第十一章動(dòng)能定理

1、1 動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理完整描述了外力系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系效應(yīng)。但不反映內(nèi)力效應(yīng)。 動(dòng)能定理揭示了質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變量與作用力(內(nèi)、外力)的功之間的關(guān)系 。11-1 功與動(dòng)能11-2 動(dòng)能定理11-3 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用211-1-1 功的計(jì)算11-1 功與動(dòng)能功與動(dòng)能11-1-2 動(dòng)能的計(jì)算3功是標(biāo)量，有正負(fù)。1) 元功2) 功1.功的一般概念11-1-1 功的計(jì)算kjirkjiFzyxFFFzyxdddd,21ddcos0MMssFWrF則力從點(diǎn)M1到點(diǎn)M2過(guò)程作的功為21)ddd(12MMzyxzFyFxFWsFWdcos或rF dW( W )4 圖示繞線輪沿斜面下滑S距離，計(jì)算各外 力的功。

2、sinGWGSN0FW,SS2FWF S T0FW,SCCTFGNFSF11-1-1 功的計(jì)算速度瞬心速度瞬心5一對(duì)內(nèi)力,AB FFdddAABBW FrFrdddAABBABAB rrrrrr 兩點(diǎn)距離變化時(shí)，內(nèi)力功不為零。 為引力時(shí)，距離減小，內(nèi)力功為正；反之為負(fù)。dddAABAAB FrrFr變形體中內(nèi)力功不為零，剛體中內(nèi)力功為零。變形體中內(nèi)力功不為零，剛體中內(nèi)力功為零?？梢?2.內(nèi)力的功AFBFArBrAB11-1-1 功的計(jì)算61.發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)力作正功，汽車加速行駛；2.機(jī)器中內(nèi)摩擦作負(fù)功，轉(zhuǎn)化為熱能；3.人騎自行車,內(nèi)力作功，加速行駛；4.外力使彈性體變形，內(nèi)力作負(fù)功。 內(nèi)力功實(shí)例:1

3、1-1-1 功的計(jì)算73.幾種常見力的功1)重力的功)(2112zzmgW 質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。11-1-1 功的計(jì)算82)彈力的功22211221kW)11(122112rrmGmW3)萬(wàn)有引力的功1m2m2m1r2r121l2lk形量。分別為始末位置彈簧變和21 1.2.彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。11-1-1 功的計(jì)算間的距離。分別為始末位置兩質(zhì)點(diǎn)和21rr9)d( 2112FzMW如果作用力偶m ,則力偶作的功:設(shè)在繞定軸 z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上A點(diǎn)作用有力F，如圖示剛體從1到2轉(zhuǎn)動(dòng)

4、過(guò)程中力F作的功為)(d 121221mmW4) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功、力偶的功11-1-1 功的計(jì)算105) 理想約束及理想約束的功約束力作功為零的約束稱為理想約束a)理想約束：b)幾種常見的理想約束：（1）光滑固定面約束（2）活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承（3）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）（4）柔索約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）11-1-1 功的計(jì)算（5）剛體沿固定面作純滾動(dòng)11012W(2) 圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，靜滑動(dòng)摩擦力的功(3)圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，滾阻力偶Mf的功 (1) 動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功SFWd12RSMMWf21f)(摩擦力的功摩擦力的功11-1-1 功的計(jì)算ChFmgS

5、FCaNFMf12 重物由平衡位置下移 ，求彈簧力的功。221()()2GGkkkkG均質(zhì)輪純滾動(dòng)S距離后靜止，求摩擦阻力的功。v(0 )CvccvrrCvCfM11-1-1 功的計(jì)算SF222121kWFRSMWMff0SFW1311-1-2 動(dòng)能的計(jì)算1. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能221mvT 2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能)(T221iivmT上面第二式 為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心C的速度，稱為柯尼希定理柯尼希定理。iv222121iiCvmmvT或141) 平移v2222vv111222( )vCCC_CCCTmvJJvC C, JJC C m3) 平面運(yùn)動(dòng)3. 剛體的動(dòng)能CvCCv221CmvT 221zJT 11

6、-1-2 動(dòng)能的計(jì)算2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)15rCCvmvC222121CCJmvT222)(22121rvmrmvCC243Cmv221VCJT 234Cmv22)(23(21rvmrC或 均質(zhì)輪純滾動(dòng)，已知 ,求 。 Cm ,vT11-1-2 動(dòng)能的計(jì)算16mLmvKC61)6(12122LmmLJLOO291mL22218121mLJTO223mRJLOO2224321mRJTOmRmvKC計(jì)算圖示均質(zhì)系統(tǒng)的動(dòng)量K,動(dòng)量矩LO ，動(dòng)能Tm,Rm,L11-1-2 動(dòng)能的計(jì)算17mvmvKO221mRJLOO222121OOJmvT11-1-2 動(dòng)能的計(jì)算純滾輪m,RO2224121mRmv 18作

