是實數(shù)，只有兩個零點：zi、zi-1；零點是純虛數(shù)且在單位圓上，只有兩個零點zi和zi*；(1) 零點是在單位圓上且為實數(shù)，只有一個零點zi第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 4. 線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 設(shè)N為偶數(shù)，則有11120021122(1)00( )( )( )( )( )( )(1)( )(1)NNNnnnNnmnNNnN mnmH zh n zh n zh n zH zh n zh Nmzh nh Nn 令m=N-n-1,則

11、有120)1()()(NnnNnzznhzH(7.1.22)第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計如果N為奇數(shù)，則將中間項h(N-1)/2單獨列出， (7.1.23) 21 -121 -0)1(21-)()(NNnnNnzNhzznhzH第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計圖7.1.2 第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶數(shù)N 奇數(shù)第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響

12、應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計圖7.1.3 第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶數(shù)N 奇數(shù)111111111第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器濾波器 設(shè)希望設(shè)計的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ej), hd(n)是與其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此 nnjdjdenheH)()(deeHnhnjjdd)(21)(第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 相

13、應(yīng)的單位取樣響應(yīng)hd(n)為,()0,j acjdceHe(7.2.1)1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna(7.2.2) 為了構(gòu)造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2對稱。設(shè)截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3) 理想濾波器：無限長無限長加窗處理加窗處理第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計圖7.2.1 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 我們實際實現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應(yīng)為h(n)

14、, 長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，10( )( )NnnH zh n z以上就是用窗函數(shù)法設(shè)計以上就是用窗函數(shù)法設(shè)計FIRFIR濾波器的思路。濾波器的思路。 我們知道，Hd(ej)是一個以2為周期的函數(shù)，可以展為傅氏級數(shù)，即()( )jj nddnHeh n e(7.2.4)第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計對(7.2.3)式進行傅里葉變換，根據(jù)復卷積定理，得到：(1()()()2jjjdNH eHeRed 式中，Hd(e j)和RN(ej)分別是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換，即111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)NNjNjj

15、nj njaNNNnnNReRn eeeRe(7.2.5) sin(/21( ),sin(/2)2NNNR其中，RN()稱為矩形窗的幅度函數(shù)第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計將Hd(ej)寫成下式：()( )jj addHeHe按照(7.2.1)式，理想低通濾波器的幅度特性Hd()為1,( )0,cdcH將Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到：()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd 第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 將H(ej)寫成下式： ()( )1( )

16、( )()2jj adNH eHeHHRd(7.2.6)截斷后實際濾波器的幅度特性等于理想低通濾截斷后實際濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性與矩形窗幅度特性的卷積波器的幅度特性與矩形窗幅度特性的卷積第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖7.2.2 矩形窗對理想低通 幅度特性的影響 第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 對hd(n)加矩形窗處理后，H()和原理想低通Hd()差別有以下兩點： (1)在理想特性不連續(xù)點=c附近形成過渡帶。過渡帶的寬度，近似等于RN()主瓣寬度，即4/N。 (2)通帶內(nèi)增加了波動，最大的峰值在

17、c-2/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負峰在c+2/N處。波動情況與窗函數(shù)幅值譜有關(guān)， RN()波動愈快（N），通、阻帶內(nèi)波動愈快， RN()旁瓣的大小直接影響H()波動的大小。 吉布斯效應(yīng)吉布斯效應(yīng)第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN()可近似為 sin(/2)sin( )/2NNxRNx如何減小吉布斯效應(yīng)？如何減小吉布斯效應(yīng)？（1）x, N主瓣幅度，旁瓣，主、旁瓣相對值不變；xxxsin 只能使過渡帶變窄，不能減小吉布斯效應(yīng)。只能使過渡帶變窄，不能減小吉布斯效應(yīng)。（2）旁瓣小的窗函數(shù)減小通帶、阻帶波動/加大阻帶衰減第第7

