圖形面積計(jì)算技巧

1、三三、圖形面積計(jì)算技巧、圖形面積計(jì)算技巧 為了解決較復(fù)雜的圖形面積計(jì)算問(wèn)為了解決較復(fù)雜的圖形面積計(jì)算問(wèn)題題,我們除掌握基本概念及技術(shù)公式外我們除掌握基本概念及技術(shù)公式外,還應(yīng)該學(xué)會(huì)用變動(dòng)的方法看問(wèn)題還應(yīng)該學(xué)會(huì)用變動(dòng)的方法看問(wèn)題,如恒如恒等變形的計(jì)算方法等變形的計(jì)算方法、添加輔助線法、添加輔助線法、平移法、旋轉(zhuǎn)法平移法、旋轉(zhuǎn)法, ,割補(bǔ)法、等積變形、割補(bǔ)法、等積變形、構(gòu)造等方法構(gòu)造等方法. .(一一) 比例法比例法 例例1 如圖如圖,一個(gè)長(zhǎng)方形被兩條平行直線一個(gè)長(zhǎng)方形被兩條平行直線分成四個(gè)長(zhǎng)方形分成四個(gè)長(zhǎng)方形,其中三個(gè)面其中三個(gè)面 積分別是積分別是 求求?部分的面積部分的面積?252 03022

2、220,25,30dmdmdm2 52 0?3 0為什么為什么?25303020=37520=3752()dm? 例例2 如圖如圖,一個(gè)正方形分成四個(gè)長(zhǎng)方形一個(gè)正方形分成四個(gè)長(zhǎng)方形,面積如圖面積如圖,求中間的正方形的求中間的正方形的 面積面積?4732A BCD解解:大正方形的面積是大正方形的面積是:4+7+3+2=16, 大正方形的邊長(zhǎng)是大正方形的邊長(zhǎng)是:4AB:BD=4:7,41 64,1 11 1A BAC:CD=3:231 2455A C小正方形面積小正方形面積:21 21 6()51 1 例例3 如圖如圖,已知已知ABC的每邊長(zhǎng)都是的每邊長(zhǎng)都是96厘米厘米,用折線把用折線把ABC分割

3、成分割成 面積相等的四個(gè)三角形面積相等的四個(gè)三角形,那么那么 CE和和CF的長(zhǎng)度和是多少的長(zhǎng)度和是多少 厘米厘米?ABCEDF解解:在在ABC和和BDC中中,它們高相等它們高相等,3,4BDCABCSS34CDAC39672(),4cm2,3EDCBDCSS23CECB29664(),3cm,CEFEFDSS72 2 36( ),CF FDcm 3664100(cm). 練習(xí)練習(xí) 1. 在在ABC中中,AB、AC兩邊兩邊 分別被分成四等份分別被分成四等份,陰影部分陰影部分 面積與面積與ABC的面積比是的面積比是 多少多少?ABC1122334從上往下看從上往下看(1+2+3+4):(1+1+2

4、+2+3+3+4)=5:8. 2 如圖如圖,用面積為用面積為1,2,3,4的四張紙片拼成一的四張紙片拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形個(gè)大長(zhǎng)方形,問(wèn)陰影部分的面積問(wèn)陰影部分的面積?1234ABCD解解:AB:BD=1:2AC:CD=3:4=7:14=9:122,21BCAD2121(1 2)(3 4)212 212 例例3 如圖如圖,5,8和和10分別代表包含該數(shù)字分別代表包含該數(shù)字的三角形面積的三角形面積,試問(wèn)包含試問(wèn)包含x這個(gè)這個(gè) 數(shù)字的四邊形面積數(shù)字的四邊形面積?5108xy?:?.xy解 把 分成 和 兩部分?=4,4854510yy 1 8y18422.x (二二)添輔助線法添輔助線法 求部分圖形面積

5、時(shí)求部分圖形面積時(shí),需借助其它圖需借助其它圖形作中介形作中介,這個(gè)中介圖形需加輔助線段這個(gè)中介圖形需加輔助線段才能得到才能得到,這種方法叫輔助線法求面積這種方法叫輔助線法求面積.例例4 如圖如圖,ABC的面積為的面積為224,cmAEBDCAE=EB,BD=2DC,求陰影部分的面積求陰影部分的面積?解解:連接連接EC,AEE B12BECABCSS2124 12(),2cm 2,BDDC又23BEDBECSS2212 8().3cm 例例5 如圖如圖,已知正方形的邊長(zhǎng)是已知正方形的邊長(zhǎng)是6厘米厘米,E、F F分別是分別是CBCB、CDCD中點(diǎn)中點(diǎn), ,求四邊形求四邊形ABGDABGD的面積的面