7、業(yè)作業(yè)： P862；P871 11-2-1 動(dòng)能定理的三種形式191) 平移v2222vv111222( )vCCC_CCCTmvJJvC C, JJC C m3) 平面運(yùn)動(dòng)3. 剛體的動(dòng)能CvCCv221CmvT 221zJT 11-1-2 動(dòng)能的計(jì)算2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)20222r11() ()CCvvlrr1rvCr輪 均質(zhì)輪在均質(zhì)OA桿上純滾動(dòng)，已知OA桿和輪質(zhì)量m, 1Crm,r,l, ,v且知，OB=a,求系統(tǒng)的動(dòng)能T。1rCvlrCmAOB輪桿COBTTT2121OOBJT桿2122126321mama222121輪輪CCCJmvT22222121輪mrmvC其中：11-1-2 動(dòng)能的

8、計(jì)算21應(yīng)考慮 是否變化!vCJ2222003111()4222 12lTmvm vml v21 ,2CTJvddCTJ,則對(duì)嗎?l0vOrCmm,vr,l,m,0 均質(zhì)輪與均質(zhì)桿鉸接，已知T。求系統(tǒng)不一定。輪純滾11-1-2 動(dòng)能的計(jì)算2211-2 動(dòng)能定理動(dòng)能定理(包括內(nèi)力和外力功)11-2-1 動(dòng)能定理的三種形式11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用1212WTT231 .微分式2 .積分式微分式多用來(lái)求解加速度和角加速度問(wèn)題，積分式既可以求速度和角速度，也可以求加速度和角加速度（必須取一個(gè)具體時(shí)刻和一個(gè)任意時(shí)刻任意時(shí)刻，然后對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)）。所有力的元功之和外主動(dòng)力功內(nèi)力功約束力功11-2-1 動(dòng)

9、能定理的三種形式WTd1212WTT243.守恒式(機(jī)械能守恒)2211VTVT 質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有保守力(有勢(shì)力)作功，則其機(jī)械能保持不變，這就是機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律。 有勢(shì)力有勢(shì)力：重力、彈性力、萬(wàn)有引力或.constVT11-2-1 動(dòng)能定理的三種形式25 動(dòng)能定理與動(dòng)量矩定理數(shù)學(xué)上獨(dú)立嗎?一般不獨(dú)立，例如均質(zhì)輪純滾，v0.Cv32CCCFvmv a對(duì)t求導(dǎo)，得vCFrJ 故即動(dòng)量矩定理vvddCCLMtSrCmvCCvCFF2cmvFS43由動(dòng)能定理11-2-1 動(dòng)能定理的三種形式26212Vk 對(duì)！彈簧靜平衡力與重力在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)仍平衡，其功之和為零，可同時(shí)不考慮。 圖(a)系

10、統(tǒng)由靜平衡位置轉(zhuǎn)動(dòng) 角，此時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能以靜平衡為“0”，21()22lVk對(duì)嗎?為什么? bOmk又如圖(b)所示:l2l2k a11-2-1 動(dòng)能定理的三種形式27行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu), 放在水平面水平面內(nèi)。 動(dòng)齒輪半徑r ,重P, 視為均質(zhì)圓盤；曲柄重Q, 長(zhǎng)l , 作用一力偶, 矩為M(常量), 曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)； 求曲柄的角速度 (以轉(zhuǎn)角 的函數(shù)表示) 和角加速度。 取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力分析和運(yùn)動(dòng)分析01T2122211212121OOOJvgPJTrlrv,lvOO111 212222 2 21213211grPvgPgQlO221292lgPQ初始時(shí)刻：任意時(shí)刻：11-2-2

11、動(dòng)能定理的應(yīng)用OO1M1Ov128）（ 10129222MlgPQPQgMl9232：解得將(1)式兩邊分別對(duì)t 求導(dǎo)，可得2926lPQgM)(由動(dòng)能定理 有1212WTTMW1211-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用(逆時(shí)針)OO1M1Ov129 圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)k =3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？取整體為研究對(duì)象，受力分析和運(yùn)動(dòng)分析)(.2221122121kPW2121OJT 02T初始時(shí)刻：OA水平： .2228283121ml22142021.,其中：) J (.438812W