18、章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設(shè) h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函數(shù)。 1. 矩形窗矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析過，按照(7.2.5)式，其頻率響應(yīng)為1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWeedBNBdBsgn21/413；第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 2. 三角形窗(Bartlett Window)21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNN(7.2.8) 其頻率響應(yīng)為 (7.2.9)

19、212)2sin(4sin2)(NjjBreNNeWdBNBdBsgn25/825；第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 3. 漢寧(Hanning)窗升余弦窗當N1時，N-1N， 21)()()()(12cos15 .0)(NjRgNjRNHneWnRFTeWnRNnnw)()()(HngHnHnWWFTWNWNWWWRgRgRgHng2225. 0)(5 . 0)(dBNBdBsgn44/831；第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計圖7.2.3 漢寧窗的幅度特性第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)

20、計 4. 哈明(Hamming)窗改進的升余弦窗2( )0.540.46cos()( )1HmNnnRnN(7.2.11)其頻域函數(shù)WHm (e j)為22()()11()0.54()0.23()0.23()22( )0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN其幅度函數(shù)WHm()為當N1時，可近似表示為dBNBdBsgn53/841；NWNWWWRgRgRgHmg223. 0223. 0)(54. 0)(第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 5. 布萊克曼(Blackman)窗121225. 0)(4

21、2. 0)(NWNWWWRRRBl24( )0.420.5cos0.08cos( )11BlNnnnRnNN(7.2.13) 其頻域函數(shù)為22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe其幅度函數(shù)為(7.2.14) 141404. 0NWNWRRdBNBdBsgn74/1257；第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計圖7.2.4 常用的窗函數(shù)第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計圖7.2.5 常用窗函數(shù)的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三

22、角形窗)；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗 第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 圖7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 6. 凱塞貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window) 002201( )( ),01( )21(1)11( )1( ) )! 2kkkInnNInNxIxk 式中 I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計算：一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)一

23、種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 一般I0(x)取1525項，便可以滿足精度要求。參數(shù)可以控制窗的形狀。一般加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4，如有，再在該點附近找出局部極值點，并用該點代替原來的點。 (3)利用和第二步相同的方法，把各頻率處使|E()|的點作為新的局部極值點，從而又得到一組新的交錯點組。第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計圖7.4.2 雷米茲算法流程圖給出M2 個交錯點組頻率初始值：i , i0,1,2, M1得用（7.4.7) 式計算偏差得用（7.4.9) 式計算Hd()計算誤差函

24、數(shù)E()，以及局部極值點頻率，在這些點上滿足得到一組新的交錯點組頻率極值點是M2個還是M3 個？極值頻率相對上次是否變化？得到最佳一致逼近的Hd()結(jié)束舍掉兩個端點中使偏差較小的一個M3M2不變E() 第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 3. 線性相位FIR濾波器的四種類型統(tǒng)一表示式 在7.1節(jié)，我們已推導出線性相位的四種情況，它們的幅度特性H-g()分別如下式： 000(1) ( )(1),1( )( )cos,2(2) ( )(1),1( )( )cos(),22(3) ( )(1),1( )( )sin,2(4) ( )(1),1( )( )cos()

25、,22MgnMgn iMgnMgnh nh NnNNHa nn Mh nh NnNNHb nnMh nh NnNNHc nn Mh nh NnNNHd nnM 奇數(shù) 奇數(shù) 偶數(shù) 偶數(shù) 第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 經(jīng)過推導可把H-g()統(tǒng)一表示為 Hg()=Q()P() (7.4.13) 式中，P()是系數(shù)不同的余弦組合式，Q()是不同的常數(shù)，四種情況的Q()和P()如表7.4.1所示。第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計表7.4.1 線性相位FIR濾波器四種情況 第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計 表中 、 和 與原系數(shù)b(n)，c(n)和d(n)之間關(guān)系如下： ( )b n( )c n( )d n1(1)(0)(1)21( ) (1)( )21()(1)22,3,1bbbb nb nb nb Mb MnM(7.4.14) 第第7章章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的