6、積? ?ABCDEFG解解:連接連接CG,216 (6 2) 3 4 12(),2cm 2661224().cm 練習(xí)練習(xí) 4 如圖如圖,ACEG是梯形是梯形,BDFG是正是正方方,GE=30cm,GB=24cm,AC=39cm,求梯形求梯形ACEG的面積的面積?ADCEBFG解解:連接連接BE,h梯形梯形ACEG的高的高24 24 2 2 30 19.2(cm), 2(30 39) 19.2 2 662.4().cm 5.如圖如圖,正方形正方形ABCD的面積是的面積是120平方平方厘米厘米,E是是AB的中點(diǎn)的中點(diǎn),F是是BC的中點(diǎn)的中點(diǎn),四四邊形邊形BGHF的面積是多少平方厘米的面積是多少平

7、方厘米?AEBFGHCD解解:連接連接GF,由由BF=FC,BFGFGCBGESSS,BECBDFFDCSSS都是2120430(),cm2113010(),33BFGBECSScm230 1020(),GDFScm202303G D FF D CSS2,3G FHH FCSS22104(cm).5G FHS 210414().cm(三三) 等量代換等量代換我們經(jīng)常會(huì)遇到一些由基本圖形組成我們經(jīng)常會(huì)遇到一些由基本圖形組成的組合圖形的組合圖形,它們的面積不能直接應(yīng)用它們的面積不能直接應(yīng)用公式來(lái)計(jì)算公式來(lái)計(jì)算,需要從整體上觀察圖形需要從整體上觀察圖形,用靈活用靈活、巧妙的方法解答這類較復(fù)、巧妙的方

8、法解答這類較復(fù)雜的圖形計(jì)算問(wèn)題雜的圖形計(jì)算問(wèn)題.“.“等量代換等量代換”就就是一種簡(jiǎn)便的方法是一種簡(jiǎn)便的方法. .它是將一個(gè)圖形轉(zhuǎn)化為另一個(gè)圖形的它是將一個(gè)圖形轉(zhuǎn)化為另一個(gè)圖形的面積面積,從而找到解題思路從而找到解題思路. 例例6 ABCD和和CEFG都是正方形都是正方形,大正方大正方形的邊長(zhǎng)是形的邊長(zhǎng)是12厘米厘米,則則BDF的面積是的面積是多少平方厘米多少平方厘米?ABCDEFG解解:連接連接CF,因?yàn)橐驗(yàn)锽DCF是梯形是梯形,H,BHFDHCSSDBFDBCSS=大正方形面積的大正方形面積的一半一半.212 12 2 72().cm 例例7 已知已知ABC的面積為的面積為36,M為為AB

9、上上的點(diǎn)的點(diǎn),且且BM:MA=1:2,MD平行于平行于EC,則則EBD的面積是多少的面積是多少?AEMBDC解解:連接連接MC,EBDBMCSS13 61 2 .3 例例8 ABCD是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為10厘米的正方形厘米的正方形,三角形三角形ABF的面積比三角形的面積比三角形CEF的面的面積大積大20平方厘米平方厘米,求三角形求三角形 ACE的面積的面積?ABCDEF條件條件:ABF的面積比的面積比CEF的面積大的面積大20平方厘米平方厘米,轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為:ABC的面積比的面積比ACE的面積的面積大大20平方厘米平方厘米,210 1022030().cm 練習(xí)練習(xí):6 兩個(gè)半徑為兩個(gè)半徑為2厘米的

10、圓相交厘米的圓相交,且且圖中的兩個(gè)陰影部分的面積相等圖中的兩個(gè)陰影部分的面積相等,求求 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度?12O O1O2O長(zhǎng)方形的面積等與兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積等與兩個(gè)扇形的面積扇形的面積,21222().4cm 7 . BCEF是平行四邊形是平行四邊形,ABC是直角是直角三角形三角形,BC=8cm,AC=7cm,陰影部分陰影部分的面積比的面積比ADH的面積大的面積大 12平方厘米平方厘米,求求HC的長(zhǎng)的長(zhǎng)?BCEFADH平行四邊形平行四邊形BCEF的面積的面積ABC的面積大的面積大12平方厘米平方厘米.28 7 228(),ABCScm :(2812)85().HCcm 8 如圖如圖,兩個(gè)相同的直角