12、11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用30 .438882802由動(dòng)能定理 有1212WTTrad/s673 . 解得：11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用3100CCv,2222121BCCABAJJT圖(b)瞬時(shí)，點(diǎn)C為BC桿速度瞬心CBA b 已知 均質(zhì)輪由圖(a) 位置開始滾動(dòng)。求A,B,C水平時(shí) 。AB001, ,br m m F鉸接機(jī)構(gòu)ABBBCBCv,01Trb0F0CBA1m a輪純滾動(dòng) 取整體為研究對(duì)象， 受力分析和運(yùn)動(dòng)分析mgmgABBCBvCv初始時(shí)刻：ABC水平：11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用3203()sinABFmgmb22001sinsin3ABmbFbmgb0012sinmgbsi

13、nFbW由動(dòng)能定理 有1212WTT題型特點(diǎn):單自由度系統(tǒng)，已知力求運(yùn)動(dòng)。 運(yùn)動(dòng)過(guò)程很明顯，用動(dòng)能定理的積分式進(jìn)行求解十分方便。22231ABmbT231mbJJCA11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用CBA bABBCBvCvrb0F0CBA1m a輪純滾動(dòng)mgmg33 圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R, 兩盤中心線為水平線, 盤B上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問(wèn)下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用QABBAOCDDvCvM取系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力分析和運(yùn)動(dòng)分析,RvCARvvBDC234 12Qhm

14、W2222221 2121 21ACCBODJvgPJvgQT）（R/h01T初始時(shí)刻：任意時(shí)刻：)78(162PQgvD11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用221RgPJJCOQABBAOCDDvCvM35(1) )(0)78(162hQRMPQgvD式（1）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：)dd( dd)(dd21678thvthQRMtvvgPQDDD)(78)/(8PQgQRMaD：解得由動(dòng)能定理 有1212WTTPQhgQRMvD78)/(4 11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用QABBAOCDDvCvM36作業(yè)作業(yè)： P896,7；P9010 思考思考： P882,411-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用37 兩根均質(zhì)桿AC

15、和BC各重為P，長(zhǎng)為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的速度。又由于初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒，即C點(diǎn)速度方向豎直向下。取整體為研究對(duì)象， 0)(exF分析受力：CBAhPP11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用38顯然AC桿和BC桿的動(dòng)能相同。PhhPW221201T222223131221CvgPlgPJTAghvPhvgPCC3 0312 lvCAC桿的速度瞬心為A點(diǎn)，于是可得由動(dòng)能定理 有1212WTTCBAhPP11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用391 .微分式2 .積分式11-2-1 動(dòng)能定理的三種形式WTd1212WT

16、T3.守恒式(機(jī)械能守恒)2211VTVT40長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。 因水平方向不受外力，且初始靜止，質(zhì)心C鉛垂下降。因約束反力不作功, 主動(dòng)力為有勢(shì)力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。sin2 , sin2 cos12 lylyly 即又由機(jī)械能守恒定律：)2(2124120222ylmgymmlmgl將代入上式，化簡(jiǎn)后得sin2ly ygy22sin31sin6mglVT2, 011初瞬時(shí)：222222212412121ymmlymJTC)2(2ylmgV任一瞬時(shí)：11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用41

17、223dsindcoscosABAAABavtll(a) , cosAAAABvvRl1GAv2GRCBAv1CvCAAB 在任意位置 時(shí)，輪與桿的速度瞬心分別為 和 ，且有 vCv1C0,Avv時(shí)，試求該瞬時(shí)輪心A的加速度。 已知 輪純滾45120BABl,G ,G ,R, f,輪桿鉸接11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用421CWG y (b) 1GAv2GRCBAv1CvCAABy ，得 ，將式(b)代入，有dTWdddTWtt由動(dòng)能定理有任意時(shí)刻：2221211ABCACJJTVV222226143ABAlgGvgGT212122212231)(,VVlgGlgGJRgGJCCABABABAA

18、lGtlGlgGavgGsind)cosd(2231231122211-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用43再將式(a)代入上式，并經(jīng)整理得22111233111sin()tan23cos3cos2AAGGGGlavggg(c) ABABABAAlGtlGlgGavgGsind)cosd(22312311222223dsindcoscosABAAABavtll(a) 將 ，代入式(c)得045 ,Avv21021612 2()9423AG gavGGgl11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用44若 時(shí) ， 則4500v 121394AG gaGG1GAv2GRCBAv1CvCAABy 本題若將動(dòng)能定理積分形式或機(jī)