11、梯形重疊在一兩個(gè)相同的直角梯形重疊在一起起,陰影部分的面積陰影部分的面積( )(單位單位:厘米厘米)5820(20 5 20) 8 2 235 4 140().cm 9 長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)是20厘米厘米,在它在它的每條邊上各畫一個(gè)以該邊為邊長(zhǎng)的的每條邊上各畫一個(gè)以該邊為邊長(zhǎng)的正方形正方形,已知這四個(gè)正方形已知這四個(gè)正方形 的面積是的面積是104平方厘米平方厘米,求求 長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形ABCD的面積的面積?ABCD長(zhǎng)長(zhǎng)+寬寬:20210(),cm10 10 2 104 2 2 2502624().cm(四四) 割補(bǔ)法割補(bǔ)法 割補(bǔ)法求面積是將不規(guī)則的圖形經(jīng)割補(bǔ)法求面積是將不規(guī)則的圖形經(jīng)

12、過(guò)分割過(guò)分割、切拼、補(bǔ)充成一個(gè)規(guī)則的幾何、切拼、補(bǔ)充成一個(gè)規(guī)則的幾何圖形圖形, ,從而求出面積的方法從而求出面積的方法. .例例9 ABC是等腰三角形是等腰三角形,D是半圓周是半圓周上的中點(diǎn)上的中點(diǎn),BC是直徑是直徑,且且AB=BC=10分分米米,求陰影部分的面積求陰影部分的面積?ABCD補(bǔ)補(bǔ)210110 10 ()10 15 2222 例例10 三個(gè)圓的半徑都是三個(gè)圓的半徑都是5厘米厘米,三個(gè)圓三個(gè)圓相交于圓心相交于圓心,求陰影求陰影 部分的面積部分的面積?221539.25(cm ).2陰影部分的面積和等陰影部分的面積和等于圓面積的一半于圓面積的一半, 例例11 如果如果BF長(zhǎng)長(zhǎng)5厘米厘米

13、,長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形AEFD的的面積是面積是40平方厘米平方厘米, 則則CD長(zhǎng)多少厘米長(zhǎng)多少厘米?ADCEFC40 58().cm 14練習(xí)練習(xí):10 如圖如圖,A、B是兩個(gè)圓是兩個(gè)圓(只有只有 ),那么兩個(gè)陰影部分的面積差那么兩個(gè)陰影部分的面積差?AB22214443.44,4212 424.86,4 4.86 3.44 1.42. 11 求圖中陰影部分的面積求圖中陰影部分的面積?(單位單位:cm)44 圓的面積圓的面積-三角形面積三角形面積142144424212.56 8 4.56().cm 12 小圓半徑為小圓半徑為10,大圓半徑為大圓半徑為20,那么那么陰影部分的面積是多少陰影部分的面積是

14、多少?大圓面積大圓面積-正方形面積正方形面積21204040221256 800 456().cm(五五) 等分法等分法例例12 如圖有左右兩個(gè)一樣的等腰直角如圖有左右兩個(gè)一樣的等腰直角三角形三角形,其面積都是其面積都是180平方厘米平方厘米,分別分別沿著圖中的線剪下兩個(gè)正方形沿著圖中的線剪下兩個(gè)正方形,請(qǐng)你求請(qǐng)你求這兩個(gè)正方形的面積這兩個(gè)正方形的面積?左圖正方形面積是三左圖正方形面積是三角形面積的一半角形面積的一半2118090(),2cm 右圖的正方形面積是三角形面積的右圖的正方形面積是三角形面積的4,9241 8 08 0 ().9c m(六六) 代數(shù)法代數(shù)法 例例12 直角梯形直角梯形

15、ABCD的中位線的中位線EF長(zhǎng)長(zhǎng)15厘米厘米,G是是EF上一點(diǎn)上一點(diǎn),ABG的面積是的面積是梯形面積的梯形面積的 ,求求EG的長(zhǎng)的長(zhǎng)?15ADEFGBC條件不夠條件不夠,用字母表示用字母表示111525ABEGAB6E G 例例13如圖如圖,FB和和EC都與都與AD垂直垂直FB=8cm,EC=6cm,AQ=5cm,PD=7cm,求六邊形求六邊形ABCDEF的面積的面積?ABCDEFPQ解解:82 (6 8)2 62APPQQ D 473APPQQD4() 3()AP PQPQ QD2453741().cm 例例14 如圖長(zhǎng)方形被分割如圖長(zhǎng)方形被分割6個(gè)正方形個(gè)正方形,已已知中央正方形的面積為知

16、中央正方形的面積為1平方厘米平方厘米,求求原長(zhǎng)方形的面積原長(zhǎng)方形的面積?1中央正方形的邊長(zhǎng)為中央正方形的邊長(zhǎng)為1cm,設(shè)左上角正方形的邊長(zhǎng)為設(shè)左上角正方形的邊長(zhǎng)為,xcmx1x1x2x2x(1) (2) (2)(1)xxxxx 6x (6 7) (6 5) 2143().cm 練習(xí)練習(xí)13 六張大小不同的小正方形紙片六張大小不同的小正方形紙片,拼成如圖拼成如圖,已知最小的正方形面積為已知最小的正方形面積為1平方厘米平方厘米,問(wèn)圖中紅色正方形的面積問(wèn)圖中紅色正方形的面積?紅最小正方形的邊長(zhǎng)為最小正方形的邊長(zhǎng)為1,設(shè)左上角正方形的邊長(zhǎng)設(shè)左上角正方形的邊長(zhǎng)為為, xx1x1x2x紅色正方形的邊長(zhǎng)為紅

17、色正方形的邊長(zhǎng)為:( 1 ) (2)( 1 )xxx x 44 4 16. 14 已知陰影部分的面積是已知陰影部分的面積是25平方厘米平方厘米,求圖中環(huán)形的面積求圖中環(huán)形的面積?22)r圓環(huán)面積= (R22112522Rr2250Rr502157().cm 15 AB與與CD是兩條垂直的直徑是兩條垂直的直徑,圓圓O的的半徑是半徑是15厘米厘米,弧弧AEB是以是以C為圓心為圓心,AC為半徑為半徑,求陰影部分的面積求陰影部分的面積?ABCEDABCc ABSSSS陰 影半 圓扇 形30 15 2ABCS 2225()cm212252AC 2450AC2111522545024(七七) 設(shè)數(shù)法設(shè)數(shù)法

18、 例例15 已知長(zhǎng)方形的面積是已知長(zhǎng)方形的面積是35平方厘米平方厘米, ABE的面積是的面積是5平方厘米平方厘米,ADF的面的面積是積是7平方厘米平方厘米,求求AEF的的 面積面積?ABECFD7535=75,5,設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為7厘米厘米,寬為寬為5厘米厘米.:7 2 72(),DFcm :5 252(),BFcm 2(7 2) (5 2) 2 7.5(),EFCScm 235 7 5 7.5 15.5().AEFScm 例例16 甲甲、乙兩個(gè)正方形的面積都是、乙兩個(gè)正方形的面積都是2020平方厘米平方厘米, ,陰影部分的哪一塊大陰影部分的哪一塊大? ?大多大多少少? ?甲乙想想:甲

19、圓的面積是正方甲圓的面積是正方形面積的幾分之幾形面積的幾分之幾?4乙圓的面積是正方形面積的幾分之幾乙圓的面積是正方形面積的幾分之幾?2甲陰影甲陰影:SS圓正方形220 204.3(),4cm乙陰影乙陰影:SS圓正方形2202011.4().2cm11.4-4.3=7.1(平方厘米) 練習(xí)練習(xí) 16.已知兩個(gè)正方形的面積差已知兩個(gè)正方形的面積差400平方厘米平方厘米,則圓則圓A與圓與圓B的的 面積差是多少面積差是多少?ABABSS圓圓44ABSS正方形正方形2400 314().4cm(八八) 圖形的變換圖形的變換1.平移法平移法:就是在不改變圖形面積大小就是在不改變圖形面積大小下下,通過(guò)平移把

20、幾部分陰影拼成較規(guī)通過(guò)平移把幾部分陰影拼成較規(guī)則圖形的方法則圖形的方法,例例17. 大小兩個(gè)半圓大小兩個(gè)半圓,它們直徑在同一它們直徑在同一直線上直線上,弦弦AB與小半圓相切與小半圓相切,且與直徑且與直徑平行平行.弦弦AB長(zhǎng)長(zhǎng)12厘米厘米,求圖中的陰影的求圖中的陰影的面積面積?ABOAB通過(guò)平移變成右圖通過(guò)平移變成右圖,陰影部分的面積就是圓陰影部分的面積就是圓環(huán)面積的一半環(huán)面積的一半.221()2Rr2226Rr2162256.52().cm 例例18 如圖一條白色手帕如圖一條白色手帕,它的邊長(zhǎng)是它的邊長(zhǎng)是18厘米厘米,手帕上橫豎有兩道紅條手帕上橫豎有兩道紅條,紅條寬紅條寬都是都是2厘米厘米.問(wèn)