19、械能守恒式兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，可獲同樣結(jié)果。若取AB與水平方向的夾角 為變量時(shí)， 與 正方向相同，而與實(shí)際 方向相反。, AB11-2-2 動(dòng)能定理的應(yīng)用4511-3 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)量定理動(dòng)能定理動(dòng)量矩定理1212WTT動(dòng)力學(xué)普遍定理nieioot1)()(ddFML;dd)(etFp)()(eCCMJF)()(eyCyexCxFmaFma)()(ezzMJF46 加速度和角加速度問(wèn)題速度和角速度問(wèn)題約束力問(wèn)題若有過(guò)程，優(yōu)先考慮動(dòng)能定理。 方法一：用動(dòng)能定理求解（求導(dǎo)） 用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理求解 求解中還要注意應(yīng)用三大定理的守恒條件以及運(yùn) 動(dòng)學(xué)的補(bǔ)充關(guān)系。三種題型11-3 動(dòng)力學(xué)普

20、遍定理的綜合應(yīng)用 方法二：用動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理綜合求解。47AB11-3 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用選系統(tǒng)為研究對(duì)象,受力分析)2( 212cosfsinSmgcosmgSfsinSmgW22222121212121 0mrmvmvTTAB運(yùn)動(dòng)分析，運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：rvvBA245Bmv 均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求滑塊的加速度。BvAvgmgmdFs4811-3 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用)2(0452cosfsinmgSmvBgfaB)cossin(5254由動(dòng)能定理 有1212WTT上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得)2(

21、025cosfsinmgvamvABB于是可得：AB 桿的內(nèi)力？ABBvAvgmgmdFs(沿斜面向下)4911-3 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用重150N的均質(zhì)圓盤與重60N、長(zhǎng)24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。 系統(tǒng)由圖示位置無(wú)初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最低位置B點(diǎn)時(shí)的速度及支座A的約束力。1. .取圓盤為研究對(duì)象取圓盤為研究對(duì)象0 )(BBBJMF0 B00B所以圓盤平移。BBAyF2GAxF5011-3 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用 （2）用動(dòng)能定理求速度用動(dòng)能定理求速度。 取系統(tǒng)研究。初始時(shí)T1=0 ，22222121BAvgGJT221222163213121BBBvgGGvgGvgG)3

22、0)(2()30()3022(212112sinllGGsinllGsinllGWlvB)30sin)(2(06321221llGGvgGGB代入數(shù)據(jù)，得m/s 58. 1Bv由動(dòng)能定理 有1212WTTBv最低位置時(shí)：2G1G5111-3 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用（3）取整體，用動(dòng)量矩定理求桿的角加速度取整體，用動(dòng)量矩定理求桿的角加速度 。)(22212213131lgGlgGlvgGlgGLBA由于0)(dd)(eAAMtLF所以 0 。盤質(zhì)心盤質(zhì)心B 的加速度的加速度：)0( 22CnCCalaa)0( 2BnBBalaarad/s 58. 624. 058. 1lvB：其中桿質(zhì)心桿質(zhì)心

23、 C的加速度的加速度：AyFAxFBA C 1GCa2GBaBv5211-3 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用（4）研究整個(gè)系統(tǒng)，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座的約束力由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座的約束力 代入數(shù)據(jù)，得N401 0AyAxF,F;AxxBcxFagGagG212121GGFagGagGAyyBCy由; )(exixiCxFamma(e)yiyiCyFamma有AyFAxFBA C 1GCa2GBa5311-3 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用 質(zhì)量為m 的桿置于兩個(gè)半徑為r ，質(zhì)量為的實(shí)心圓柱上，圓柱放在水平面上，求當(dāng)桿上加水平力時(shí)，桿的加速度。設(shè)接觸處都有摩擦，而無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。2mP 取系統(tǒng)為研究對(duì)象。設(shè)任一瞬

24、時(shí)，桿的速度為v，則圓柱體質(zhì)心速度為v/2，角速度rv2系統(tǒng)的動(dòng)能21611mv主動(dòng)力的元功之和：dSPW方法一：用動(dòng)能定理求解。方法一：用動(dòng)能定理求解。)(222212221221輪CJvmmvT222121rmJC輪5411-3 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用由動(dòng)能定理的微分形式WTddSPmv)1611(d2兩邊除以，可得t dvPavm21611mPa118 ：即得5511-3 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用(2) 方法二：用動(dòng)量矩定理求解方法二：用動(dòng)量矩定理求解取系統(tǒng)為研究對(duì)象，O點(diǎn)為系統(tǒng)的質(zhì)心mvrrvrmrvmrmvLO411)222122(222rPeO2)()(FM根據(jù)動(dòng)量矩定理： ，得)(ddFMOOtLrPmvrt2)411(ddmParPmra118 2411O5611-3 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用作業(yè)作業(yè)： P921