21、這條手帕白色部分的面問(wèn)這條手帕白色部分的面積是多少積是多少?把紅條向右把紅條向右、向下平移、向下平移( (如如圖圖),),(18 22) (18 22) 2196().cm 2.反射法反射法: 一些軸對(duì)稱圖形一些軸對(duì)稱圖形,在進(jìn)行面積在進(jìn)行面積計(jì)算時(shí)計(jì)算時(shí),有時(shí)可以利用對(duì)稱的觀點(diǎn)有時(shí)可以利用對(duì)稱的觀點(diǎn),沿沿圖形的對(duì)稱軸翻轉(zhuǎn)圖形的對(duì)稱軸翻轉(zhuǎn),把兩處不規(guī)則圖把兩處不規(guī)則圖形拼成一處規(guī)則圖形形拼成一處規(guī)則圖形,使解法簡(jiǎn)便使解法簡(jiǎn)便. 例例19 如圖如圖A部分與部分與B部分的面積相差部分的面積相差 ( )平方厘米平方厘米.AABBO32利用對(duì)稱觀點(diǎn)解題利用對(duì)稱觀點(diǎn)解題:B部分比部分比A部分面積大部分面

22、積大2(3 2) (2 2) 24().cm 練習(xí)練習(xí)17 求圖中陰影部分的面積求圖中陰影部分的面積? (單位單位:cm)52 020 5 2 (5 2) 5 2 2502525().cm 3.旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法:旋轉(zhuǎn)法是將圖形繞一個(gè)點(diǎn)順旋轉(zhuǎn)法是將圖形繞一個(gè)點(diǎn)順(逆逆)時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)某一個(gè)角度時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)某一個(gè)角度,圖形在圖形在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)位置始終保持不變的那一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)位置始終保持不變的那一點(diǎn),叫做叫做旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)中心,圖形旋轉(zhuǎn)的角度圖形旋轉(zhuǎn)的角度,叫做叫做旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角.顯然圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)顯然圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí),它的大小和形它的大小和形狀都沒(méi)有改變狀都沒(méi)有改變. 例例20 在直角三角形在直角三角形ABC中中,四邊形

23、四邊形AEFD是正方形是正方形,BF=77cm,FC=52cm, 求圖中兩個(gè)三角形面積的和求圖中兩個(gè)三角形面積的和?BFCDAE5577直角三角形直角三角形DFC以以F旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度度,拼成一個(gè)拼成一個(gè)大直角三角形大直角三角形.252 77 2 2002().cm 例例21 ABCD是平行四邊形是平行四邊形,并且四邊相并且四邊相等等, EFG,PNM是圓內(nèi)是圓內(nèi)正三角形正三角形,并且面積都是并且面積都是100平方厘米平方厘米,求平行四邊形求平行四邊形ABCD的面積的面積?060,ABCABCDEFGPMNEFG面積是面積是ABC1,4面積的2100 4 2800(

24、).cm 練習(xí)練習(xí)18 如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)10厘米的正厘米的正方形方形,在正方形內(nèi)作一個(gè)最大的圓在正方形內(nèi)作一個(gè)最大的圓,再在再在圓中作一個(gè)最大的正方形圓中作一個(gè)最大的正方形,求小正方形求小正方形的面積的面積?解法一解法一:2210 1050(),4cm 解法二解法二:旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法小正方形面積是大正方形面積的小正方形面積是大正方形面積的1,221101050().2cm 19 求圖中陰影部分的面積求圖中陰影部分的面積?(單位單位:cm)半圓面積半圓面積-三角形面積三角形面積20211101010222157 50 102().cm(九九) 去空求差去空求差、合并求和、合并求和在一個(gè)規(guī)

25、則圖形中去掉一個(gè)不規(guī)則圖在一個(gè)規(guī)則圖形中去掉一個(gè)不規(guī)則圖形形,求陰影部分面積求陰影部分面積,可以先求出不規(guī)則可以先求出不規(guī)則圖形面積圖形面積,再求陰影部分的面積再求陰影部分的面積. 例例22 ABC是腰直角三角形是腰直角三角形,腰長(zhǎng)為腰長(zhǎng)為10厘米厘米,求陰影部分的面積求陰影部分的面積?ABC 1 1SSS陰影半圓()ABCSSS半圓扇形ABCSSS半圓扇形221 1011()1010 102 282 2255028.5().cm 練習(xí)練習(xí) 20 如圖如圖ABC是直角三角形是直角三角形, AC=4cm, ,以以BC,AC分別為分別為直徑畫半圓直徑畫半圓,兩個(gè)半圓的交點(diǎn)兩個(gè)半圓的交點(diǎn)D在在AB邊邊上上,求陰影部分的面積求陰影部分的面積?12BCACAOCBDABCSS陰影兩個(gè)半圓面積22111214 2